图像信号分析和变换

1、关于图像信号的分析与变换第一张，PPT共六十三页，创作于2022年6月主要内容 2.1 图像信号的数字化 2.2 离散傅立叶变换DFT 2.3 离散余弦变换DCT 2.6 图像的统计特性 第二张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.1 图像信号的数字化 数字图像处理的前提：连续图像离散化数字图像。 图像的数字化的过程：采样；量化。 所谓图象的数字化指将代表图像的连续模拟信号转变为离散数字信号的变换过程。包括图像像素空间坐标(x,y)的网格化(即离散化采样)和光强度(即灰度)I的量化。第三张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 采样：即取样或抽样，对连续变化的图像在空间坐标上作离散化的

2、过程，选取的采样点为像素；在采样点上的函数值(或亮度值)为采样值或样值。采样为图像信号的定义域离散化。 量化：原图像经采样后离散化为像素阵形,但每个像素的亮度值仍为连续量，将这些连续的无穷多个像素值离散化为有限个整数值(常用2n表示)的近似表示的操作称为量化。量化为图像信号的值域离散化。第四张，PPT共六十三页，创作于2022年6月第五张，PPT共六十三页，创作于2022年6月第六张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 注意：由于 f (i, j) 代表该点图像的光强度，而光是能量的一种形式，故 f (i, j) 必须大于零，且为有限值，即： 0 f (i, j) 。 数字化采样一般是按正

3、方形点阵取样的， 除此之外还有三角形点阵、正六角形点阵取样。正方形网格正六边形网格第七张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.1.1 图像的扫描与采样图像在空间上的离散化称为采样。图像是一种二维分布的信息，采样是在x轴(垂直方向)和y轴（水平方向）两个方向上进行。采样过程：先沿垂直方向按一定间隔从上到下顺序地沿水平方向直线扫描，取出各水平线上灰度值的一维扫描。而后再对一维扫描线信号按一定间隔采样得到离散信号，即先沿垂直方向采样，再沿水平方向采样这两个步骤完成采样操作。第八张，PPT共六十三页，创作于2022年6月采样点间隔的选取：依据原图像中包含的细微浓淡变化来决定。一般, 图像中细节越

4、多,采样间隔应越小。对一幅图像采样时，若每行（即横向）像素为M个，每列（即纵向）像素为N个，则图像大小为MN个像素。采样间隔第九张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.1.2 二维取样定理第十张，PPT共六十三页，创作于2022年6月图像的空间采样间隔为 图像频谱截止频率为 图像的采样频率为 二维采样定理为（Nyguist 准则） 选择适当,使 大于或等于原图像覆盖频率间隔 两倍时，则采样不出现重叠现象。图像满足二维采样定理则采样不会出现重叠现象。第十一张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 亚取样和混叠效应 亚采样： 混叠效应：指取样图像频谱的各次谐波发生重叠亚采样易造成图像信号的

5、频谱的混叠效应。第十二张，PPT共六十三页，创作于2022年6月第十三张，PPT共六十三页，创作于2022年6月采样时的注意点：采样间隔的选取。采样间隔取得不合适除了画面出现马赛克之外，还会发生频率的混叠现象。采样间隔效果示意图第十四张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 取样图像的数学表示：设fi(x,y)为原图像信号，fp(x,y)为采样图像信号，二维图像信号用冲激函数阵列采样则有采样图像信号为第十五张，PPT共六十三页，创作于2022年6月构造一个理想的低通滤波器为低通滤波器的冲激响应为问题：如何从取样图像恢复原图像？第十六张，PPT共六十三页，创作于2022年6月则从取样图像恢复原

6、图像恢复图象应该等于取样图象和低通滤波器h(x,y)的卷积.第十七张，PPT共六十三页，创作于2022年6月第十八张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.1.3 图像的量化采样后所得各像素的连续灰度值的离散化称为量化。量化误差：若连续浓淡（灰度）值用z表示，则对于满足zizzi+1的z值都量化为整数值qi。qi称为像素的灰度值。而z与qi的差称为量化误差。 以有限个离散值近似表示无穷多个连续量，一定会产生量化误差。由此产生量化失真。第十九张，PPT共六十三页，创作于2022年6月1.（等间隔量化）均匀量化设原图像灰度变化范围从r0到rk,r0最暗,rk最亮。把这灰度动态范围均匀分为k等份

7、,每一层赋予一个固定码字:q0到qk-1。量化过程就是把图像像素样本灰度值与各层灰度判决值相比较,凡落在相邻两层之间像素赋予该层的值。等间隔量化：采样值灰度范围等间隔分割非等间隔量化：采样值灰度范围不等间隔分割第二十张，PPT共六十三页，创作于2022年6月一幅图像及其直方图第二十一张，PPT共六十三页，创作于2022年6月等间隔量化效果示意图第二十二张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2. 非等间隔量化依据一幅图像具体的灰度值分布的概率密度函数，对于像素灰度值频繁出现的灰度值范围，量化间隔小一些。而对像素灰度值极少出现的灰度范围，则量化间隔大一些。讨论： a对亮度值急剧变化部分粗量化，

8、对亮度值变化平缓部分细量化。 b估计所有可能亮度值出现概率大的亮度值细量化，概率小的量度值粗量化。 c采样点固定，自适应改变采样密度。 第二十三张，PPT共六十三页，创作于2022年6月非等间隔量化效果示意图第二十四张，PPT共六十三页，创作于2022年6月充分考虑到人眼的识别能力之后，目前非特殊用途的图像均为8bit量化，即用0255描述“黑白”。 低bit量化的伪轮廓现象示意图在3bit以下的量化，会出现伪轮廓现象。第二十五张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 图像信号的正交变换 主要有DFT、DCT、DWT 、 DHT等。 图像信号正交变换的优点： 图像数据量大，如果直接在空间域处

9、理，则计算量大，且随着图像样点数目增加而计算量急剧增加，难以实时处理。 采用图像信号正交变换，将输入图像信号从空间域转换到频率域，可以把空间域中卷积或相关运算简化为频率域相乘处理，大大减少计算量，提高处理速度，可改变难以实时处理局面。第二十六张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.2 离散傅立叶变换DFT DFT的优势： 建立了离散时域（或空间域）与离散频域间关系。 DFT大大减少计算量，提高处理速度。提供的FFT算法，彻底改变难以实时处理的局面。时域（或空间域）卷积或相关运算 频率域相乘运算第二十七张，PPT共六十三页，创作于2022年6月一维Fourier变换定义 设 为x的函数，若

10、满足 ，那么，下列二式成立： x为时域变量，u为频率变量，以上公式称为Fourier变换对。Fourier变换第二十八张，PPT共六十三页，创作于2022年6月另一种形式 令 则 是一个复数， 称为 的Fourier谱， 称为相位谱。一维Fourier变换Fourier变换第二十九张，PPT共六十三页，创作于2022年6月二维函数 若满足绝对可积条件，那么二维Fourier变换对存在。Fourier谱：相位谱：二维Fourier变换第三十张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.2.1 一维离散傅立叶变换设对1个连续信号f(x)等间隔采样得1个离散序列，设共采了N个样，则这个离散序列可表示

11、为f(n)|n=0,1,N-1，令x为离散实变量，u为离散频率变量，则其离散傅立叶变换对定义 式中x,u=0,1,N-1第三十一张，PPT共六十三页，创作于2022年6月通常傅立叶变换为复数形式，即式子中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。通常傅立叶变换也可为指数形式，即其中： 通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，(u)为f(x)的相位谱。第三十二张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.2.2 二维离散傅立叶变换定义二维离散信号f(x,y)|x=0,1,M-1；y=0,1,N-1的离散傅立叶变换对为：式中 x,u=0,1,M-1；y,v=0,1,N-1。 x, y

12、为时域变量， u ,v为频域变量。1. 二维DFT的定义第三十三张，PPT共六十三页，创作于2022年6月二维傅立叶变换的复数形式，即式子中R(u,v)和I(u,v)分别为F(u,v)的实部和虚部。二维傅立叶变换的傅立叶频谱，即二维傅立叶变换的相位谱，即第三十四张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2. 二维DFT的性质 可分离性-二维离散傅立叶变换的实现：即二维离散傅立叶变换正反变换运算可分别分解成两次一维离散傅立叶变换运算：第三十五张，PPT共六十三页，创作于2022年6月那么对于正变换式子可分成下面两个式子：在上式中，每个式子都为一个一维离散傅立叶变换，所以二维离散傅立叶变换F(u,

13、v)可由f(x,y)先按行进行一维离散傅立叶变换，再按列进行一维离散傅立叶变换得到。第三十六张，PPT共六十三页，创作于2022年6月用两次一维DFT计算二维DFT图示：第三十七张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 平移性质表明只要将f(x,y)乘以因子 ，再进行离散傅立叶变换，则可将图像的频谱原点(0,0)移动到图像中心(M/2,N/2)处。第三十八张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 旋转不变性表明如果时域中离散函数旋转角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样角度。第三十九张，PPT共六十三页，创作于2022年6月下面为傅立叶频谱旋转不变性示意图(a)图表示原图像；(

14、b)图表示原图像傅立叶频谱；(c)图表示旋转45度角后图像；(d)图表示旋转后图像傅立叶频谱第四十张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 线性 共轭对称性是 Fourier变换的共轭函数，则第四十一张，PPT共六十三页，创作于2022年6月 缩放性说明函数在空间比例尺度上的展宽相当在频域比例尺度上的压缩，且幅值减少为原来的1/|ab| 卷积定理第四十二张，PPT共六十三页，创作于2022年6月DFT频谱图分析：傅立叶变换后的图像,中间部分为低频部分频谱能量集中部分,越靠外边频率越高。第四十三张，PPT共六十三页，创作于2022年6月二维DFT频谱图第四十四张，PPT共六十三页，创作于202

15、2年6月3. 快速Fourier变换(FFT)DFT的计算量大，运算时间长，所以提出FFT，不是一种新的变换，只是DFT的一种算法。原理：W因子的周期性， DFT中的乘法运算中有许多重复内容。第四十五张，PPT共六十三页，创作于2022年6月将原函数分为奇、偶项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。二维FFT由可分性知：2维DFT可看成是两次的1维DFT变换，即：所以，可以分别对图像的每一列进行FFT，然后再对每一行进行FFT。第四十六张，PPT共六十三页，创作于2022年6月例：已知图像为求2维FFT变换F(u,v)第四十七张，PPT共六十三页，创作于2022年6月列

16、变换经过列变换后为：第四十八张，PPT共六十三页，创作于2022年6月行变换第四十九张，PPT共六十三页，创作于2022年6月DFT在图像处理中的应用DFT在图像滤波中的应用DFT变换后的图像，中间为低频部分，越靠外频率越高，因此，可选择所需的高频或低频滤波。DFT在图像压缩中的应用变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。DFT在卷积中的应用第五十张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.3 离散余弦变换DCT 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参

17、数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了DCT变换。第五十一张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.3.1 一维离散余弦变换：设f(x)|x=0,1,N-1为信号序列集合，其离散余弦的正反变换定义为：其中第五十二张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.3.2 二维离散余弦变换：正变换反变换其中第五十三张，PPT共六十三页，创作于2022年6月DCT的频谱图分析左上角对应低频分量第五十四张，PPT共六十三页，创作于2022年6月注意：二维DCT的频谱分布与DFT相差一倍。二维DCT将能量集中与频谱的左上

18、角。原图像原图像的DFT频谱原图像的DCT频谱第五十五张，PPT共六十三页，创作于2022年6月正交变换的性质能量守恒性能量集中性。空间域亮度均匀分布，频率大部分能量集中在低频系数上去相关性。空间域相关像素，通过正交变换在频域大大降低变换系数之间相关性。熵保持性。变换系数F(u,v)的熵值和原图像信号f(x,y)熵值相等。第五十六张，PPT共六十三页，创作于2022年6月2.4 图像的统计特性 图像的统计特性是指图像信号(亮度、色度或其抽样值等) 本身，或对它们进行某种方式的处理以后的输出值的随机统计特性。 例如图像的同一行相邻像素之间，相邻行对应像素之间，以及活动图像相邻帧的对应像素之间往往存在很强相关性。 对图像信息进行压缩编码就是通过去除图像信号的这种固有的统计特性的。第五十七张，PPT共六十三页，创作于