基于ARIMA模型时间序列应用

1、 实验一ARIMA模型建立与应用一、实验项目：ARIMA模型建立与预测。二、实验目的1、准确掌握ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理；2、熟练识别ARIMA(p,d,q)模型中的阶数p,d,q的方法；3、学会建立及检验ARIMA(p,d,q)模型的方法；4、熟练掌握运用ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测；三、预备知识模型1、AR(p)(p阶自回归模型)x=+ex+exhex+ut1t12t2ptpt其中u白噪声序列，6是常数(表示序列数据没有0均值化)tAR(p)等价于(1一0LQLLp)x=8+uTOC o 1-5 h z12pttAR(p)的特征方程是：0(L)

2、=1L-L2-eLp=012pAR(p)平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。2、MA(q)(q阶移动平均模型) HYPERLINK l bookmark20 x=卩+u+0u+0u+0utt1t12t2qtqx一卩=(1+0L+0L2+0Lq)u=0(L)ut12qtt其中ut是白噪声过程。MA(q)平稳性MA(q)是由u本身和q个u的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平tt稳的。MA(q)可逆性(用自回归序列表示u)tu=0(L)1xtt可逆条件：即0(L)-1收敛的条件。即O(L)每个特征根绝对值大于1,即全部特征根在单位圆之外。3、ARMA(p,q)(自回归移动平均过程)x=ex+x+

3、x+8+u+0u+0u+0ut1t12t2ptpt1t12t2qtq(l)x=(1lL2一lp)xt12pt=8+(1+0L+0L2+0Lq)u=8+0(L)u12qtt0(L)x=8+0(L)uttARMA(p，q)平稳性的条件是方程(L)=0的根都在单位圆外；可逆性条件是方程O(L)=0的根全部在单位圆外。4、ARIMA(p,d,q)(单整自回归移动平均模型)差分算子：Ax=x-x=x-Lx=(1-L)xttt-1tttA2x=AxAx=(1L)x(1L)x=(1L)2xttt-1tt-1tAdx=(1L)dxtt对d阶单整序列xtI(d)w=Adx=(1L)dxttt则wt是平稳序列，于

4、是可对wt建立ARMA(p,q)模型，所得到的模型称为xtARIMA(p，d,q)，模型形式是w=ew+ewhew+u+0u+0uheut1t12t2ptpt1t12t2qtq（L）Adx=6+0（L）utt由此可转化为ARMA模型。（二）模型识别要建立模型ARIMA（p，d，q），首先要确定p，d，q，步骤是：一是用单位根检验法，确定xtI（d）的d；二是确定xtAR（p）中的p；三是确定xtMA（q）中的q。平稳序列自相关函数cov(x,x)tt+kr=-k-r00cov(x,x)P=tt+k/=0kkJvar(x).：var(x)Jvar(x)、.：var(x)tt+k0p0=1,pk=

5、pk（对称）1、平稳Ar（p）的自相关系数和偏自相关系数（1）平稳AR（p）的自相关系数x=ex+ex+ex+ut1t12t2ptptI屮I0tkt1tkt12tkt2ptktptkty=e+e九+e九,k0k1k12k2pkp平稳AR(p)的自相关系数是p=ep+ep+ep,k0k1k12k2pkp(2)k阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数x=ex+ex+ex+utk1t1k2t2kktktxx=exx+exx+exx+uxttjk1t1tjk2t2tjkktktjttjy=ey+ey+eyjk1j1k2j2kkjk两边同除以Y0p=ep+ep+epjk1j-1k2j-2kkj-k对任

6、意j0都成立。根据p二1和对称性p=p，得到Yule-Walker方程组0j-jp+0p+0pk1k21kkk-1p=0p+0+0pk11k2kkk-2p=0p+0p+0kk1k-1k2k-2kk对于给定的k,p1,p2,pk已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数：屮J屮22的,，化汇p3是k=3的自相关系数，意义：度量平稳序列xt与xt-3的相关系数，至于中间xt-1,xt-2起什么作用无法顾及。屮的k=3的偏自相关系数。意义：剔除中间变量xt-1，xt-2的影响后，度33量xt与xt-3的相关程度。2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数(1)MA(q)自相关系数x=卩+u+

7、0u+0u+0utt1t-12t-2qt-qCT2(1+02+02+02),k=012q=E(xx)=tt-kT2(0+00+00),0kqpkr=Vr0(0+00k1k+11,k=0+00)/(1+02+02+.+02),0kq当kq时，pk=0，xt与xt+k不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q。(2)MA(q)偏自相关系数MA(q)模型对应一个AR(a),通过AR()来解决3、ARMA(p,q)有拖尾特征，p和q的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。模型估计用Eviews软件进行估计模型检验1、用t统计量检验模型参数显著

8、性；2、为保证ARMA(p，q)的平稳性和可逆性，模型特征根皆应在单位圆以外，或倒数在单位圆内；3、用Q统计量对残差进行白噪声检验。原假设和备择假设H1:P1=P2=Pk=0(序列不存在自相关是白噪声)H0：匕P2Pk不全为0（序列存在自相关，不是白噪声）统计量Q二T（T+1）兰生X2（K）/Kk=i其中上述R是样本相关系数，T是样本容量，分布是极限分布。K是自相关系数的个数，即最大滞后期。若样本较大，则K=T/10或T的平方根；若样本较小，则K=T/4。判别规则是：QX2（K）拒绝原假设。a（五）模型外推预测已有ARMA（p，q）模型x=ex+exhex+u+0u+0uheut1t12t2p

9、tpt1t12t2qtq和观察值Xt，Xt-1，Xt-2，XI。把观察值代入，在t+1时刻有x=ex+ex+ex+u+0u+0u+0ut+11t2t1ptp+1t+11t2t1qtq+1上式中，观察值已知，只有误差处理问题。下标大于t的误差项，由于未来的误差未知，因此用期望值0代替未来的误差。下标从1到t的误差项，可用残差估计值（要建模时可找到）代替。于是1步预测公式：乂(1)=ex+ex+ex+o+0分+0u+0ut1t2t1ptp+11t2t1qtq+1类似地，2步预测公式和1步预测公式分别是：乂(2)=e乂(1)+ex+ex+o+o+0+0u+0ut1t2t2ptp+22t3t1qtq+

10、2乂(h)=e乂(h1)+e乂(h2)+e乂仇p)+0+0u+0ut1t2tpthth1t1qtq+h其中，h-pv=O时，乂（hp）=X；h-q0时，u=0tt+hptq+h四、实验内容1、ARIMA（p，d，q）模型阶数识别；2、ARIMA（p，d，q）模型估计与检验；3、ARIMA（p，d，q）模型外推预测。五、实验软件环景：Eviews软件。六、实验步骤：按、以美元对欧元汇率1993.1到2007.12的月均价数据为例进行实验。（一）创建Eviews工作文件（Workfile）从Eviews主选单中选“Fi1e/NewWorkfile，选择“monthly选项，输入“Startdate

11、：1993：01Enddate：2007：12”。Workfik;UNTITLED口f乂 #足刈|pr匚lobjeul:Print三3寸亡|。亡1:白15十/-|Ehu円|Fetch5l:ore|Delete|Genr|SampleRange:1993M012007M12-180obsDispl日yFlit前*出叩1日；1旳3池120MM12-恂口迴cSeuroSresid（二）录入数据，并对序列进行初步分析1、导入数据Quick/EmptyGroup在SerOl输入数据;改变量名：点击SerOl全选第一列,在命令栏输入EURO。将文件保存命名，注意存放地址。 -Series;EUIWWork

12、rile:UNTITL口FileLditObjectViewPracQuiukO四口ViewProcObjectPropertiesPrintNameFreese|EUROLastupdate1993M011993M010.S24020r1993M021993M020.0444901993M031993M030.0486701993M041993M040.S19S701993M051993MOS0.8218901993M061993M060.8461101993M071993M07.0817BO1993M081993M08.08B44O1993M091993M090.8530701993M10

13、1993M100.8631701993M111993M110.8862401993M121993M120.S858801994M011994M010.0979201994M021994M020.0944201994M031994M030.S759901994M041994M040.8785101994M051994M060.8696001994M061994M060.S461201994M071994M070.0195901994M0S1994M080.3204702、序列初步分析选定变量EURO，双击它，ViewGraphLine，输出EURO的曲线語EVicws-Series:EUROWo

14、rkfilc:UNTITLEDVJntitlcKl耳!|冥口FileEditObjectViewProcOnionsWindowHelp-占1芹View|Proc|Object|Properties|Print|Name|FreezeSampleGenr5heetStatsIdentLine100.90.80.61.11.0IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1994199619982000200220042006EURO从图形看到美元对欧元汇率在2001年左右处于高位，2002年以后一直处于下跌态势。数据总体上类似于随机

15、游走过程形式，应该是非平稳的。（三）ARIMA（p,d,q）模型阶数识别1、确定单整阶数d（1）用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型,即对模型Aeuro二a+5euro+s进行单位检验（UnitRootTest）。假设H:5=0；备择tt1t0假设:5T=-2.88,所以接受假设（从概率值大于0.05也得到接受的结论）,即认为汇率序列（EURO）是非平稳的。（2）对模型A2euro=a+Aeuro+，作假设H:5=0；备择假设tt-1t0H:50。1在工作文件窗口，选定变量euro,双击，在euro页面上，点击ViewUnitRootTestADF,表示已经进入扩展的DF检验。选择1s

16、tdifferent（对1阶差分进行单位根检验，检验系数对应的项是eurot-1）Intercept（不含时间趋势变量）Userspecifi取0（解释变量不含厶eurot-1的差分）。得到结果UnitRjofltTest-ThistfurtrootinC*Iztdifferern2nidifferentAutonaticselecticuS匚hiv：=lizInfoCriter巒|M：=cilniijjTiIncludeintestequatio口亍IntercyptlTrend：=ltl-1intercNeneC*Userspecifi|oKC：=lTlcelNullHypothesis:

17、D(EURO)hasaunitrootExogenous:ConstantLagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=0)t-StatisticProb.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic-9.6765550.0000Testcriticalvalues:1%level-3.4672051.369377Prob(F-statistic)5%level10%level-2.877636-2.575430*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.AugmentedDickey-FullerTestEq

18、uationDependentVariable:D(EURO,2)Method:LeastSquaresDate:04/11/11Time:08:36Sample(adjusted):1993M032007M12Includedobservations:178afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.D(EURO(-1)-0.6917210.071484-9.6765550.0000C-0.0006380.001452-0.4395530.6608R-squared0.347267Meandependentvar-8

19、.27E-05AdjustedR-squared0.343559S.D.dependentvar0.023885S.E.ofregression0.019352Akaikeinfocriterion-5.040911Sumsquaredresid0.065909Schwarzcriterion-5.005160Loglikelihood450.6411F-statistic93.63572Durbin-Watsonstat1.871573Prob(F-statistic)0.000000由软件输出结果得到回归模型A2euro=0.0006380.691721Aeurott=（-0.439553）（-9.676555）p=（0.6608）（0.0000）取a=5%,求样本容量T,原来样本容量是180,2阶差分分后T=178，查附表2,得DF检验的临界值为T=-2.88,对厶euro平稳性检验的统计量观察值为t=-9.6765550.05,接受序列不相关的假设，即认为残差序列是白噪声。类似地，对模型ARIMA（2，1，0）、ARIMA（0，1，1）、ARIMA（1，