前面我们实际上学习了量子力学的四个基本原理

1、 前面我们实际上学习了量子力学的四个基本原理：原理1微观体系的状态可以用波函数完全描述原理2力学量可以用厄米算符来描述原理3体系状态的波函数可以用算符的本征函数来展开原理4体系状态的波函数要满足Schrodinger方程。今天我们开始学习第五个基本原理全同性原理5.5全同粒子系统和波函数的交换对称性1、全同粒子经典粒子：有轨迹，可分辨热统中有介绍概念：在量子力学中，把固有性质如电荷、质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相同的粒子称为全同粒子。故全同粒子在本质上是不可分辨的。因而不能编号，交换任意两粒子不影响体系。性质：用量子力学的的第五个基本原理描述全同性原理：全同粒子体系的状态不因粒子的交换而改变

2、。全同粒子具有的性质：任何可观测量，特别是Hamiltonian量，对于任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称性。例1He原子中两个电子组成的体系（我们只研究电子的运动规律）电子的Hamiltonian表达式可以写为2m2m2e22e2e2rIrrI212两电子动能，两电子与核库仑能，两电子相互作用能）显然当两个电子交换时，Hamiltonian不变。设交换算符为P12则有？P2HP=H故估H=0。例2考虑N个全同粒子组成的多粒子体系，其量子态用波函数来描述。其中q.（i二1,2,N）表示第i个粒子的全部坐标（空间和自旋）。i若P-.表示第i个粒子与第j个粒子的全部坐标变换，即ijP屮（q,q

3、，,q，q，,q）ij12ijN三屮（q,q，,q，q，,q）12jiN根据全同性原理，有屮（q,q，q，q，q）TOC o 1-5 h z12jiNc屮（q,q，,q，q，,q）12ijN但P2屮（q,q，q，q，,q）ij12ijNPP屮（q,q，,q，q，,q）ijij12ijNcP屮（q,q，q，q，q）ij12ijNc2屮（q,q，q，q，,q）12ijN因而P21（想一想，为什么？），所以c21nc1。ij可见，全同粒子满足下列关系之一：P屮+屮，（交换对称）ijP屮-W（交换反对称）ij结论：对全同粒子波函数的一个很强的限制，即全同粒子的波函数对两个粒子的交换要么是对称的，要么是

4、反对称的。这一点务必记住全同粒子的本征态对于全同粒子，由前述可知PHP-1H，P,H0（i主j）ijijij而P是不显含时间的，故所有P都是守恒量，且与H有共同的本征态。ijij容易证明，不是所有的P都对易，ij比如对任意全同粒子系的波函数V（rrr）ijkP（P屮（r厂厂）屮（r厂厂）ijjkijkjkiP（PV（r厂厂）屮（r厂厂）jkijijkkij屮（rrr）二屮（rrr）?jkikij即在此情况下，我们推不出PP=PP或P,P=0,ijjkjkijijjk即不是所有的P都对易，但容易看出，如果屮（rrr）满足交换对称或反对ijijk称，则所有的P都是对易的ij试分析。事实上，对全同粒

5、子体系来说，所有的Pj所处的地位应该是相同的。唯一可能的选择ij是量子态是所有Pij的共同本征态。仔细分析表明，这种共同本征态是存在的完全对称波函数或完全反对称波函数。既然所有P.都是守恒量，所以其对称性不随时间变化即全同粒子的统计性质（Bose或Fermi统计）是不变的。全同粒子的分类所有的基本粒子可分为两类：玻色子和费米子1）玻色子：凡是自旋为方整数倍，波函数满足交换对称，遵从Bose-Einstein统计的粒子。如n介子（s=0）、光子（s=1）等。2）费米子：凡自旋为方/2的奇数倍（s二1/2,3/2,），波函数对粒子的交换是反对称，遵从Fermi-Dirac统计的粒子。如电子、质子、

6、中子等，s=1/23）复合粒子：由基本粒子组成，视其总自旋而定。奇数个费米子组成的粒子仍为费米子；由偶数个费米子或玻色子组成的粒子均为玻色子。一般粒子的标记：A。l:中子数，n:质子数，m:质量数（核子数）ml女口：2H，4He核子数为偶数，玻色子；3H,3He核子数为奇数，费米子。11221221全同粒子波函数的构造方法在忽略粒子间相互作用的情况下，完全对称和反对称波函数可通过单粒子态基矢乘积形式构造出来；若有相互作用，则可按无相互作用基矢进行展开。我们下面分别以双全同粒子体系和N全同粒子体系为例来进行说明。2、两个全同粒子组成的体系简介：忽略相互作用，Hamiltonian可表为HH二h(

7、q)+h(q)12qoqnH不变，故P,H二0。1212设h(q)的单粒子本征态为9(q)，本征能为，则有kkh(q)9(q)=9(q)kk其中k为力学量(包含H)的一组完备量子数。设一个粒子处于9态，另一个粒子处于9态，则它们组成的双粒子态9(q)9(q)、9(q)9(q)k11k22k12k21对应的能量都是+能量交换简并k1k2按照全同粒子波函数的特点满足交换对称但任意两粒子态的乘积不一定满足这种交换对称，比如若khk，则129(qi)9k(q2)与9(q2)9k(qi)不满足交换对称。1212T如何构造对称波函数？针对不同体系!波函数的构造1)对玻色子，交换对称，分两种情况a.khk(

8、量子态不同)12归一化波函数可表成屮汕1q2)=12誉吃(qi)9k(q2)k(q2)9k(qi)(1+P12)9k1(q1)9k2(q2)12其中为归一化因子,P12是交换算符。b.k=k(量子态相同)12归一化波函数可表成屮S(q,q)=9(q)9(q)kk12k1k2这是自然的结果。以上两种情况所构造的波函数都是交换对称的。2）对费米子，交换反对称，归一化波函数可表成）=+叩丘（%）卩（q2）一卩（q2）P（q1）1申（q）kiv2芯（qj=丄（1一P加（q加（q）y212ki1k22屮汕1q2i2k11k21k22申(q)ki2申(q)k22k12k21同样2为归一化因子,P2是交换算

9、符。由上式可知，若k=k，则屮A=0（不存在）12kkT泡利不相容原理泡利不相容原理：在全同费米子体系中，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一个单粒子态中（包括坐标、自旋量子数完全相同）T统计排斥性全同性原理对散射体系的影响设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，本征值为札叫，讨论它们在空间距离的几率分布（1）无交换对称性（或不考虑交换对称性）两粒子的波函数可表示为屮（r,r）=1ei（爲+kpr2）Jkp12（2兀）3作变换r=r-r，R=三（r+r），以及k=（k-k），K=k+k，122122aBa卩上式中，rT相对坐标，RT质心坐标，hkT相对动量，方KT质心总动量。r-占r-K-K-

10、贝Ir=R+，r=R一一，k=+k，k=-k。1222a2P2此时波函数可表为1屮(rei(K-R+k-r)匚kp12(2兀)3二屮(R)(r)Kk屮K（R）质心运动（不考虑），。k相对运动（研究目标）即k(r)=初加eik-r。这样，对于一个粒子在半径（r,r+dr）的球壳内找到另一个粒子的几率为r2drJI甲(r)|2dQ=14兀厂2drk(2兀)3令其等于二4兀r2P（r）dr。的几率。这里p=（常数），即均匀分布。因为球壳体积为4兀r2dr，则P（r）为几率密度一一单位体积2）考虑交换反对称波函数费米子rrK根据前述R+2,与=R2，ka=2+k现在让1分2nR不变，K不变，但r变号。

11、但由于ka，k0为量子态标记与粒子占据无关,k不变。这样由前面的知识可知屮严）=当1-P12）R7如2ieik-re-ik-r2i(2兀)3/2=2sin(k-r)(2兀)3/2因此对于一个粒子，在半径（r,r+dr）的球壳内找到另一个粒子的几率为（几率密度仍4兀r2Pa(r)dr=r2kdrjl申a(r)Ik2dQJd申Jsin2(krcos0)sin9d0(2兀)3004兀r2dr(2兀)34兀r2dr(2兀)3即Pa(r)=1(2兀)3此时屮S(r)=k1krJsin2(krcos0)d(krcos0)0sin(2kr)12krsin(2kr)2kr这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空

12、间相对距离的几率分布，见下图。3)考虑交换对称波函数玻色子13(2兀)3/2(1+P)eik-r12(2兀)3/2eik-r+eik-r=cos(k-r)(2兀)3/2同理可得PS(r)=1(2兀)31+sin(2kr)2kr可以看出，在空间波函数对称情况下，两个粒子靠近的几率最大，而在交换反对称的情况下两个粒子靠近的几率最小。无交换对称时，P(r)r0、1这说明，玻色子统计吸引，费米子统计排斥当rTa时，P(r)T1说明交换对称性只在两单粒子波函数交叠处起作用，即此时才明显地体现出交换对称性。注意：全同粒子相对距离的几率分布与波函数的交换对称性密切相关。这是可观测效应，尤其在电子-电子散射及

13、介子-介子散射中，这种全同性效应可观测到3、N个全同费米子体系波函数的特点：反对称(1)先考虑三个全同费米子体系，无相互作用，即波函数可以用单粒子态波函数来进行展开。设三个粒子处于不同的单粒子态9,9,P，其中kkk表示量子数集,TOC o 1-5 h zk1k2k3123即不仅仅表示动量，还可能同时表示其它量子数，如自旋量子数等。则反对称波函数为 HYPERLINK l bookmark28 9(q)9(q)9(q)1k123屮A(q,q,q)9(q)9(q)9(q)ki，k2，k3123v3!k2,k2、k3、9(q)9(q)9(q)k31k32k33=9(q)9(q)9(q)+9(q)9

14、(q)9(q)k11k22k33k12k23k31+9(q)9(q)9(q)一9(q)9(q)9(q)k13k21k32k11k23k32-9(q)9(q)9(q)一9(q)9(q)9(q)k12k21k33k12k21k33=A9(q)9(q)9(q)k11k22k33其中A=丄1+PP+PP-P-P-P。J3!23132312231213称为反对称算子。(2)考虑N个全同费米子体系设N个全同费米子体系处于不同的单粒子态9,9,9，k1k2kN同样k,k2,kN表示量子数集，则9(q)k19q)k2.1(qN)TOC o 1-5 h z9(q)9k1219(q)9(q)9k(q1)N9k(q

15、2)9k(qN)NNk22k2N=A9k(q1)9k(q2)9k(qN)12N其中A=刍乞8pP称为反对称算子。上述行列式称为Slater行列式。丄为归一化因子。8p=?N!p对N个粒子，单粒子态有N个。排列数？N!个P表示允许的置：换奇置换，偶置换比如原序123则：231123偶置换(2次)；321123奇置换(3次)很明显，所有置换奇偶各半。此时81，分别对应奇置换和偶置换。114、N个全同玻色子体系波函数的特点：对称由于不受Pauli原理的限制，可以有任意数目的粒子处于同一状态。设有n个Bose子处在k态上(i二1,2,N)，工n二N。在这些n态中有的为0,iiiii有的1，所以N个粒子

16、波函数可写成工PP(q)甲(q)P(q)甲(q)k11k1nik2ni+1k2ni+n2Pn1个粒子n2个粒子P指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换。比如也可以有：n个粒子处于k态，n个粒子处于k态,2112这种置换共有N!/(n!n!n!)二N!/口n!12Nii因此归一化对称波函数为k1k2k叫，qN)二nn!:iiZN!pPg(q)甲(q)k11kNN特例：(1)N=2粒子体系，单粒子态有2Zkk2粒子的填充情况有两种对称波函数有两个(见前面的讨论)屮Skk12叫q2)=(1+P12吧(心匕)12wkk(q1，q2)卄W(q2)k1k2N=3粒子体系单粒子态有3Z叮111则对称波函数可以写为TOC o 1-5 h z屮S(q,q,q)=申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)111123,.3!112233122331+申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)132132132231+申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)122133112332=丄(1+PP+PP)+(P+P+P)(p(q网(q)申(q).J3!23132312131223112233这种对称态有1个LJ!L2II210则对称波函数可以写为屮210(q1，q2,q3)=吉咔严1(q2)P2(q3)+1(q1)1(q3)2(q2)+1(q2)9