(完整版)4.2-偏导数的运算.doc

1、 第二节偏导数教学目的：(1)理解多元函数偏导数的概念；掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函数的求导法则；了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法教学难点：偏导数存在性的讨论教学方法：讲练结合教学时数：2课时、偏导数的定义及其计算在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如：T理想气体的体积：Vk,p因此，我们引入下面的偏导数概念。1、偏导数的定义定义2.1设函数zf(x,在点(x，/)的某一邻域内

2、有定义,当y固定在y，而x在X)处有增量x时，相应地函数有增量：f(0 xx,y)f(,xj如果limf(0 xx,y)o一4存在，则称此极限为函数xoxx的偏导数，记为f(0X，0y)，zf(x,在点(x，y)处对(x)fx(x,(y)(x,oy)或fx(xy).f(oxlimxox,y)xddxf(X，o；yxx。o同理可定义函数zf(x,在点(x,y)处对y的偏导数，为limf(x,yy)fo(,x/)yoyf记为/，yy(d,oy)即f(x,oy)limyo，乡（x,y）或f（ox,（）y）df(0dyo如果函数zf（x,在）区域D内任一点（x,处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是

3、耳y的函数，它就称为函数zf（x,对自变量啲偏导函数，简称偏导数zf记作一，一，4或fx（x,y）xxzf同理可以定义函数zf（x,对）自变量y的偏导数，记作，勺或fy（X，y）yy偏导数的概念可以推广到二元以上函数女口uf（x,y在zx,y,处）fx(x,y,zimf(xx,y,z)f(x,y,z)xxoxfy(x,y,z)limf(x,yy,z)f(x，y,，z)yoyfz（x,2、计算：y,zimf(x,y,z)f(x,y,z)从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。于是,一元函数的求导公式和求导法则

4、都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。例1：求x23xyy2在点（1,2处的偏导数.解法一:2x3x(1,2)(1,2)解法二:2x2(2x6：(1,2)这里我们要知道,有时,2：f(x,y,z4exyz(1,2):fx(x,0,1)xx0证明:(32y)y7“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例(xx,已知理想气体的状态方程RT亍2说明：y)arctan(1,0,1)pVRTRT有关偏导数的几点1、偏导数是一个整体记号，不能拆分x2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;例如，zf(x,y)Jpy，求f(0,0)fy(0,解:(0,0)lim丄x0 x00-=0解:当（f

5、y当（ln(1x2yz),求fx1.(1,0,1)（R为常数），求证:._r二;pRRTpV=0).fy(0,0).1.xyf(x,y)x2y20 x,y)(0,0时,f(x(xy2)(x,y)()x,2(x2y2)2x,x,y)(0,y)(0,y(xy)yxyx,y）（0,0时，按定义可知0)，求f0)(X,的偏导数。xyy(y(X2y2)2(x2)2lim_00,x0fx(0,0)limf(x,0f(0,0)xx0fy(0,0)limf(0,yf(0,0)y0yy(y2x2)x(xy2)故fx(x,y)(xy2)2(x,y)(0,0)fy(x,y)(xy2)(x,y)(0,0).0(x,y

6、)(0,0)0(x,y)(0,0)3、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数xy,仪y2例女口,函数f(x,y)x2y20，依定义知在（0,0）处，0fx（，）&（，）0.但函数在该点处并不连续4、偏导数的几何意义设M(x,y,f(,xy)是曲面偏导数f（x,P）就是曲面被平面yy所截得的曲线在点M处的切线MTx对x轴的斜率；偏导数fy（x,y）就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点Mq处的切线MTy对y轴z00000的斜率.二、高阶偏导数设函数zf(x,在）区域D内的两个偏导数（,、f（x,y的偏导数也存在，则fxxyy称它们是函数z

7、f(x,的二阶偏导数。记作zz2fxx(x,y),zz2(,)xxx2yyy2xyzz2y(X,y),xz2z(,)yxxyyyxfxyyx定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例5设zXy23xy3xy1求z22z2、z、z2及3乙x2yxxyy2x3解:z3x2y23y3zy,2x3y9xy2z2x;6xy2,z326yxyx2x3zzz22x318xy;,26x2y9y21,26“9yiy2xyyx例6设ueaxcosby，求二阶偏导数.解:uaeaxcosby,_uxyu2axbesinby;x2u2axaecosby,y22axbecosby,2uabeaxsinby,2ua

8、beaxsinby.xyyx问题：混合偏导数都相等吗？x3y(x,y)(0,0)例7设f(x,y)x2y：，求fy(0,0)yxf(0,0)0(x,y)(0,0)解：当(x,y)(0,0时，3x2y(xy2)2x3xy3x2y2x4yfx(x,y)(xy2)2x2y2(xy2)2x32x3y,fy(x,y厂(xy2)2当(x,y)(0,0)时，按定义可知：lim00,fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)xx0fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)y0y.f(0,fxy(0,0)limyT二y0ylim_0_y0y(o)=0yx(0,0)fy(x,0)lim-fy(0,0)=10,显然fxy(0,0)fyx(0,0).问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？Z定理2.1如果函数zf(x,的两个二阶混合偏导数丄纟及2在区域D内连yxxy续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.例8验证函数u(x,y)ln,xy2满足拉普拉斯方程丄0.1证明:-ln(2xy2),2x2u2x2内容小结：y2)x2xy2x2)(xy2)2,y2x2(xy2)2y2y2yx2y2(xy2)2,x2y2(x2y2)2=0证毕-偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的