100测评网高二数学练习卷椭圆的标准方程

1、典型例题一例1已知椭圆mx2+3y2-6m二0的一个焦点为（0,2）求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c二2，根据关系a2二b2+c2可求出m的值.x2y2解：方程变形为w+=1.62m因为焦点在y轴上，所以2m6，解得m3.又c=2，所以2m一6=22，m=5适合.故m=5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3,0）,a二3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在x轴上时，设其方程为+=1ab）.a2b2由椭圆过点p60）,知+7=1.又a3b，代

2、入得b2=1，a2=9，故椭圆的方a2b2x2程为g+y2=1.当焦点在y轴上时，设其方程为兰+=1ab0）.a2b2由椭圆过点p6o）,知+1.又a3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆a2b2y2x2的方程为67+W=1.819典型例题三例3AABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹分析：（1）由已知可得GC|+|GB|=20，再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程.解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为（x,y）,由|GC|+|GB|=20，知G点的轨

3、迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a10，c=8，有b=6，故其方程为+r=1（y丰0）10036（2）设A（x，y），G（?,yJ，则xx，3代入，得a的轨迹方程为意+爲1（y丰0）,其轨迹是椭圆（除y900324y3去x轴上两点）.45典型例题四例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a和b（或a2和b2）的值.从而求得椭圆方程.解：设两焦点为件、，且PFJ3，lPFjT-从椭圆定义知2aPF+|PF212：5.即a.从|PF|PF|知|PF|垂直焦点所在

4、的对称轴,12PF所以在RtAPFF中，sinZPFF22112pf1欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.10可求出ZPFF-,2c=|PF卜cos1261625,，从而b2二a2-c2v3x23y23x2y2所求椭圆方程为丁+io=i或to+5=1.典型例题五例5已知椭圆方程+啟=1（ab0）,a2b2A2，焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，ZAPA=0，ZFPF.求：AFPF的面积（用a、b、a表示）.1212121分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用S、=-absinC求面积.解：如图，设P（x，y）,由椭圆的对称性，不妨设P（jc，y）.由椭圆的对称

5、性，不妨设p在第一象限.由余弦定理知：|FF|2=|PFI2+|PFI22|PF|PF|cosa=4c2.由椭圆定义知：件|+PfJ=2a则2得pf|pf|=121+coa故SAF1PF2=-lPFJ-sina12b2sina21+cosaa=b2tan.典型例题六例6已知椭圆丁+y2=欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.(11)求过点P-,且被P平分的弦所在直线的方程；122丿2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足k-kOPOQ2求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：

6、此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为M(x,y),N(x,y),线段MN的中点R(x,y),则1122TOC o 1-5 h zx2+2y2=2,iix2+2y2=2,0符合题意,44故2x+4y-3=0即为所求.将匸=2代入得所求轨迹方程为:x-x12x+4y=0.(椭圆内部分)yyy1将=代入得所求轨迹方程为XXX212x2+2y22x2y-0.(椭圆内部分)(4)由+得X2+X2()小+亠+y2+y2丿=2,212将平方并整理得y2+y2二4y22yy,1212将代入得4x22xx1-4+(4y2212,再将y儿一2X1X2代入式得12ri)XXI21

7、2丿2X2X1X2+4y22|y2X2+二I.2此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决典型例题七例7已知动圆P过定点a(3,0),并且在定圆B：-3+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意,列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点，即定点A(-3,0)和定圆圆心B(3,0)距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB=|PM|+|PB|=|BM|=8.点P的轨迹是以A,B为两焦点，半长轴为4,半短轴长为b=、：4232=、：7的椭圆的方程：石+刍=1-167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹

8、是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法典型例题八例8已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？2J10（2）若直线被椭圆截得的弦长为求直线的方程.分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式.已知弦长，由弦长公式就可求出m.解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得4x2+(x+m=1，即5x2+2mx+m21=0.A=(2m4x5x(n21)=16m2+200,设直线与椭圆的两个交点的横坐标为匚笃，由（】）得2mx+x=125根

9、据弦长公式得如24xg叭5丿5解得m=0因此，所求直线的方程为y=x.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式A；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程典型例题九x2y2例9以椭圆12+y=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种

10、类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决解：如图所示，椭圆1X2+斗=1的焦点为件（-3,0），F(3,0).2点Fi关于直线I：x-y+9-0的对称点F的坐标为（9,6），直线事的方程为X-=Q得交点M的坐标为（5,4）此时MF+MFJ最小.所求椭圆的长轴2a=MF|+|MF|=FF|=6杼,a=3、：5，又c=3，b2=a2-c2=3：5)-32=36.x2y2因此，所求椭圆的方程为45+36=1说明：解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小.典型例题十x2y2例10已知方程_5+3-=-1表示椭圆，求k的取值范

11、围.k-53-k分析：根据椭圆方程的特征求解.k-50,解：由3-k0,得3k5，且k丰4.k5丰3k,满足条件的k的取值范围是3k5，且k丰4.fk50,说明：本题易出现如下错解：由仁7c得3k5，故k的取值范围是3k5.出3kb0这个条件，当a二b时，并不表示椭圆.典型例题十一例11已知x2sinay2cosa二1(0a丄0.cosasina因此sin0且tan0,-0，这是容易忽视的地方.sinacosa11由焦点在y轴上，知a2二，b2二cosasina求的取值范围时，应注意题目中的条件00，n0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解:设所求椭圆方程为mx2+ny2二1(

12、m0，n0).由AG-3，2)和B(2、3,)两点在椭圆上可得m-Fn-(2)2=1,即Fm+4n，m-(2*3)2+n-12=1,12加+n1,1所以m15x2y2故所求的椭圆方程为15+y1说明：此类题目中已存在直角坐标系，所以就不用建立直角坐标系了，但是这种题目一定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系求椭圆的标准方程，一般是先定位(焦点位置)，再定量(a,b的值)，若椭圆的焦点位置确定，椭圆方程唯一；若椭圆的焦点位置不确定，既可能在x轴，又可能在y轴上，那么就分两种情况进行讨论.方法是待定系数法求椭圆的标准方程，求解时是分为根据椭圆的焦点在x轴上或y轴上确定方程的形式、根据题设条件

13、列出关于待定系数a，b的方程组、解方程组求出a，b的值三个步骤，从而得到椭圆的标准方程.对此题而言，根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴，那么就分情况讨论，这种方法解此题较繁.另一种方法直接设出椭圆的方程，而不强调焦点在哪一个坐标轴上，即不强调x2和y2的系数哪一个大，通过解题，解得几种情况就是几种情况.在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候，可以根据焦点坐标，也可以根据准线方程.若不能确定焦点在哪一个坐标轴上，就用上述两种方法.典型例题十三例13已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F作倾斜解兀为一的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.3分析：此类题

14、目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式|AB|1+k2x1电J(1+k2)(x1+x2)24x1x2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.ab|-J1+k2|xxII(1+k2)(x+x)2一4xx.1212因为a6，b3，所以c3J3.又因为焦点在x轴上，x2y2；所以椭圆方程为汞+冬1，左焦点F(-33,0)，从而直线方程为369y二v3x+9.由直线方程与椭圆方程联立得13x2+723x+36x8二0.设x，x为方程两根，1272336x87-所以x+x=,xx=,k=、：3,1213121348从而|AB|

15、=J1+k2x-xI=J(1+k2)(x+x)2-4xx=12V121213(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为36+*=1，设lAF1l=m，lBF1l=n，则AF|=12m,|BF|=12n.在AAFF中，|AF|2=AF|2+FF|22AF|FF|cos,1221121123_1即(12m)2=m2+36-32-m-6畧3；2所以m=代同理在呼F2中，用余弦定理得n=去，所以AB=m+n=4813（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2+723x+36x8=0求出方程的两根x，x，它12们分别是A，B的横坐标.再根据焦半径IAF=a+ex1，bf=

16、a+ex2，从而求出iabi=iaf+ibf.说明：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：A0，两解则相交.直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦典型例题十四例14已知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量（相关点）求轨迹方程或轨迹解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x,y),00贝x=三0,y二y.20因为P(x,y)在圆x2+y2二1上,00所以x

17、2+y2=1.00将x=2x,y=y代入方程x2+y2=1得00004x2+y2=1.所以点M的轨迹是一个椭圆4x2+y2=1.说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)，设已知轨迹上的点的坐标为(x,y)，然后根据题目要求，使x，y与x，000y建立等式关系，从而由这些等式关系求出x和y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于000 x，y的方程，化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.这种题目还要注意题目的问法，是求“轨迹”还是求“轨迹方程”.若求轨迹方程，只要求出关于x，y的关系化简即可；若求轨迹，当求出轨迹方程后

18、，还要说明由这种方程所确定的轨迹是什么.这在审题时要注意.典型例题十五例15椭圆二+匚=1上的点M到焦点F的距离为2，N为MF的中点，则0N|25911(O为坐标原点)的值为()3A.4B.2C.8D.-2解:如图所示，设椭圆的另一个焦点为F，由椭圆第一定义得|MFJ+MF|=2a=10，所以|MF|=10一MF|=10-2=8，又因为ON为AMFF的中位线，所以121121ON=mf=4，故答案为a.说明：椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数(大于歼目)的点的轨迹叫做椭圆.椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即|MFj+MfJ=2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离典型例题

19、十六x2y2例16已知椭圆C:+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB丄l；(2)弦AB的中点M在l上.利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(X,yi)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x,y)点.00l的斜率k二4，l1设直线AB的方程为y二4x+n.1y=_x+n,由方程组消去y得4x2y2+=1,13x28nx+16n248=0438nx+x1213x+x4n112n于是x12，yx+n0213040

20、13即点M的坐标为(13，丁)4n点M在直线y=4x+m上,.n=4x仔+m.13解得n=-才m.TOC o 1-5 h z将式代入式得13x2+26mx+169m248=0A,B是椭圆上的两点，A=(26m)24xl3(169m248)0.解得-凹m辽131313413(法2)同解法1得出n=mx=(m)=m,40134113113y=xm=x(m)m=3m，即M点坐标为(一m,3m).040444A,B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，(m)2(3m)2+=1-解得-m0，建立参数方程.利用弦AB的中点M(r,儿)在椭圆内部，&,y满足不等式亍+牛1，将%,y0利用参数表示，建立参数不等式

21、.典型例题十七1例17在面积为1的APMN中，tanM二-，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程.分析：本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立.通过适当坐标系的建立选择相应椭圆方程，再待定系数.适当坐标系的建立能达到简化问题的目的.解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y).yx-cyx+c5x=-3ccy=1.52_y=4CfiC弋25+12a2a2-b24=1,3b215a2=,得f4b2=3.4x2y2所求椭圆方程为右+y=1说明：适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键建立适当坐标系，需对题设所给图形进行观察、分析，做好数与形的结合，本题也可以以MN的中点为原点，MN所在直线为y轴建立直角坐标系，再求椭圆方程典型例题十八x2y2例18已知P(4,2)是直线l被椭圆代+=1所截得的线段的中点，求直线l的方程.369分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x+x,xx(或1212y+y，yy)的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交