湖南师大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案

1、湖南师大附中20172018学年度高二第一学期期末考试数学（理科）命题：贺仁亮朱修龙严勇华周艳军审题：高二数学备课组时量：120分钟满分：150分得分:、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2i1.设i是虚数单位,则复数口在复平面内所对应的点位于A.第一象限 B .第二象限2.设向量a= (1,3 .设 m, a II 3D 3 / 丫all 丫A |a|=|b|n是不同的直线，a、a_L 3;3m / aB.3、4.已知命题p：xe R,使sinXo=命题 q ：A. p为真5.若曲线x2+y2+2x6y+1 = 0上相异两点P

2、、,10), b= 2h ：2a b=2C .第三象限D .第四象限11 ,则下列结论中正确的是C.a / b D. a b 与 b 垂直丫 是不同的平面，有以下四个命题: m a ;m / 3A.，一个 m / n a，3 ；m“ a .n a其中正确的命题是C .D .xC 0, 2 , xsinB .税q为真C .x,则下列判断正确的是pA q为真D . p V q为真Q关于直线kx+2y4=0对称,A 1B. 1.已知f（x）=sin x+q3cosx（xC R）,函数y = f（x+（H的图象关于直 线x=0对称，则则k的值为WD.2（）的值可以是A.T B. C.7 D.2346.

3、若(2x + 3)= a+ a1X +a2x+a3x+ adx, 则(ao+ a2+ a4)一(a1 + a3)的值为A. 1 B. 1 C . 0 D . 28.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,表:年收入x（力兀）8.28.610.011.311.9年支出y（力兀）6.27.58.08.59.8随机调查了该社区 5户家庭，得到如下统计数据根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=ybx,据此估计，该社区一户年收入为15万元时家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元9.若曲线f（x）=xsinx+1在x=2处的切线与直线ax+2

4、y+1=0互相垂直，则实数a等于A.-2B.1C.1D.210.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(参考数据：0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴a23长为A.1B.2C.3D.612.某几何体的一条棱长为炉,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为J6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线

5、段，则a+b的最大值为A.22B,2,3C.4D.2.514.已知数列an的前n项和为点(n,Sn)(nN)在函数y=2x2+x的图象上，则数列an的通项公式为an=yK15.设m1,在约束条件ymx下，目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为.x+y2).(I)证明：数列an+1an是等比数列，并求出an的通项公式；21111(n)设数列bn满足bn=2log4(an+1),证明：对一切正整数n,有何+q.(本小题满分12分)某商场准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动(I)若选出的3种商品中至少有一

6、种是日用商品，求共有多少种选法？(n)商场采用顾客每购买一件促销商品就可摸奖一次的促销方案：若甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共四个球若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖，试求在1次摸奖中，获得一、二、三等奖的概率p1、p2、p3.21.(本小题满分12分)已知椭圆C：玲十号=1,椭圆G以G的短轴为长轴，且与G有相同的离心率.164(I)求椭圆C2的方程；(n)若椭圆G与x轴正半轴相交于点A.过点B(1,0)作直线l与椭

7、圆G相交于E,F两点，直线AE,AF与直线x=3分别交于点MN.求EMFM的取值范围22.(本小题满分12分)12已知函数f(x)=lnx+2x(nn+2)x有两个极值点xi、X2,其中xiX2.(I)求实数m的取值范围；e2(n)是否存在头数m,使得函数f(x)的极小值大于-2?右存在，求出m的取值氾围；右不存在，请说明理由.湖南师大附中高二第一学期期末考试理科数学参考答案-(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中20172018学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题.B【解析】由题意=-2i+=J+2i=i+i,其对应的点坐标为(1,i),位 TOC o 1-5 h z

8、 1-i(1i)(1+i)2于第二象限，故选B.D【解析】|a|T12+02=1,|b|=y12+12=*；1一11211a-b=1x2+0X2-=(ab)b=ab|b|=2-2=0,故ab与b垂直.C【解析】由定理可知正确，中m与3的位置关系不确定，中可能m”.故选C.D【解析】由于三角函数y=sinx的有界性，一1wsinxq0,y为单调递增函数，有yy|x=0=0恒_兀.成立，即x0,2,xsinx,所以q真.判断可知，D正确.D【解析】曲线方程可化为(x+1)2+(y3)2=9,由题设知直线过圆心，即kX(1)+2X34=0,k=2.故选D.兀一兀.，一D【解析】f(x)=2sinx+

9、3,又y=f(x+()=2sinx+g+()的图象关于直线x=0对称，即为偶函数，3+4=2+k%,()=卜兀+6c,kCZ,当k=0时，4=6.A【解析】设a0+a1+a?+a3+a4=a=(2+3),aa1+a2a?+a4=b=(23),则待求式=ab=(2+悯(2)4=1.8. B【解析】由已知得x=8.2+8.6+10.0+11.3+11.9一6.2+7.5+8.0+8.5+9.8-=10(万兀)，y=-=8(万55元)，故2=80.76X10=0.4,所以回归直线方程为y=0.76x+0.4,当社区一户年收入为15万元时家庭年支出为y=0.76Xl5+0.4=11.8(万元)，故选B

10、.D【解析】f(x)=sinx+xcosx,f2=1,即函数f(x)=xsinx+1在x=b的切线的斜率是1,直线ax+2y+1=0的斜率是一a所以一aX1=1,解得a=2.故选D.B【解析】n=6时，S=；X6Xsin60=芋2.5983.10，故n=12;又n=12时，S=；x12Xsin130=33.10,故输出n的值为B.B【解析】双曲线x|-y2=1的渐近线方程为y=*x,即y3xay=0,圆(x2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为r=2,如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|=22-12=J3,另一方面，圆心C(2,0)到双曲线x|-yy=1的渐近线3x-ay=0的距离为d=

11、3221|=j-/3_,所以-*f，aAj3+a243+a243+a2解得a2=1,即a=1,该双曲线的实轴长为2a=2.C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图设长方体的长，宽，高分别为m,n,k,由题意得m2+n2+k2=,m2+k2=J6n=1,pJl+k2=a,11+m2=b,所以(a1)+(b1)=6a+b=8,所以(a+b)=a+2ab+b=8+2abW8+a+b=16a+bW4,当且仅当a=b=2时取等号.选C.二、填空题兀+2【解析】:(x+sinx)=1+cosx,2t - 2(1 + cos x)dx=(x +sin x)|14. 4n 1【解析】由题意可

12、得:兀 兀 兀，一一兀兀，一一 兀，c3-2=2 + sin 2 2+ sin 2 =兀 + 2.S=2n2+n,易知数列an为等差数列，首项为3,公差为4, .an=4n1.15. 3【解析】作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影4OAB.11;目标函数可化为y=5x+5z，它在y轴上的截距最大时z最大，当目标函数线过点 A时z最大.x + y= 1解得Ay = mx1m+ 11J吧1一m+1+m+rm+1-4.m= 3.16.卡一1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1 ，义可知，点P到y轴的距离为|PF| 1,所以点P到直线l0）.设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定的距离与到y轴的距

13、离之和为 d+|PF| 1.易知|2+3|d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d+|PF|的最小值为=所以d+|PF|-1A/22+（-1）2的最小值为机-1.三、解答题.【解析】（I）4ABC中，b=J3R,，sinB=旦=电,又c为最大边,2R2所以BC0,2,B=(4分)(n)由bsinB=(a+c)sinA,得b2=(a+c)a,a2+c22accosB=a2+ac.化简彳导:c2acosB=a.由正弦定理可得sinC2sinAcosB=sinA.sinC=sin(A+B),.sin(A+B)2sinAcosB=sinA.一、._兀.sin(BA)=sinA.0A,B2,TT_

14、TT,.一,B-A=A,B=2A,.1.A=,C=,ABCRtA.(10分)62.【解析】证明：(I)连接AC,BD相交于点O,取DE的中点为G,连接FG,OG.1.ABCD正万形，。是BD的中点，OG/BE,OG=BE,1又因为AF/BE,AF=2BE,所以OG/AF且OG=AF,所以四边形AOG陛平行四边形，（3分）.AC/FG,又因为FG平面DEFAC平面DEF.AC/平面DEF.（5分）（另解：延长BAEF相交于点G,连接GD可证明AC平行GD）（n）,ABCD正方形，ABEF是直角梯形，/FAB=90,.DALAB,FA,AB.ADAAF=A,.AB,平面AFD,同理可得AB平面EB

15、C.又AB平面ABCD所以平面AFDL平面ABCD又因为二面角EAB-D为60,所以/FAD=/EBC=60,BE=2AF=4,BC=2,由余弦定理得EC=20所以ECLBC,又因为AB!平面EBC所以EC!AB,所以EC平面ABCD（7分）以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系.则0（0,0,0）,D（0,2,0），E（0,0,2姆）,F（1,2,姬），（8分）所以CE=(0,0,23),DF=(1,0,43),EF=(1,2,J3),设平面DEF的一个法向量为n=(x,nDF=0 x+V3z=0y,z),则即nEF=0 x+2y-3z=0 x=3,令z=串,则

16、y=3,所以n=（-3,3,取.（11分）设直线CE和平面DEF所成角为0,贝U sin0 = |cos CE平.(12分)(其它解法酌情给分)19.【解析】(I)由 an+1 = 3an 2an-1 , 可得 an+1 an= 2(an an1) , (2 分) .a2a1 = 2,，an+1an是首项为2,公比为2的等比数列，即 an+1an= 21(3 分)an= (an an1) + (a n1 an2) + + (a 2 a( + a1=2*2n-2+ 2+1=11-2=2”一 1.(6 分)(n)由题意得 bn=2log 4(2n)2=2n.(7 分)bn_1 4n21 (2n-

17、1)(2n+ 1) 2 2n1 2n+1(9分)1.1.1+ +b21 b21 b213 5 + 2n-1 2n+ 11 , 1=2 1-3 +=1 1 -122n+112n,有1b2 1111_1-+b0）,a2b2则a=2,e=2.c=J3,b2=1.，椭圆G的方程为华+y2=1.（4分）4（n）由椭圆C2的方程可知点A的坐标为（2,0）.）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得E1,当,F1,专,M3,当，N3,手，所以EM市=1.（6分）（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x1）,显然k=0时，不符合题意.y=k(x1)由消y并整理得(4k2+1)x

18、28k2x+4k24=0.x2+4y24=0设 E(xi, y1),F(x2,8k2y2)，则 xi + x2=,4k2+ 14k2 4xiX2=.(7 分)4k2 + 1直线AE, AF的方程分别为：y =一忆(x2), y =2-(x2), x1 -2x2-2y1则 M3，, c，x1 2 N 3,y2x2- 2 .所以EMy1 (3 x1).y2 (3 x2)3 x1, FN= 3 x2 ,.(8 分)x1-2x2-2一 一y1 (3x1)所以 EM - FN = (3Xi)(3 X2)+x1 - 2y2 (3 x2)x2-2=(3 -Xi)(3 X2) 1 +y1y2(x12) (x22)=(3 xi)(3 - X2)1 + k2(x1 1) ( x2 1)(x12) (x22)x1x2(x1+x2)+1=x1x23(x2+X2)+9)X1+k2x1x2-2(x1+x2)+4434+94k2+14k2 + 1