我对人工数和自然数的认识

1、我对自然数和人工数的认识我对自然数和人工数的认识，主要是基于对伽莫夫所著的从一到无穷大 中自然数和人工数这一章的些许感想。这一部分主要是对数论的简单介绍，其自 然数指的是本身就有的数，例如质数，奇数等等；而人工数是指原来没有的数， 数学家们为了解释或解决一些问题而创造出来的新数，例如虚数等。本篇论文就 是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介绍质数，整数和虚数的发展既 有趣的故事，因为在某种程度上，他们就是自然数和人工数的代表。迄今为止，数学还有一个大分支没有找到与其他学科相关联的用处，这就是 所谓的“数论”，它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的 产物。首先，我们来探讨

2、质数的问题。所谓质数，就是不能用两个或两个以上较小 整数的乘积来表示的数，如1, 2, 3, 5，7，11，13，17，等等。而12可以写成 2X2X3，所以就不是质数。那质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡 是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得 (Euclid)最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大 的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。他是根据反证法：假设已知质数 的个数是有限的，最大的一个用N表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来， 再加上1。这写成数学式是：(1X2X3X5X7X11X13XXN)

3、+1。这个数当 然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到N 为止(包括N在内)的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看 出，拿任何质数来除它，都会剩下1。因此，这个数要么本身也是个质数，要么是 能被比N还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相 矛盾。既然知道质数的数目是无限的，那是否有求质数的公式呢？这个问题至今 没有解决。我想正是因为这是数论问题，过于纯粹，所以证明起来需要极为严格， 所以也就很难证明。数论中一个极其富于挑战性的猜想是1742年提出的所谓“哥德巴赫 (Goldbach)猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻

4、的定理，内容是： 任何一个偶数都能表示为两个质数之和。尽管有很多人去证明，但最多也只是将 他们的结果逼近这个定理，而从来没有一个直接的证明。1931年，苏联数学家史 尼雷尔曼(Schnirelman)朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了， 每个偶数都能表示为不多于300000个质数之和。“300000个质数之和”和“2个 质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫(Vinogradoff) 大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“4个质数之和”。但是，从维诺 格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后的两步大概是最难走 的。并且，在给定的范围质数所能占

5、的百分比有多大，这个有关质数平均分布的 规律已经成为数学上最值得称道的发现之一，就是：从1到任何自然数N之间所 含质数的百分比，近似由N的自然对数的倒数所表示。N越大，这个规律就越精确。 哥德巴赫猜想是数学王冠上的明珠，证明它犹如一艘小船在数论的海洋里航行， 无依无靠，你只能通过数与数之间的关系纯粹的推导出，而没有其他能够建模的 方法，因为有时候建模可以使问题形象化，通过一个实际问题的载体得出结论， 而它不行。现在我们从质数的讨论拓展开来，有质数延伸到整数，同样的，这也属于自 然数范围内的讨论。既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管 这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，

6、先要回溯到古埃及。古埃及 的每一个好木匠都知道，一个边长之比为3:4:5的三角形中，必定有一个角是直 角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己 的三角尺的。公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都(Diophante)开始考虑这样 一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质 的是否只有3和4这两个整数？他证明了还有其他具有同样性质的整数(实际上 有无穷多组)，并给出了求这些数的一些规则。这类三个边都是整数的直角三角 形称为毕达哥拉斯三角形。简单说来，求这种三角形的三边就是解方程 x2+y般=z2, x，y，z必须是整数。1621年，费马在巴黎

7、买了一本刁番图所著算 术学的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他 在书上空白处作一些简短的笔记，并且指出，x”2+y2=z2有无穷多组整数解，而 形如x+y=z的方程，当n大于2时，永远没有整数解。他后来说：“我当 时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”费马死后， 人们在他的图书室里找到了刁番图的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在 三个世纪以前。从那个时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写 笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有了相当大的发展， 一门全新的数学分支一一“理想数论”一一在这个过程中创建起来了。欧拉证

8、明 了，方程x飞+y飞=z飞和x4+y4=z4不可能有整数解。狄里克莱(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)证明了，x飞+y飞二z飞 也是这样。依靠其他一些数学家的共 同努力，现在已经证明，在n小于269的情况下，费马的这个方程都没有整数解。 不过，对指数n在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。人们越来越倾 向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。 这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂 的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。不过，这个幂次一定要在比269大 的数目中去找，这可不是一件容易事啊。这是

9、我们将质数扩大到整数范围的讨论， 从费马大定理这个具体的例子可以看出，数论在证明上极其困难。像费马大定理 这样的需要一般性结论从而严格论证的这是让人无从下手。在进行了对质数整数这些自然数的讨论后，我们来讨论虚数的特点。虚数作 为一个本身不存在的数，其在数学中所扮演的角色也越来越重要，这样的人工数 也越来越实用。二二得四，三三见九，四四一六，五五二十五，因此，四的算 术平方根为二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平 方根是五。然而，负数的平方根是什么样呢？ -5和-1之类的表式有什么意义吗？ 如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论，说明这样的式子没有 任何意义，

10、这里可以引用12世纪的一位数学家拜斯迦罗(Brahmin Bhaskara)的 话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两 重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”第一 个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是16世纪的 意大利数学家卡尔丹(Cardan)。在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的 乘积等于40时，他指出，尽管这个问题没有任何有理解，然而，如果把答案写成 5+V-15和5-V-15这样两个怪模怪样的表式，就可以满足要求了。尽管卡尔丹认 为这两个表式没有意义，是虚构的、想像的，但是他毕竟还是把它们写下来

11、了。 既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两 个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根一一卡尔丹给它 起了个大号叫“虚数”一一就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有 很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉（Euler） 1770年发表的 代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣 肘的评语：“一切形如-1，-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，因为 它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都 不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚幻。”

12、 但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数的根式中无法避免的东西。 没有它们，简直可以说寸步难行。不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻像。而 且，正像我们从基数1可得到所有实数一样，我们可以把V-1作为虚数的基数， 从而得到所有的虚数。-1通常写作i。不难看出，-9=”9*-1=3i, -7=” 7* -1=2.646i，等等。这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭挡。此外， 实数和虚数还能结合起来，形成单一的表式，例如5 +-15=5+15i。这种表示 方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表式通常称复数。虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、 不可思议的面纱。直到

13、两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释以后，这张 面纱才被揭去。这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚 （Robot Argand），法国巴黎人。按照他们的解释，一个复数，例如3 + 4i，其 中3是水平方向的坐标，4是垂直方向的坐标。所有的实数（正数和负数）都对应 于横轴上的点；而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数3乘 以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以i，在几何 上相当于逆时针旋转90。如果把3i再乘以i，则又须再逆转90，这一下又回 到横轴上，不过却位于负数那一边了，因为i2=-1i的平方等于-1”这个说 法比“两次旋转90 （都逆时针进行）便变成反向”更容易理解。这个规则同样 适用于复数把3+4i乘以i，得到（3+4i） i=3i+4i2=3i-4=-4