7薄板弯曲问题

1、12.1 Introduction and Assumptions 12 Bending of Thin Plates12.2 Differential Equation for Bending of Thin Plate12.3 Stress Resultants and Stress Couples12.4 Boundary Conditions12.5 A Simple Solution for Elliptical Plates12.6 Naviers Solution by Double Trigonometric Series12.7 Levys Solution by Singl

2、e Trigonometric Series圆形薄板的弯曲 求解圆形薄板的弯曲问题，用极坐标比较方便，我们把挠度w和荷载q看作是极坐标r和的函数，即因为w和q既是r、 的函数，又是x、y的函数，利用极坐标与直角坐标之间的关系，可以得出下列变换式：12.8 Bending of Circular Plates弹性曲面得微分方程可以变换为：下面导出用w表示内力得表达式：从薄板内取出一个微单元，如图所示xyzorddrMrMrQr在r为常量的横截面上，应力分量r、r、rz分别合成为弯矩Mr，扭矩Mr和剪力QrMMrQ在为常量的横截面上，应力分量、r、z分别合成为弯矩M ，扭矩Mr和剪力Q将x轴、y轴

3、分别转到r、 的方向，则该处的Mr、Mr、Qr、M 、Mr、Q分别成为Mx、My、Mxy、Myx、Qx、QyxyzorddrMrMrQrMMrQ所以，利用前述的内力计算公式，且令=0，即可得到极坐标下的内力计算公式：其中：圆形薄板的边界条件：（坐标原点取在薄板的中心）a、在r=a处固定b、在r=a处简支或c、在r=a处自由在r=a的横截面上，可将扭矩转换为等效剪力：等效剪力与横向剪力合并成为总的剪力：边界条件变为：或 归纳计算圆形薄板的弯曲问题，最终归结为，由方程：求挠度w，然后根据公式：求弯矩、扭矩和剪力 满足弹性曲面微分方程的位移及由此求出的弯矩、扭矩、剪力应该满足相应的位移边界条件和应力

4、边界条件圆形薄板的轴对称弯曲如果圆形薄板所受的荷载是绕z轴对称，（q只是r的函数），则薄板的弹性曲面也将是绕z轴对称（w只是r的函数）此时，弹性曲面的微分方程简化为：12.9 Axisymmetrical Bending of Circular Plates此常微分方程的解答是：其中，w1是任意一个特解，可根据荷载q来选择，C1、C2、C3、C4是任意常数，根据边界条件来确定例如，受均布荷载q0作用的薄板，特解w1可以取为：其中m为常数，将w1代入方程：求得：于是，方程得解答为：根据边界条件求C1、C2、C3、C4如果在薄板的中心没有孔，C1=C2=0，否则，在薄板的中心，内力将趋于无穷大由此

5、求得内力：根据对称性，Q等于零，而Qr可由平衡条件得到。C3和C4由边界条件确定如，半径为a的薄板具有固定边，边界条件为：由此求得：最后结果：由平衡条件求Qr取出半径为r的中间部分薄板，由平衡条件：在薄板的中心：在薄板的边界：对于在各种边界条件下受各种荷载的圆形薄板，很多专著给出了关于挠度和弯矩的公式，供工程设计之用本 章 小 结（1）本章研究薄板弯曲问题，首先弄清研究对象，掌握它们的定义及分类，以及我们所学理论的适用范围（2）对于薄板弯曲问题的三个补充假定的提法、含义以及由这三个假定推导出的结论要深刻理解（3）三个补充假定回顾（4）薄板弯曲的挠曲微分方程：（5）求解问题时，须按薄板侧面（板边上）的边界条件，由这个微分方程求出挠度w，然后求得内力分量或应力分量（6）边界条件的提法很重要，是薄板弯曲问题的关键技术，应重点掌握，对于固定边、简支边和自由边的边界条件，应熟练掌握（7）纳维叶(