高中数学第1章集合与函数概念单元总结新人教A版必修1

1、 第一课集合核心速填.集合的含义与表示(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系：属于(C ),不属于().(3)自然数集：N；正整数集：N*或NL;整数集：Z；有理数集：Q;实数集：R.(4)集合的表示方法：列举法、描述法和区间.集合的基本关系(2)子集个数结论：含有n个元素的集合有21个子集；含有n个元素的集合有2n-1个真子集；含有n个元素的集合有2n-2个非空真子集.集合间的三种运算(1)并集：AU B= x| xC A或 xC B.(2)交集：An B= x| x C A且 x C B补集：？uA= x| xC U且x丹.集合的运算性质(1)并集的性质：A?

2、 B? AU B=6(2)交集的性质：A? B? AH B= A 补集的相关性质：AU ( ?uA) = U, An ( ?UA) = ?. ?u(?uA) = A体系构建题型探究集合的基本概念 TOC o 1-5 h z 例1 (1)已知集合A= 0,1,2,则集合B= xy|xCA, yC丹中元素的个数是()A. 1B. 3C. 5D. 92(2)已知集合 A= 0, m m 3mH 2,且2CA,则实数 m为()B. 3A. 2C. 0 或 3D. 0,2,3 均可【答案】(1)C (2)B逐个列举可得x=0,y= 0,1,2 时，x-y=0,1, 2;x= 1,y= 0,1,2 时，x

3、-y= 1,0 , 1; x=2, y= 0,1,2时xy=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B中的元素为一2,一 1,0,1,2，共 5 个.(2)由 2C A可知：若 m= 2,则 m2-3m2=0,这与 m2- 3m+ 20 相矛盾；若 m2-3m2 = 2,则 m= 0 或 m =3,当m0时，与mo相矛盾，当m 3时，此时集合A= 0,3,2,符合题意.规律方法解决集合的概念问题应关注两点1研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例 1中集合B中的元素为实数，而有的是数对 点集|2对于含有字母

4、的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性跟踪训练.下列命题正确的有()很小的实数可以构成集合；集合 y| y=x2-1与集合( x, y)| y=x2- 1是同一个集合；.3 611, 2, 4， -2 , 0.5这些数组成的集合有 5个兀素；集合(x, y)| xy0, x, yC R是指第二和第四象限内的点集.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A 由题意得，不满足集合的确定性，故错误；两个集合，一个是数集，一个是点集，故错1误；中 一2 =0.5 ,出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；不仅仅表示的是第二，四象限的点，还可表示原点，故错误，综合没有一个正确，故

5、选 A.集合间的基本关系例2 已知集合 A=x| -2x5,若A? B,且B= x| mL6 x |得到关于mt勺不等式 彳#mt勺取值范围m 6w 2【答案】若 A? B,则由题意可知1解得3wmc4.即m的取值范围是 m3 w m5母题探究：1.把本例条件 A? B改为 A= B,求实数m的取值范围.m 6 = 2【答案】由A= B可知*无解，即不存在 m使得A= B2mv 1 = 5,2.把本例条件 “ A? B, B= x|m-6x2mv 1” 改为 “ B? A B= m 1 x2m- 1,即m2,此时满足B? A.m+12 m- 1,若 Bw ?,则2W m+ 1,解得 2 me

6、3.2 m-15,由得，m的取值范围是m)mc3.规律方法集合间的基本运算的关键点 TOC o 1-5 h z ?：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解2端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题提醒：求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到集合的基本运算例 3 设U=R,A= x|1 x3,B= x|2 x4,C= x|a xa+1,a 为实数，(1)分别求 AH B, AU (?uB).(2)若Bn C= C,求a的取值范围.【答案】(1)因为 A= x

7、|1 x3, B= x2x4,所以 An B= x|2x4.(2)因为 Bn C= C,所以 C? B,因为 B= x|2 x4, C= x| axa+1,若 C= ?,则 a+1a,无解，所以 Cw?,所以 2a, a+14,所以 2a3.规律方法集合基本运算的关注点1看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提2有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决3注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.跟踪训练2.已知集合 A= x|4x8, B= x|5xa.(1)求 AU B, (?RA)

8、n B;(2)若An CW ?,求a的取值范围.【答案】(1)A= x|4Wx8, B= x|5x10. .AU B= x|4x10.又？rA= x| x8,. .( ?rA) n B= x|8 x10.(2)如图要使An O ?,则a 0,xW5,【答案】 解不等式组|x10,得|x1,x2-90,x3,故函数的定义域是x|1 wxw5且xw3.1(2)设矩形的一边长为 x,则另一边长为2(a2x),所以 y = x - 2(a2x) = x2+；ax,定义域为，x 0vx0, D 由，2得x0时，f(x)=Mx+1,则f (x)的解析式为 1 + x 1 x2 1(2)已知fx-k-x+x

9、,则f(x)的解析式为 .11 + x, x0【答案】(1) f(x)=0, x=0,一 -x- 1, x0(2) f (x) =x2x+1, xC(8, 1) u (1 ,+8)【解析】(1)设 x0,f ( x) =7 x+1. = f (x)是奇函数，f(x) = f(x),即一f(x) =x + 1, f(x)是奇函数，f(0) =0,7 + x, x0, .f(x)=彳 0, x=0,1 ，一x代入f1+x21 /口丁+x,得 f(t) = 丫 一 x 1, x0,且c =0,4ar 2 111即b=4ac,由上可求得 a=, b=2, c=,所以“刈=%2+2/1.函数的性质及应用

10、ax+ b1 2例3已知函数f(x)=不是定义在(一1,1)上的奇函数，且f!= 7 I 1 X/ 5(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(一1,1)上是增函数.思路探究：(1)用f(0) =0及f i1 j=2求a, 2 5(2)用单调性的定义求解.f 0 =0,【答案】(1)由题意，得C 2b的值;,x故 f (x) =.I x(2)任取一1x1x21,贝U f (x1) - f( x2)=x1 x2x1 x21 + x21 + x2 -1 + x21 x1x2+x22 公 ,2 公. , 1x1x21,x1x20,1 +x20.又一1x1x20, . f (x1) -f (x2)0 ,f (x)在(一1,1)上是增函数.母题探究：1.在本例条件不变的情况下解不等式：f(t 1) + f(t)0.【答案】由f(t-1) + f(t)0得f(t-1)-f(t) = f(-t).,，一一1一，1. f (x)在(一1,1)上是增函数，一1t 111,0t 2,不等式的解集为 “t 0t 0,I-x+1 21,x0时，f(x)的图象如图1-1所示，则不等式xf(x)-f(-x)0的解集是.图1-1【答案】(0,3) U ( -