数字信号处理第九章数字滤波器的分类及结构

1、数字信号处理第九章数字滤波器的分类及结构数字滤波器的分类数字滤波器结构的表示方法IIR 滤波器的结构FIR 滤波器的结构离散时间系统 的 Lattice 结构根据单位冲激响应 h(n) 的时间特性分类：无限冲激响应数字滤波器（IIR）有限冲激响应数字滤波器（FIR）根据实现方法和形式分类:递归型数字滤波器非递归型数字滤波器根据频率特性分类：低通数字滤波器高通数字滤波器带通数字滤波器带阻数字滤波器1. 滤波器的分类数字滤波器可以用一个差分方程来描述：由上式可以看出，实现一个数字滤波器需要几种基本的运算单元：加法器、单位延迟和常数乘法器。这些基本的单元可以有两种表示方法：方框图法和信号流图法，因此

2、一个数字滤波器也可也有两种表示方法：方框图法和信号流图法。2. 数字滤波器结构的表示方法z-1+单位延迟乘常数相 加z-1aa考虑如下二阶数字滤波器的信号流图：x(n) 处称为输入节点或源节点， y(n) 处称为输出节点或阱节点，其余节点称为网络节点。节点之间用有向支路连接，每个节点可以有几条输入支路和几条输出支路，节点值等于它所有输入支路的信号之和，而输入支路的信号值等于这一支路起点处的节点信号值乘以之路上的传输系数。延迟算子 z-1 表示单位延迟。2. 数字滤波器结构的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b0源节点没有输入支路，阱节点没有输出支路。如果某节点有一个输入，一

3、个或多个输出，该节点称为分支节点。如果某节点有两个或两个以上的输入，该节点称为相加器。各节点值为：对分支节点 2有 ，故2. 数字滤波器结构的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b0IIR 滤波器的特点：单位冲激响应 h(n) 是无限长的；系统函数在有限 Z 平面上（0|z|）有极点存在；结构上存在着输出到输入的反馈。3. IIR 滤波器的结构数字滤波器可用差分方程来描述：也可以用系统函数来表示：3. IIR 滤波器的结构表示为两个系统级联的形式：称为直接型结构。3. IIR 滤波器的结构H1(z)H2(z)x(n)y(n)y (n)z-1-aN-1b1x(n)y(n)b0z

4、-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)直接型的变型：3. IIR 滤波器的结构H2(z)H1(z)x(n)y(n)y (n)z-1-aN-1b1x(n)y(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)直接型结构（典范型）:3. IIR 滤波器的结构H2(z)H1(z)x(n)y(n)y (n)-aN-1b1x(n)y(n)b0b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)习题：已知数字滤波器的系统函数画出该滤波器的直接型结构。解答：如右图所示。直接型结构的特点:所需要的延迟单元最少；系统调整不方便；受有限字长影响

5、较大。3. IIR 滤波器的结构-4x(n)z-1z-1y(n)z-1811-25/4-3/41/8对系统函数 H(z) 进行因式分解：式中 M=M1+2M2, N=N1+2N2。级联型结构图：3. IIR 滤波器的结构xk(n)z-1z-1yk(n)1k2k2k1k习题：已知数字滤波器的系统函数画出该滤波器的级联型结构。解答：级联型结构的特点:所用存储单元较少；系数调整方便，便于准确实现系统的零极点；受有限字长影响较大。3. IIR 滤波器的结构z-1z-1y(n)-1.4-0.81.2x(n)z-1z-1-0.8-0.90.53对系统函数 H(z) 进行因式分解：上式中 N=N1+2N2

6、。当 M N 时，公式中不包含最后一项。当M=N 时，最后一项变成 G0。一般 IIR 系统皆满足 M0 处收敛，极点全部在 z=0处；结构上不存在输出到输入的反馈。4. FIR 滤波器的结构数字滤波器可用一个差分方程来描述：对于 FIR 滤波器则有：直接型结构：4. FIR 滤波器的结构z-1z-1z-1x(n)b(0)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1)把 FIR 滤波器的系统函数用二阶因子乘积表示：级联型结构：x(n)z-101y(n)z-1z-1z-1z-1z-111210212220N/21N/22N/24. FIR 滤波器的结构前已证明，当 FIR 系统的单位冲激响应满足

7、时，该系统具有线性相位。类型滤波器： ，且 N 为奇数。4. FIR 滤波器的结构令 m=N-1-n类型滤波器的结构：x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N-1)/2h(N-3)/2z-1z-14. FIR 滤波器的结构类型滤波器： ，且 N 为偶数。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)z-1z-1z-1h(N/2-1)4. FIR 滤波器的结构类型 滤波器： ，且 N 为奇数。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1-z-1h(0)h(1)h(2)h(

8、N-3)/2z-1z-14. FIR 滤波器的结构类型 滤波器： ，且 N 为偶数。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)z-1z-1-z-1h(N/2-1)4. FIR 滤波器的结构给定一个 FIR 系统的单位冲激响应为 h(n), n=0,1,N-1, 其系统函数和h(n)的DFT 分别为：显然，H(k) 实际上是 H(z) 在单位圆上的 N 个值，即 H(k) 是 H(j) 在频域的抽样。因此，我们可以用 H(k) 来表示 H(z) ，即:4. FIR 滤波器的结构H(z) 可看做是两个子系统级联。一个是 FIR 子系统

9、H1(z)，一个是 IIR 子系统 H2(z)。FIR 子系统由 N 个延时单元组成，系统函数为H1(z) ，该系统在单位圆上有 N 个等分的零点：频率响应：4. FIR 滤波器的结构2/N0“梳状滤波器”IIR 子系统由 N 个一阶系统并联组成，系统函数为该系统有 N 个极点：IIR 系统与 FIR 系统级联后，N 个IIR系统在单位圆上的极点正好和 FIR 系统在单位圆上的零点相互抵消，所以整个系统是FIR 系统，称为 FIR 系统的频率抽样型结构。4. FIR 滤波器的结构4. FIR 滤波器的结构x(n)z-1y(n)H(0)H(1)H(k-1)z-1z-1-z-N1/N频率抽样型结构

10、的优点：系统在频率采样点 =2k/N 上的响应等于 H(k) ，因此改变 H(k) 就等于改变了系统的频率响应；只要 h(n)的长度 N 相同，不论频率响应如何，梳状滤波器以及个 N 一阶网络的结构相同，便于标准化和模块化。缺点：稳定性差；有限字长效应导致零极点不能完全相消，从而造成系统不稳定。结构中系数为复数，因此运算量大。利用 H(k) 的对称性可以一定程度上降低计算量。4. FIR 滤波器的结构快速卷积结构：NNh+ Nx-1, N=2m4. FIR 滤波器的结构h(n)Nh 点序列X补零N点DFT运算补零N点DFT运算N点IDFT运算x(n)Nx 点序列X(k)H(k)y(n)一个 M

11、 阶的 FIR 系统的系统函数可以写作：上式中假定 H(z)=B(z) 的首项系数等于1， 表示 M 阶 FIR 系统的第 i 个系数，该系统的 Lattice 结构如下图：5. 离散时间系统的 Lattice 结构x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kMLattice 结构（格型结构）的特点： Lattice 结构有 M 个参数，共需 2M 次乘法， M 次延迟。直接型结构有 M 个参数，共需 M+1 次乘法， M 次延迟。5. 离散时间系统 的 L

12、attice 结构x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kMLattice 结构直接型结构z-1z-1z-1x(n)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1) 信号的传递是从左至右，中间没有反馈回路，所以这是一个FIR 系统。5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM信

13、号流图中的基本单元具有如下关系：其中：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构-1与 FFT 算法中的蝶形单元做比较：z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-km 定义：为输入端 x(n) 至第 m 个基本单元后所对应系统的系统函数， 对应上端， 对应下端。5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM如何由给定的系数 b(1), b(2),b(M) 求出 Lattice 结构的参数 k1, k2

14、, kM 呢？两端分别除以 P0(z) 和 Q0(z), 得：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-kM-kM由前面的定义可知： ，则有归纳得出：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构将 的定义 带入上式类似的有5. 离散时间系统 的 Lattice 结构可按照如下步骤求出参数 k1, k2, kM：步骤 1 由上述关系式，首先得到步骤 2 由 kM 及系数 求出 的系数 ，或者由下式直接求出 ，那么 。步骤 3 重复步骤 2， 即可全部求出。 5. 离散时间系统 的 Lattice 结构习题：一个 FIR 系统的零点分别在

15、和 0.8 处，求其 Lattice 结构。解答： 首先写出系统函数可知：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构因此有：可知：进一步：最后：Lattice 结构：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)z-1z-1z-10.738498-0.648y(n)-0.648-0.702590.738498-0.702595. 离散时间系统 的 Lattice 结构z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-kmz-1pm(n)qm(n)pm-1(n)qm-1(n)-kmkmIIR 系统（全极点）的 Lattice 结构图：5. 离散时间系统 的 Lattice 结

16、构x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)pM-2(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1令 M=1，则：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构令 M=2，则：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构5. 离散时间系统 的 Lattice 结构由此类推，若定义：则有：对比 FIR 系统与 IIR 系统：结论： 参数 k1, k2, kM 的求解方法同 FIR 系统完全一样。5. 离散时间系统 的 Lattice 结构z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-kmz-

17、1pm(n)qm(n)pm-1(n)qm-1(n)km-km习题：一个 IIR 系统的系统函数为，求其 Lattice 结构。解答：已求出则：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)z-1z-1z-10.738498-0.648y(n)0.6480.70259-0.738498-0.70259一个 既具有零点又具有极点的 IIR 系统的 Lattice 结构：5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0

18、cM-1c1若 ，即为全极点系统。5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0cM-1c1y(n)若 ，则为 FIR 系统的直接实现形式。 5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0cM-1c1y(n)根据前面的定义：其中 是由 至 之间的系统函数，令 为由 至 之间的系统函数，那么 5. 离散时间系统 的 Lattice 结构x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z