边界条件的复变函数表示

1、 8. 4边界条件的复变函数表示学习思路:边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析， 面力边界条件也需要用K-M函数表达。在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条 件。而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式， 这是复变函数性质决定 的。用复变函数描述的面力边界条件有三个。显然，这三个关系式不是独立 的，仅有两个独立关系。学习要点:.任意一点的面力边界条件复变函数表达.边界线段AB的面力边界条件：%+ N*+犷力、(工x+凡)出.边界力矩与K-M函数的关系：舅=Re-zfp/(z

2、)-z(z) +4.位移边界条件3 -十外-9 3/二2H思考题：1.根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解 析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。(解答)对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为将复变函数表示的应力分量表达式d2u班砂代入上式，则d2U d2U加dy2 dxdy-mfixd2u ;T- - IdxdyA量取的弧长（边界弹性体ds设AB为弹性体的任意一段边界，而 s是从边界上一 1 的外法线n指向弧长的右边），如图所示。则由几何关系I = cos(,x) = cos a = ch掰=cos(飓 y)= sin a =-dxds将上式代入公式必源吗

3、.ia?法方，可得0 +加 4)-Q /)+j1 3*JG)dz+eonst .7/应该注意的是，%*Q)在多连域内是单值连续的，但是其积分却不一 定是单值连续的。设具有增量 2 i Cko则1mJ 3*JQ)(b =Eqin(分)+3。(n)将上式代入复位势函数表达式，可得死二屯4叱 y)、Z(G - 分4)lnQ -4)-24 Q -%)+ + 3*f (z) JtWL*=1比司L TOC o 1-5 h z 制腌 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 二二4加值一/)+41nQ-4)+甲*工 上=1t=l上式中，Ak为实常数，而耳为复常数。即

4、在多连域内，3f(0为一个单 值解析函数再加上前面两项。对于应力分量表达式% - + 2i = 2叵/ + /Q)43二消“+ E豆、由于良a ,而zk在域s之外，3f(刃域内为单值解析函数。因此*(z)也必须为单值解析函数。但是 中(z)不一定是单值解析函 数，作分析同前，有口=J，也=y*+良ln(z - zj以 】其中啊*g）为单值解析函数，对为任意复常数。由此，对于多连域，k-m 函数仰0）和巴z）的确定出现了三个待定常数 Ak, %和次。其值必须由位移单值 条件和面力边界条件确定。对于平面应力问题，位移分量为2C?(u + iv)3 /二当z绕lk一周时，则上式成为3 p2日1认二苗

5、0一务,3 v八)+ 4”止2疝3-v1 + u A+ r因此，位移单值条件要求4 二，片十匕二口通过位移单值条件，只有一个复常数还不能确定。位移单值条件没能确定的另一个复常数条件将根据面力边界条件确定。对于内边界h设边界面力的主矢量为E二（%+词）小%则W +iF；=帆+ Z级+ +两将公式3f =4 ln（K）+ Z（G - zMln（z 一分）一24 Q -%）+ +?*f 无可*=1比司L制腌=4加卜一/） + /1nQ-4）+甲*工立=1t=l代入上式，则琦 +iF： = -2iL（yk -r）联立求解，可得-白 OiF） 匕二？（F、i玲） Sji8”将上述待定常数回代 公式夕二J

6、U七二犷*+ 显InQ - zj1 4- v 88二-(尸：+词)1n3)+ 消 Q)q _ 口总犷二 bZ (-i)ln(z-zj + 犷 *上述公式为多连域内保证位移和应力单值连续条件的 Wf(z)和中(z)的表达 式，其中的*(2)和啊*0为多连域区域内的单值解析函数。8.6无限大多连域中阵(z)和心z)的表达式学习思路：尽管K-M函数的基本形式已经确定，但是对于一般的弹性力学问题，仍 然难以确定函数的具体形式。本节讨论无限大多连域的K-M函数表达形式。利用无穷远边界条件， 简化对数函数形式，并且在内边界之外将 K-M函数的解析函数部分展开成劳伦 级数。并且利用应力有界条件和无穷远应力确

7、定部分级数系数，为进一步工作奠定基础0学习要点：.无限大多连域中K-M函数的一般形式；仍=_营区+可）+/*。| ,因此= Inz + ki(l -)z=lll/+，R外的单值解析函数二1n ”红_ 1(汨，汨z 2 z n z1 1 p 仙二-+/）L0-分）+ 3* （z）8耳I3 _ 1/ 加口二一上汇（E-打加。-幺）+收*因此，公式I可以表示为4=-答区+ i % ) In z +0*与3 - v .兴二(K -i)lnz + *(z) o Jt组m，=f：%=f；其中,“】g 为所有m个内边界上的表面力在x和y方向的分量的代数和，而？*&)和中*(z)为以外区域内除了无穷远点的解析

8、 函数。在无穷远处，我*(0和平*(z)可能为解析函数，也可能是非解析的。它 们在点以外区域内可以展开成劳伦级数中* *f二工,?*Q) = 22/心二一*(巴+用)巧8 713 v .央Q)(居-i2)lnz +将K-M函数的表达式871,和 g *金二Z / ,犷二Z3”7F代入应力分量表达式%+% =4RfQ),有%F =2聪2凡+i咽一詈(一叫+(b +在用上式右边部分项双/尸+ 丁巧二亚“/冲中+/5叫*口将随| z|的增加而趋于无限大，因此当P趋于无穷远时，为使应力分量不至于成为无穷大，必须有%=% =。，(汉之2)同理，如果应力表达式令一丐+2ir=2年竭3 +材,】的应力分量有

9、界，则祈3在无穷远处有界，所以2=0,(2)于是，为了使应力分量在无穷远处保持有界，则 K-M函数的形式为(工 +i)lnz + (5+iC)z + pf0(z)例二-/区+i4)h2+N*M=-乎O5te&OH(巴-七)1117 + (B，C，)z+ % Q)阳=+土+$+ 2 + _0Z Z Z公式中八=之次=4 +区+与+与+ , FZ Z Z上式中外（工）和中0（z）在4以外区域，包括无穷远处均为解析函数。由 公巴士%二4%4式%-鼻+2i%=型镇3 + 8（期可知如果令即二为二仃二0 ,将不会改变应力分量，因此3f二一手（工+ i4）lnz + & + % 8ji -3 -iz犷Q）

10、二（F. -iF,）lnz + （B+iCA + h oTt“， b, 氏 A八二+4十年 z z Z内二一I + 1/1丁 (兄+吗加Z+力qzvTIr9_ + y丁(尺 +i)liiz+(B+iqz + pf0(z) 071口二学区一回）ln z + （F+iC）z +%中的常数B和B+iC在无穷远处具有力学意义，说明如下。用小立 N8时，limWfQ）二为 liin r（z） = BiCf 苏以九中一因为，当r - 卜 支、。所以在无穷远%+ %二4区靖处，由公式% 一%+方% =枣处”+，（切% +% =43% q+2i% =2（卸+iC）设5, 5为弹性体无穷远处的主应力， 如图所示。而口为5与X轴的夹角，则a = -十 cos 2以 TOC o 1-5 h z 22 HYPERLINK l bookmark124 o Current Document + o T b dT 2.d = -cos2a22r = -