射影几何入门.

1、 （一）1-1对应11.1-1对应的定义12.1-1对应的意义和性质23.1-1对应在数学中的应用44.无穷集之间的1-1对应45.部分和整体的1-1对应,无穷集的定义96.无穷远点.点列和线束107.轴束.基本形11TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 8.三种基本形的六种透视对应12射影关系141到无穷或无穷到1的对应16 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 11.平面点的无穷阶数17 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document

2、12.一阶与二阶无穷集17 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 13.通过空间一点的所有直线17 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 14.通过空间一点的所有平面18 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 15.平面上所有的直线1816.平面系和点系19 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 17.空间中的所有平面1918.空间中的所有点2019.空间系20 HYPERLINK l bookmark34 o

3、Current Document 20.空间中的所有直线20 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 21.点与数之间的对应2022.无穷远元素22（二）1-1对应基本形之间的关系2523.七种基本形25射影性25Desargues定理2626.关于二个完全四边形的基本定理2727.定理的重要性2828.定理的重述28TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 29.四调和点概念2930.调和共轭的对称性30 HYPERLINK l bookmark60 o Current Docu

4、ment 31.概念的重要性30四调和点的投影不变性31四调和线31 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 34.四调和平面.3135.结果的概要性总结32可射影性的定义33调和共轭点相互之间的对应3338.调和共轭的元素的隔离3439.无穷远点的调和共轭34射影定理和度量定理,线性作图法35平行线与中点3642.将线段分成相等的n个部分3743.数值上的关系3744.与四调和点关联的代数公式3745.进一步的公式3846.非调和比（交比）39（三）射影相关基本形的结合4147.叠加的基本形,自对应元素4148.无自对应点的情况42射影对应的基本定

5、理,连续性假设43定理应用于线束和平面束44具有一公共自对应点的射影点列44无公共自对应点的射影相关点列45透视对应的两个射线束47透视对应的面束（轴束）47TOC o 1-5 h z55.二阶点列4756.轨迹的退化48 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 57.两阶线束4858.退化情况48 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document 59.二阶圆锥面49（四）二阶点列4960.二阶点列与二阶线束49切线5063.轨迹生成问题的陈述5064.基本问题的解决5165.图形的不同构作法5266.将轨迹上

6、四点连到第五点的直线5267.定理的另一种陈述形式5368.更为重要的定理5469.Pascal定理5470.Pascal定理中点的名称的替换5471.在一个二阶点列上的调和点5672.轨迹的确定5673.作为二阶点列的圆和圆锥线5674.通过五点的圆锥曲线57TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark170 o Current Document 75.圆锥线的切线58 HYPERLINK l bookmark156 o Current Document 76.内接四边形59 HYPERLINK l bookmark158 o Current Document 77.

7、内接的三角形60 HYPERLINK l bookmark160 o Current Document 78.退化圆锥线61（五）二阶线束63已定义的二阶射线束63圆的切线6381.圆锥曲线的切线6582.系统的生成点列线6583.线束的确定65Brianchon定理67Brianchon定理中线的替换6886.用Brianchon定理构造线束6887.与一圆锥曲线相切的点68TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark184 o Current Document 88.外切四边形69 HYPERLINK l bookmark186 o Current Document

8、 89.外切三边形70 HYPERLINK l bookmark188 o Current Document 90.Brianchon定理的应用70 HYPERLINK l bookmark190 o Current Document 91.调和切线71 HYPERLINK l bookmark192 o Current Document 可射影性和可透视性71 HYPERLINK l bookmark194 o Current Document 退化情况7294.对偶律72（六）极点和极线7595.关于圆的极点和极线7596.圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹7797.更多的性质7898.极点极线

9、的定义7899.极点与极线的基本定理78100.共轭点与共轭直线79102.自配极三角形79射影相关的极点与极线80对偶性81105.自对偶定理81106.其他对应关系82（七）圆锥曲线的度量性质83107.直径与中心83相关的几个定理83共轭直径84110.圆锥曲线的分类84111.渐近线84有关的几个定理85关于渐近线的定理85115.由双曲线及其渐近线切割的弦86116.定理的应用86由二条渐近线和一条切线形成的三角形87用渐近线来表示一个双曲线的方程88119.抛物线方程88120.参引共轭直径的有心圆锥线的方程91（八）对合（Involution）95121.基本定理95122.线性

10、作图法96直线上点的对合的定义97对合中的二重点97有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理99126.退化圆锥线100127.通过四点并与一已知直线相切的圆锥线100二重对应100Steiner的作图方法101130.Steiner作图法在重对应中的应用102二阶点列中点的对合103射线的对合104二重射线105通过一固定点与四线相切的圆锥线105双重对应105处于对合下的二阶射线束106有关对合二阶射线束的定理106由一圆锥曲线确定的射线的对合106TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark300 o Current Document 定理的陈述106 HY

11、PERLINK l bookmark302 o Current Document 定理的对偶107（九）对合的度量性质109无穷远点的引入;对合的中心109 HYPERLINK l bookmark262 o Current Document 基本度量定理109 HYPERLINK l bookmark310 o Current Document 二重点的存在110二重射线的存在112通过圆来构筑对合112圆点113对合中的正交射线对,圆对合114圆锥线的轴114由一圆锥线确定的对合的点是圆点115TOC o 1-5 h z圆点的性质115151.圆点的位置116152.寻找圆锥曲线的焦点11

12、7 HYPERLINK l bookmark324 o Current Document 153.圆和抛物线117154.圆锥线焦点性质118 HYPERLINK l bookmark326 o Current Document 155.抛物线的情况119 HYPERLINK l bookmark328 o Current Document 抛物面反射镜119准线主轴顶点119158.圆锥线的另一种定义120159.离心率120160.焦距之和与差121TOC o 1-5 h z（十）综合射影几何的历史123161.早期成果123162.统一性原理124163.Desargues124164.

13、极点与极线125165.通过4点的二阶曲线的Desargues定理125166.推广到空间的极点与极线理论126167.描述圆锥曲线的Desargues方法126Desargues工作的被接纳127Desargues时代的保守性127Desargues的写作风格128Desargues工作缺乏欣赏129Pascal与他的定理129Pascal的短评130Pascal的独创性130DeLaHire和他的工作131Descartes和他的影响132Newton和Maclaurin133Maclaurin的证法133画法几何与综合几何的二次复兴134对偶性,同调性,连续性,偶然性联系135Ponce

14、let和Cauchy135Poncelet的工作136解析几何妥欠综合几何的债137Steiner和他的工作137VonStaudt和他的工作138186.近期的发展139附录140参考文献148索引151 pg-射影几何入门第1章1-1对应1-1对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应(One-to-OneCorrespondence)。这里，1-1对应是定义两个集合之间的一种关系，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合

15、是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的1-1对应。【例】试问由三个数字组成的集合1,2,3,和由三个字母组成的集合A,B,C之间是否1-1对应？【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应：1A，2B，3C这里符号表示其左右两边元素为对应。这样，两个集合中的每一个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合1,2,3与集合A,B,C为1-1对应。显然，包含两个数字的集合1,2或包含四个数字的集合1,2,3,4就不能与包含三个字母的集合A,B,C建立1-1对应。集合1-1对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。例如，我们通常

16、进行的计数过程就是将被计数对象与数字T、2、3之间在心中建立1-1对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象(如每天的掠物)建立1-1对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的word(单字)建立1-1对应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并用一些word与它们建立1-1对应。这些word开始只是少数人的专用语言，随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语

17、言的全部概念实际都是利用1-1对应这种简单想法(idea)生成的。1-1对应的进一步的意义和性质集合的1-1对应是定义在两个集合上的两个互逆的1-1变换所联合组合。如集合1,2,3与集合A,B,C的1-1对应1A，2B，3C就是下列两个1-1变换的组合：f：(1-A,2-B,3-C)g：(1-A,2-B,3A,2-B,3-C)g：（2-A,1-B,3-C）则尽管f和g都是1-1变换，使一个元素变到一个元素，但g与f不是互逆的两个变换,它们合在一起就不构成（同）一个1-1对应。1-1对应关系具有对称性和传递性。即：如果集合A与B为1-1对应，则B与A也1-1对应；如果集合A与B为1-1对应，且集

18、合B与集合C也1-1对应，则集合A与C也1-1对应。1-1对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许1个元素对应到多个元素,也不允许某个元素不与另一集合中的任何元素对应。但除此以外不再附加任何条件。我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素进行对应。只要满足1-1关系，无论什么元素都可以与它对应。如前节例子中的数字集1,2,3与字母集A,B,C之间，下列6种对应方式都是合格的1-1对应：3C3B3C3A3B3ATOC o 1-5 h z1A，2B，1A，2C1B，2A1B，2C1C，2A1C，2B，可以看出，A,B,C三元素的任何一种排列，都可与1,2,3对应。这6种不同的1-1对

19、应可用以下6张关系表来表示：每个表的左边列出了集合1,2,3的元素，上边列出集合A,B,C的元素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T代表有对应关系，否则代表没有对应关系。可以看出，每一行每一列都只有一个格子为T,这表示两个集合元素之间的对应为1-1的。六个表代表六种不同的1-1对应方式。如果两个集合都有n个元素，就有n!种不同的1-1对应方式。其次，建立对应的两个集合完全任意。它们可以有相同类型元素，如1,2,3与4,5,6对应；或完全相同的元素，如1,2,3与1,2,3本身对应（这样的2个集合间仍有6种可行的对应方式）；或不同类型的元素，如前所述的1,2,3与A,B,C之间

20、的对应。如果一个牧童用绳子把5头羊分别牵在5棵树上，就是让羊和树建立1-1对应；学生上课时，50名学生走进一间有50个座位的教室，找到空位就坐下，就是在班级学生和教室座位2个集合之间自动建立一个1-1对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在客观规律和错误公式两个集合之间建立1-1对应。本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应，有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的对应，等。1-1对应在数学中的应用在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立1-1对应，或者是在已探索过的领域和正在探索中的未

21、知领域寻找1-1对应。例如，利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二阶曲线的性质。解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。在我们学习射影几何时，也要利用我们已学过的各门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。无穷集之间的1-1对应两个集合，如果它们相互1-1对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合1-1对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但这些结论仅适用于有限集，如果为无

22、穷集，结论就常常不是这样了。下面我们来看几个例子。例12,4,6,8,10,等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集2,4,6,&10,.与自然数集1,2,3,4,5,.是相互之间能够建立1-1对应的两个集合。【证明】我们为这两个集合的元素建立下面的对应：自然数：1,2,3,4,.偶数：2,4,6,8,.在这种对应下，每个偶数2n都能找到一个自然数n与其对应，而且反之，每个自然数n也都能找到一个偶数2n与其对应。可见，偶数虽为自然数的一半,但仍与自然数1-1对应。例2自然数集合：N=1,2,3,4,5,T与自然数对(i,j),i,j=1,2,3,.的集合：N2=(1,1),(1,2),(1,3),(

23、2,1),(2,2),(2,3),，(3,1),(3,2),(3,3),为1-1对应的集合。【证明】我们可以根据数对(i,j)的两个分量i,j的大小，将所有数对排成一个无穷方阵。规定数对(i,j)放在方阵第i行j列。这样每个数对(i,j)就有一个且仅有一个方阵格点与其对应,而所有数对就与方阵所有格点建立了1-1对应。然后,再按下表所示方式将无穷多个方阵格点与无穷多个自然数建立对应：1267/.TOC o 1-5 h z58/.913/.1012/.11/按这种对角线次序的排列方法，平面方阵的任意一个格点（i,j）都会有唯一的一个自然数n（i,j）与其对应，而且反过来，每一个自然数n也一定能找到

24、一个格点（i（n）,j（n）与此自然数对应。所以，利用这种方法方式，平面正整数格点全体，因而也是数对（i,j）全体，与自然数全体建立了1-1对应。读者不妨思考一下，与自然数n=100对应的格点（i,j）的分量i,j是多少？反过来，格点（10,10）对应的自然数n又是多少？如果有条件且又有兴趣的话，还可在计算机上编个小程序来计算自然数n与数对（i,j）之间的对应关系，无论用C用Delphi或者别的语言都行。【例3】1英寸线段上所有点与2英寸线段上所有的点为两个1-1对应的集合，【证明】如图4-1所示。其中AB和AB分别是有2英寸和1英寸长的两条线段，C是AB上的任意一点。为寻找AB上与C对应的点

25、，我们连AA和BB，并延长交于S。再作S与C的连线交AB于C，则C就是AB上与C对应的点。反之，对AB上任意C，同样可找出AB上的对应点C。图4-11英寸与2英寸长线段点的1-1对应【例4】对于无穷长直线AB上的任意一点，都能在1英寸长的线段AB上找到两个点与它对应。【证明】我们作一个半径为2n分之一英寸的圆，则其周长为1英寸，也就是线段AB的长。因此，可以把这个圆看成就是由线段AB围成的圆，如图4-2所示。注意，为了使标写的文字清晰，我们在图中把圆画大了一些，但所画圆的尺寸大小，不影响下面的证明。现设此圆的圆心为S。我们从直线AB上的任意点C作直线与S相连，此直线与圆的下半段圆弧交于C，与上

26、半段圆弧交于C。则C与C就是与C对应的两点，由此得证。图4-21英寸圆周与无穷长直线点的对应反过来，对于圆上任意两个对称点C与C是否也能在直线AB上找到对应的一点呢？显然，这里有一个例外，就是当C与C的连线CC平行于AB时，在AB上就找不到对应点了，因为这时的连线CC与AB不相交。此例说明了一个似乎不可思议的事情：1英寸线段AB上的点比无穷长直线AB上的点的两倍还要多出两个点。【例5】无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以建立1-1对应。【证明】我们需要用以下三步来证明整个结论：（1）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应；（2）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）X（0,

27、1）中点可以建立1-1对应；（3）单位平面（0,1）X（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。因（0,1）中点是小于1的数d,可以用一个无穷小数d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如0.4改为0.39999），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应;现令x=0.a1a3a5a7，y=0.a2a4a6a8也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，

28、那么,对任意一个直线点d，就有一个对应的平面点P(x,y)。且反之，有一个平面点P(x,y)，其中x=O.ala2a3a4，y=O.blb2b3b4那么也有唯一的直线点d=O.albla2b2a3.b3与它对应。因此，单位平面点P(x,y)就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了。再来证(3)。将单位平面的垂直边v(0,1)与全平面x轴(-伞+)对应,水平边u(0,1)与全平面y轴(-x,+x)对应。这样单位平面内的点(u,v)就可与整个平面中的点(x,y)建立对应。单位平面垂直边与x轴的对应如下图所示。将单位平面的垂直边作纵轴v,S是纵轴顶部左边任取的点，S是纵轴底部右边任取的点。图4

29、-3使区间(0,1)中点与直线(-,+-)中的点建立1-1对应垂线(0,1)被x轴分成上下两段，上段以S为中心与+x轴对应；下段以S为中心与-x轴对应；中点0.5与x=0点对应。这样，整个x轴上的点就和(0,1)中的点建立了对应。类似地，单位平面水平边可与y轴对应。利用这两个分量的对应即实现单位平面与整个平面的点的对应。从而证明了(3)。要特别注意，直线与平面上这种点的对应方式不具备连续性。两个邻近的直线点对应到平面后位置可以不邻近，且反之也一样。而本书后面将要考察的对应都要求有连续性，即其中任一集合的一个元素趋向另一元素时，另一集合的两个对应元素也必须充分接近。除非其中的点为无穷远点才有例外

30、。从上面各节的论述可以看出，1-1对应概念是比枚举(即计数)概念更为广泛的一种概念。直线上的点我们无法一个一个地进行枚举，我们无法列出一个点的下一个点，但我们仍然可以考察这类集合之间的1-1对应。在集合论中，两个1-1对应的集称等势(power)集。由上可知，当集合为有限时，等势集就意味元素数目相同。但集合为无穷时，等势集并不意 射影几何入门味包含的元素数目严格相同。我们自然会问，是否所有无穷集都等势？答案为否定，能够证明直线点集就比自然数集势要大，它们元素不能建立1-1对应（证略）。凡和自然数1-1对应的集叫可列集（可数集、可枚举集），它们的势叫可列势。凡和直线点集1-1对应的集叫连续集，它

31、们的势叫连续势。集合论中已证明比连续集更大的集也存在。部分和整体的1-1对应，无穷集的定义从上节讨论的几个例子中我们都能看出一个非常重要的事实，即无穷集都可以与它的一个真子集（从原集合中排除一些元素之后的集合）建立1-1对应。这种情况对于有限集是无法想象也根本不可能发生的。无穷集之所以会有这一特点，根本原因就在于无穷集的一部分仍可能是无穷，因而元素的“数目”并不减少。因此，可以利用无穷集的这一特征作为无穷集的一种定义：【定义】能与自己的真子集1-1对应的集称为无穷集。这一定义是一个正面定义，它与通常的，把无穷集说成是“无法枚举的集合”或“无法枚举完成的集合”等消极定义相比，更容易用实践检验，因

32、而也是更为合理的定义。无穷远点前面4的例2中，我们证明了两个不同长度的线段上的点的全体可以建立1-1对应，同节的例4则证明一寸长线段上可以找到两倍于无限长直线上的点。这些例子都是有关点集与点集间建立1-1对应的例子。现在我们要为点和线两种不同元素的集合建立对应。我们为无穷直线上的点，与通过一个已知点的所有直线建立1-1对应，如图6-1所示。AB为所指直线，两端可以无限延伸，C是无穷直线AB上任意一点，S是给定的已知点。通过C和S作直线SC，则此直线c=SC就是与C对应的直线。反之，对于通过S的任意直线c，只要c不与AB平行，那么c延长后总能与AB交于一点C，所以交点C就是与直线c的对应点。但若

33、过S的直线与AB平行，如图中虚线m，则根据Euclid假设，m无论怎样延长都不与AB相交。所以，AB上找不到任何点与此特殊直线m对应。图6-1直线点C与通过点S的直线c对应*射影相关基本形元素之间的1-1对应有连续性。即，如将其中任一基本形的两个元素充分接近，则另一基本形二个对应元素也充分接近。这和4介绍的直线点与平面点之间的1-1对应不同。另外，当两个基本形为点列时，射影几何入门这种连续性还应服从于无穷远点这一例外。为了弥补这一缺陷，使无穷直线AB上所有点都能与通过S的所有直线1-1对应，在射影几何中通常假设，在直线AB的无穷远处存在一个点，并规定这个点就是AB与包括m在内的所有平行线的共同

34、交点。在这样理解下，与直线m对应的AB上的点就是那个无穷远处的点。这样，无穷直线上所有点都能与通过S的所有直线1T对应了。再回过头来考察4例4中有关一英寸线段AB与无穷长直线AB的对应关系。我们已证明：对于无穷长直线AB上的任一点C,我们都能在周长与AB相等的圆上找到C和C两点与它对应。但反过来s通过圆心的直线L与圆的一对交点C和C只有在L不与AB平行时，才能在AB找到这样的点，如果L与直线AB平行，则L与圆的交点C和C就在AB上找不到对应点C了。这种特殊情况也和上面相似，只要假设AB无穷远处存在一个点，它是AB以及与它平行的所有直线的共同交点，那么对于圆周上那两个特殊点C和C也能在AB上找到

35、对应的一点了。由此我们圆满地证明了1英寸线段上的点，可以与无穷长直线AB上点的两倍建立1-1对应。上述这种规定在研究射影几何时极重要，为此使用几个专业术语来称呼它们：把位于直线无穷远处的点叫无穷远点；原来意义下的直线加上无穷远点后特称扩充直线；扩充直线l上所有的点称为以l为底(base)的一个点列(point-row)。通过一点S的所有直线称以S为中心的一个(射)线束(pencilofrays)。点列和线束的这种对应称为透视对应，或称它们透视相关、它们处于透视位置(perspectiveposition)，简称它们相互透视。轴束，基本形用同样的方法，我们可以为一无穷直线上所有的点，与通过不和以

36、上直线相交的另一直线的所有平面建立1-1对应。所有平面通过的共同直线称为轴(axial)，而这些平面的全体就叫一个平面束，简称面束或轴束(axialpencil)。如图7-1所示。图7-1以直线a为轴的平面束(轴束)点列、线束和面束都是射影几何研究的基本结构(structure)，常称它们为基本形(fundamentalforms)。它们互相之间能建立1-1对应的事实,常用它们为同阶(sameorder)的这一术语来表达，并说它们都是一阶(firstorder)的。本书后面的讨论将会看到，还可以构造别的无穷集也能与点列建立1-1对应，但也有一些无穷集则不能与点列建立1-1对应，后者理所当然地将

37、被称作为二阶或高阶无穷集。射影几何入门 三种基本形的六种透视对应我们在6中已介绍点列与线束之间的透视对应，7介绍点列与面束（轴束）之间的透视对应。透视对应关系可以在不同或相同的任意两种基本形之间建立，对于点列、线束和轴束三种基本形而言，共有6种透视对应关系:1）点列与线束间的透视对应：前已讲过，是指线束中的每一条射线对应于点列中对应点的情况。这时线束中各射线的公共交点P称为透视中心，参见图8-1。2）线束与线束间的透视对应：这是指两个线束对应的射线都相交于同一条直线u。这条所有交点的共同直线称为透视轴（axisofperspectivity）,参见图8-2。3）点列与点列间的透视对应：这是指点

38、列u1和u2所有对应点都位于通过某一固定点P的直线上。这些直线组成一个线束，点P是线束中心，同时也是透视中心，参见图8-3。8-4直列u与轴束irB-5束F1与轴束itB-6轴束m与轴束m图$；三种基本形间的汽种透视对应图中u为点列，P为线束，n为轴束，a为直线，n为平面4）点列与轴束间的透视对应：这是指轴束中的每个平面都通过与它对应的点列的点。这时，轴束的轴a同时也是透视轴，参见图8-4。5）线束与轴束间的透视对应：这是指线束的每根射线都位于与它对应的轴束平面上。这时线束的中心P位于轴束的轴a上，轴束的轴a称为透视轴，参见图8-5。6）轴束与轴束间的透视对应：这是指两个轴束中对应平面的交线都

39、位于同一平面上。这些交线的共同平面称为透视平面，参见图8-6。这里需要补充说明一些事情。我们在定义线束互为透视的图8-2中，两个线束的中心P1与P2都画在点列u的上方，但这不是必要的，如果它们位于不同侧，我们仍然称它们相互透视。类似地，在图8-3中，两个点列u1和u2都画在透视中心P的下方也非必要，如果它们分别位于中心的不同侧，我们仍然称它们互为透视。最后，在图8-6中，若把两个轴束n1和n2都画在透视平面n的同一侧，我们仍然称它们互为透视。在今后的许多定理的证明中，为避免繁琐，往往仅就一种图形进行证明，但其证明不失一般性，对其他一种情况也将成立。射影对应关系不难想象，两个点列，除了透视对应外

40、，还可以有更一般的对应关系。确实如此。我们来看个例子，考察图9-1。A9-1点列ACB和A”CB”互不透视但互为射影线束S1与S2以ACB为共同的透视轴，对称地位于轴的左右二侧，根据上节线束与线束互为透视的定义以及后面的补充说明，S1与S2互为透视。现用两条直线从两个线束分别截取两个点列ACB和A”CB”，则由上节图8-3可知，它们均与ACB透视。但因CC与AA的交点T2，CC与BB交于为T1，点列ACB和A”CB”对应点的连线AA,BB,CC没有共同交点作为透视中心，故点列ACB和A”CB”不透视对应。两个点列u1与u2,无论是本身直接透视对应，还是经过一系列透视对应，使u1与u2对应，都称

41、相互射影对应。射影对应的点列，又称处种等价的定义。在这里我们先对这种对应关系作些说明：*射影对应关系是一种1-1对应关系。*射影关系具有传递性。即如果u1射影对应于u2,而u2射影对应于u3,则u1射影对应于u3。如下面图9-2中画出的四根粗线代表四个点列，它们从左到右相邻的依次透视对应（因而也射影对应），不相邻的则都不透视对应,但全部点列都称为相互射影对应。图9-2经多次透视对应仍为射影对应9-3平行射影（投影）始终保持平行*射影关系除了定义在两个点列之间外，也定义在任意两个基本形之间。包括点列与线束、线束与线束等。如图9-2中4个线束与4个点列之间全部射影对应。*如果线束S1为平行（射影中

42、心在无穷远点），则线束到点列的射影就像光线投射到半透明镜面，无论经多少次，其反射或透射的线束都相互平行。当然，射影线束的路径与光线反射折射路径不同，没有入射角与反射角相等的限制，如图9-3所示。10无穷到1或1到无穷的对应我们前面已讲到，直线点与平面点能建立1-1对应。但这种对应没有连续性。我们如果要求对应有连续性（见上一节），那就情况两样了。现考察不在同一平面的二条空间直线a,b，在直线a上取m点，在直线b上取n点，则连接m点和n点的直线数目显然共有mn条。如图10-1所示。如果我们把一条直线的所有点象征地记作那么，一条线上的每一点都有条直线与另一条直线相连，故连接两条直线上点的直线集是比直

43、线点集有咼一阶的无穷，是二阶无穷。一个点连到另一条直线的*个点的对应称1到*的对应，反过来的就叫*到1的对应。10-1两点与三点的连线有六条11-1点P与a,b点连线l对应11平面点的无穷阶数现来证明（参看上页图11T），平面n上的点P可以和两条不在同一平面的空间直线a,b的点的连线l建立1-1对应。【证明】首先，直线系中的每条直线l都能与平面的一个点相交，此点P就是对应于直线l的平面点；反之，平面n的每个点P也唯一地确定一根直线l与两条已知直线相交，这就是由P和a及P和b所决定的两个平面的交线1。由此可知，平面点集与不在同一平面的二条线相交的直线全体有相同阶，也就是说，是二阶的。现在我们把已

44、有的这些结果表达如下：阶与二阶无穷集如果把直线上的点的全体称为一阶无穷集，则平面上一个线束中的所有射线也是个一阶无穷集，空间中一个轴束中的所有平面也是一阶无穷集。而与两条不在同一平面的直线相交的所有直线是一个二阶无穷集，一个平面上的所有点也是二阶无穷集。通过空间一点的所有直线如果我们将平面上的每个点与不在此平面上的一个固定点相连，那么我们就为平面点和通过空间点的直线建立了1-1对应。因此，通过空间一点的所有直线是二阶无穷集。图14-1过空间一点的平面与直线1-1对应通过空间一点的所有平面如果我们为通过空间某点P的每条直线li作一垂直于此直角并仍通过P点的平面ni,则我们就为通过空间一点的直线与

45、通过空间一点的平面建立了1-1对应，由此可知，通过空间一点的平面全体也是二阶无穷集。见图14-1。平面上所有的直线设n是一个平面，则n上的直线全体为二阶无穷集。【证明】设P是空间中不在n上的一个点，因通过一点P的所有平面前面已证为二阶无穷，所以我们只要证明n上的直线可以和通过点P的平面建立1-1对应就行了。图15-1平面直线a与为二阶无穷的证明对于通过点P的任一平面n,我们求出n与n的交线a,此交线存在唯一，它就是n上与平面n对应的直线。由于空间的一个点和一条线可以唯一地确定一个平面，所以上面这种对应是1-1的，即对于n上的任一直线a,也必有一个且仅有一个通过点P又通过直线a的平面n和它对应。

46、这样，我们证明了平面n上的直线可与通过点P的平面建立1-1对应。故平面上直线全体也为二阶无穷集。又因12中已证明平面上所有的点也是二阶无穷集，故根据1-1对应的传递性，平面上所有点，与平面上所有直线，也可以建立1-1对应。当然，我们也可以利用别的办法来直接证明平面n上的点可与平面n上的直线建立1-1对应。例如，取不在平面n上的一个固定点P,对于平面n上任意一点Q，我们连接Q与P,通过P作一平面n与直线QP垂直，此平面与n交于直线a，则此直线a就可用来与点Q建立1-1对应。我们在第六章中还将给出另一种非常重要方法来实现平面点与平面直线间的1-1对应，即极点和极线之间的1-1对应。平面系和点系我们

47、可以把空间中的一个平面看作组成它的所有点的系统或所有直线的系统，叫平面系(Planesystem)，平面系为二阶基本形。同样，一个空间点当把它看作通过此点的所有直线组成的系统或所有平面组成的系统，叫点系(pointsystem)。点系同样也是一种二阶的基本形。注意不要把点系与空间点集混淆。空间中的所有平面我们现在取空间中三条直线，它们两两均不在同一平面。例如，我们可取立方体上下、左右、前后六个面的12条公共边中相互不邻接的三条，如图17-1粗线所示，作为我们的直线。再在第一条直线上选l点，在第二条直线上选m点，在第三条直线上选n点，则通过每条直线一个点的平面总数就是l、m、n的乘积，即lmn条

48、。因此，如果我们把一条直线的所有点象征地记作那么，通过每个直线一点的平面总数应该就是*3,故我们称这些平面总数为三阶无穷。但显然，空间任意平面都已包含在以上集合中，由此可得：由空间所有平面组成的系统是三阶无穷集。17-1在同平面时3采盪;空间中的所有点现考虑17的两两不在同一平面三条直线中，我们通过三条直线每一条的每个点作一垂直平面，这样对于三条直线的每一组点可以得到三个平面，而这三个平面又进一步确定了空间唯一的点。而且反过来，对于空间每一个点，我们可以通过它得到唯一的一组三个平面垂直于三条直线，因此，空间点可以和通过三条直线各一点的平面建立1-1对应，而后者是三阶的无穷集，由此证明，空间点集

49、是三阶无穷集。空间系我们把三维空间看作组成它的所有点或所有平面的系统，就叫空间系。因此，空间系是一个具有三阶无穷的基本形。空间中的所有直线如果我们把一个平面上每一个点连接到另一平面上每一个点，那么，这样的连线的总数应是*2乘*2条，即*4条。而这些连线全体就是空间中所有的直线。所以，空间所有直线为四阶无穷，空间直线是一个四阶基本形。点与数之间的对应在解析几何中，点线面等几何元素都与数建立1-1对应。为了与不同类型的几何元素建立1-1对应，需要用不同数目、不同取值范围、不同类型（变量，常量，符号常量）的数。对于无穷直线上变化的点，需要利用取值范围为？*到+*的一个变量X与它对应。平面上的点则需要

50、一对这样的变量（x,y）与之对应，空间点需要三个这样的变量（x,y,z）来对应。取值范围为？*到+*的一个常数，如3.1416,用来确定直线上一个固定点的位置，两个常数用来定义平面上一个点的位置，三个常数用来确定空间一个点的位置，等。平面上的直线或曲线（如圆，椭圆等）均可看成一个平面点P（x,y）的运动轨迹，需要用包含x,y两个变量的方程来对应。类似地，空间中的直线、平面或曲面（如球面）均可看成一个空间点P（x,y,z）的轨迹，需要3个变量的方程来对应，等。x=a包含符号a，要代入-*到+*间的常数才是确定方程，故直线方程，因而也是直线点，有无穷多个。类似地，平面直线方程，如y=ax+b,含有

51、a,b两个代表常数的符号,它们的取值范围都是？*到+。故平面直线方程的数目或平面直线的数目，都有无穷多，且无穷的阶数为二。同样，空间平面方程z二ax+by+c含有a,b,c三个符号常量(或称“系数”)，它们每一个取值范围都为-*到+*。由此可知，空间平面有无穷多条，且无穷的阶数为三。同样，平面上圆的方程(x-a)2+(y-b)2=C2也含有a,b,c三个符号常量，其中每一个取值范围都为-*到+*，由此可知平面圆全体也是一三阶无穷。同理，因空间球面方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=d2含有a,b,c,d四个符号常量，所以空间球面为四阶无穷。注意，无论直线与曲线、平面与曲面，都可用不同

52、类型方程表示，有时出现的符号常量并不独立，就不能用来确定无穷阶数。如平面直线方程常写成含有三个符号常量的通式：ax+by=c，(其中a,b不同时为0)，这里a,b,c三系数不独立。当a不为0时，方程可化为x=cy+d；当b不为0时，方程可化为y二ax+b形式。这样都减少为两个独立的符号常量。总之，只有方程的符号常量最少时，它们的数目才能代表方程的无穷阶数。根据这一点，二次曲线方程：ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,含有6个符号常量，但其中二次项系数a,b,c不能全为0,故总可以化成5个符号常量的式子，所以二次曲线为五阶无穷。另外，当方程有约束，阶数也随之减少。如通过一点的二次曲

53、线为四阶无穷，通过两点的二次曲线为三阶无穷，如果通过五点，则曲线数目只有0阶无穷，即只有唯一的一条曲线了。我们或许期望在平面圆与空间平面或与空间点之间建立1-1对应，因为它们都是三阶无穷；或者在空间球面和空间直线之间建立1-1对应，因为它们都是4阶无穷。这确实都是行的，并可利用这种对应关系从一个定理来导出另一个定理，例如，利用有关直线的各种定理推导有关球面的定理，或者反之。这就是1-1对应的价值，它使数学家们有可能得到更多重大发现。但不应忘记，这里的对应必须是连续的。对于不受连续性约束的对应，如4中介绍的直线点与平面点的对应，就完全没有这种可能了。实际上，在后一种对应方式下，无穷的阶数和维数概

54、念均已消失，所有点集都能1-1对应，无论它们有几阶或几维。无穷远元素为了解释清楚研究射影几何中经常使用的一个术语，我们有必要向读者最后补充几句。当我们为直线设立无穷远点时，目的只是为弥补直线上所有点不能与通过一点的所有直线建立1-1对应这一缺陷。但这是一虚构点，实际并不存在。我们说它是一个点，而不是一些点，因为在Euclid几何中，通过一点只能作一条线平行于一特定线。同样，我们说平面的所有无穷远点组成无穷远直线，是因为直线是我们能想象的、对平面上任何直线都有一个交点的最简单形式。同样，我们说空间的所有无穷远点组成一个无穷远平面，是因为平面是我们能想象的、对空间中任何平面都有一条交线的最简单形式

55、。我们不能由此推断这些虚构的概念在物理上实际存在，也不能以为不可能用别的方法来描述这些无限远概念。事实上，在数学的另一个分支复变函数论中就采用与此完全不同的解释，虚构了另一种无穷远点概念。它把平面上的每一个点Z与一球面（称黎曼球面）上的点P（Z）建立1-1对应，如图22-1所示。图中的球面被平面截在赤道大圆上，它的一半在平面上（有较深着色部分），一半在平面下（着色很浅部分）。对应的方法就是从球的最高点（即球顶或北极）引一直线到平面点Z，此直线与球面的交点P（Z）就是与Z对应的球面点。因此，如果点Z在此赤道大圆内部，如B点，其对应点P（B）位于下半球面。如果点Z在此大园外，如A点，其对应点P（A

56、）位于上半球面。如果是无穷远点，则不管什么方向，直线均与球面在球顶相切，故平面所有的无穷远点均对应到球顶一点，不再有无穷远直线的概念，这和射影几何中的无穷远点概念完全不同。图22-1平面点Z与球面点P(Z)建立1-1对应 HYPERLINK /wiki/Riemann_sphere /wiki/Riemann_sphere第一章习题1.空间点集是三阶无穷，空间点对有六阶无穷，为什么由两个空间点组成的空间直线不是六阶无穷，而是四阶无穷？2空间直线是四阶无穷，而空间每一条直线与一个固定点决定了一个平面，为什么空间平面不像空间直线一样是四阶无穷，而是三阶无穷？试证空间中通过一点的圆为四阶无穷（提示：

57、将圆的轴（axis）与空间直线1-1对应）。试找出与空间一直线相交的所有直线的无穷阶数，与二直线相交的所有直线的无穷阶数，与三直线相交的所有直线的无穷阶数；与四直线相交的所有直线的无穷阶数。试找出空间中，分别通过一个、两个、三个、四个固定点的所有球面的无穷阶数。试找出球面上所有圆的无穷阶数；找出球面上分别通过一固定点、两固定点、三固定点的圆的无穷阶数；找出与一已知直线相切的圆的无穷阶数。试找出与一球面向切的所有直线的无穷阶数；找出与一球面向切的所有平面的无穷阶数；找出与一球面向切并通过一固定点的所有直线和平面的无穷阶数。试将本章讲过的所有一、二、三、四阶无穷列出分类清单。自然数集是否能和直线点

58、集建立1-1对应？第2章1-1对应基本形之间的关系七种基本形上章我们开始考察点列、线束，轴束三种一阶基本形，后来则又增加了面系、点系、空间系和空间直线系四种二阶或二阶以上的基本形，一共已有七种基本形。基本形都是由点、线、面等几何元素组成的最简的几何结构。本章我们将以这些基本结构为素材来构建一种更为一般的几何理论，这种理论将把中学的平面几何作为其特例。这里关心的，不再是角度大小、面积多少、线段长短等度量性质，而是对上述七个基本形进行组合与比较，并利用它们来生成新的几何形，如曲线和曲面。在构造过程中，除了某些理论的特殊应用之外，我们所做的工作仅仅是去寻找两点之间的连线、寻找两条直线的交点、寻找两个

59、平面的交线，等，一般地说，就是寻找两个基本形的共同元素。射影性质本章我们的主要兴趣是寻找存在于同一种基本形元素之间的关系，当这种基本形1-1对应到其他基本形时，这些关系保持不变。不要以为一个集合的元素间的关系，一定也存在于和它1-1对应的集合元素间。如果这样想，那是危险的，这种想法会导致所谓的“类比证明”，它在那些专门利用比喻来进行推理的理论家中广泛流行。作为一门数学，我们绝对不能应用“类比证明”。当然，要做出准确判断并不容易。例如，已知点列u上三点A、B、C中“B是AC中点”，就不能推出与u透视对应的点列u的对应三点A、B、C中“B是AC中点”。但另一方面，A、B、C三点“B在AC两点之间”

60、的关系，却能保存到与u透视相关的点列u的对应三点A、B、C之间，即“B在AC两点间”也为真。任何基本形元素之间的关系，如对应到与其射影相关的基本形元素去仍保持不变，叫射影关系(projectiverelation)，凡涉及角度大小、线段长短等度量性质的关系都不是射影关系。25Desargues定理我们首先来考察以下这个漂亮的定理，它是用定理的发现者Desargues的名字来命名的：两个三角形ABC和ABC对应顶点的连线AA、BB和CC交于同一点，则两三角形的对应边AB和AB，BC和BC、CA和CA全部交在同一条直线。如图25-1所示。图25-1Desargues定理证明设AA、BB和CC的共同