理论力学第八章--虚位移原理课件

1、第八章 虚位移原理8.1 力的功 8.1.1 常力在质点直线路程中的功8.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功 1、元功 力的功2015/10/27教材：38.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功 2、变力在质点全路程上所作的功 力的功2015/10/27教材：48.1.3 合力的功8.1.4 功率 力的功2015/10/27教材：58.1.5 几种常见力的功1、重力的功 力的功2015/10/27教材：68.1.5 几种常见力的功2、弹性力的功 力的功2015/10/27教材：78.1.5 几种常见力的功2、弹性力的功当质点沿轨迹由M1位置运动到M2时，弹性力所作的功为1、2分别表示质点M在

2、运动的始末位置M1和M2时弹簧的变形量。 力的功2015/10/27教材：88.1.5 几种常见力的功3、力对轴之矩的功及力偶的功若Mz保持为常量 力的功2015/10/27教材：98.1.5 几种常见力的功4、质点系内力的功 刚体内任意两点 A、B间的距离保持不变，故刚体内各质点间相互作用的内力的功之和恒等于零。 当A、B两点的距离改变时，内力的元功之和不为零 力的功2015/10/27教材：108.1.5 几种常见力的功5、摩擦力的功若轮子又滚又滑，则滑动中轮与支承面相互的动滑动摩擦力的元功有：只滚不滑？ 力的功2015/10/27教材：118.1.5 几种常见力的功5、摩擦力的功若轮子又

3、滑又滚，则滑动中轮与支承面相互的动滑动摩擦力的元功有： 轮滚动时，滚动摩阻力偶也作功，设最大滚动摩阻力偶矩为Mr,max，滚过的圆心角为d，则其元功为 力的功2015/10/27教材：128.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念定义：质点（或质点系）在给定瞬时，约束所容许的假想的任何无限小的位移，称为质点（或质点系）的虚位移或可能位移。 2015/10/27教材：138.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念虚位移与实位移有何区别：虚位移是可能位移，它是一个纯粹的几何概念，它仅依赖于约束条件；而实位移是真实位移，不仅取决于约束条件，还与时间和作用力有关。 虚位移的

4、概念与分析方法 2015/10/27教材：148.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念（1）在完整定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：158.2.1 虚位移的概念若将完整系统的约束方程可记为： 由虚位移的定义可知，新的位置仍要满足约束方程，即 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：168.2.1 虚位移的概念若产生的是实位移，则得 若中不含时间t，则可表示为 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：178.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念（2）在非定常系统中，微小的实位移一般不再成为虚

5、位移之一。 理论力学中主要讨论受完整定常约束的质点系。 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：188.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 1几何法 在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关系。 由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：198.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 1几何法虚位移的合成定理 ：动点的虚位移平面运动的刚体上不同点（例如A、B两点）的虚位移之间的关系

6、： 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：208.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 1几何法 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：218.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 1几何法已知A点的虚位移在n1、n2两个方向的投影分别为r1和r2，则有 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：228.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 1几何法 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：238.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 1几何法推论： 虚位移的概念与分析方法

7、 2015/10/27教材：248.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 2解析法 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：258.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法 2解析法 虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：268.3 虚位移原理 8.3.1 虚功 作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功称为虚功 8.3.2 理想约束 约束力在相应的虚位移上所作的虚功或虚功之和等于零的约束称为理想约束。 2015/10/27教材：27从而，可得理想约束的广义坐标表示为:即理想约束应满足： 称为广义力 虚位移原理2015/10/27教

8、材：28常见的理想约束：1. 光滑固定支承面和滚动铰链支座。 2. 光滑固定铰链支座和轴承。 3. 连接物体的光滑铰链。 4. 无重刚杆。 5. 连接两物体的不可伸长的柔索。 6. 刚体在固定面上无滑动的滚动。 虚位移原理8.3.3 虚位移原理 虚位移原理可表述为： 具有双侧、定常、理想约束的质点系，在某一位形能继续保持静止平衡的必要与充分条件是：所有主动力在质点系的任何虚位移中的元功之和等于零。证明：略。详见教材153-154. 虚位移原理例8-1 在图（a）所示平面机构中，已知两杆长均为b+h，物块的重力为P，弹簧的原长为l，刚性系数为k。试求机构平衡时应满足的条件。 虚位移原理例8-2

9、一多跨静定梁尺寸如图（a）所示，已知：竖直力F1，F2，力偶矩M。试求支座B处的约束反力。 虚位移原理2015/10/27教材：32例8-3 刨床急回机构如图（a）所示，已知：曲柄AB长r=0.5m，摇杆CD长l=2r，在曲柄上作用有矩为M=60Nm的力偶。试求当=60、CB=r时机构平衡所需的水平力F。 虚位移原理2015/10/27教材：33例8-4 平面构架的尺寸及支座如图（a）所示，三角形分布荷载的最大集度q0=2kN/m，M=10kNm，F=2kN，各杆自重不计。求A处的约束反力及杆BD的内力。 虚位移原理2015/10/27教材：34例8-5 平面桁架的支座与荷载如图（a）所示，已

10、知ABC为等边三角形，E、G分别为两腰的中点，且 。试求杆CD的内力。 虚位移原理例8-6 图8.25（a）所示结构中各杆重量均不计。O2B平行于EG，O1D垂直于AB， 。除AB、CD杆外，各杆长均为l。在已知F与M的条件下，杆件系统处于平衡。求杆AB的内力。 虚位移原理2015/10/27教材：368.3.4 以广义力表示的质点系平衡条件 称为广义力。 虚位移原理可叙述为：具有双侧、定常、理想约束的质点系，在某一位形能继续保持静止平衡的必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。这就是以广义力表示的质点系平衡条件。 虚位移原理广义力的解析表达式为 解析法 几何法 对于有N个自由度

11、的质点系，将其中的N-1个自由度“锁住”，使质点系只有一个广义虚位移不等于零，这样可得即：每次只给出一个对应于广义坐标的虚位移，就可以求出相应的广义力。 虚位移原理例8-7 机构由两匀质杆铰接而成（图a）。已知：杆OA长为l1，重为W1，杆AB长为l2，重为W2。在自由端B作用一水平力F。试求系统在铅垂平面内处于平衡时，杆OA和AB与铅垂线的夹角1和2。 虚位移原理8.4 势力场、有势力和势能 8.4.1 势力场、有势力 如果质点在空间任一位置所受到的力的大小和方向完全取决于该质点的位置，即质点所受到的力矢是位置的单值、有界且可微的函数，那么这部分空间称为力场。 作用在位于势力场中某一给定位置

12、M(x，y，z)的质点的有势力，相对于任一选定的零位置M0(x0，y0，z0)的作功能力，称为质点在给定位置M的势能，用V(x，y，z)表示，它是位置坐标的单值连续函数，称为势能函数。任选的位置M0(x0，y0，z0)称为零势能位。势能函数V的数学表示为 这一积分是沿质点运动的路径曲线的积分。因有势力所作的功与质点运动路径无关，而又由高等数学知，当这一积分与路径曲线形状无关时，被积函数可表示为某一单值连续函数的全微分，即设有势力F的作用点从点M移到点M，有势力的元功可用势能的差计算 势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：41因此，有势力就可表示为:8.4.2 势能 1. 重力势能 势

13、力场、有势力和势能 2015/10/27教材：422. 弹性势能若选取弹簧原长处为零势位 势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：43例8-8 图8.30所示质点系中杆BC重W1，长为l，重物D重W2，弹簧的刚度为k，当角=0时，弹簧具有原长3l。求质点系运动到图示位置时的总势能。解：分别计算该系统在重力场和弹性力系中的势能。重力势能以杆BC的水平位置为零势能位，则有：选弹簧的原长处为势能的零位置。则： 故系统的总势能为： 势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：448.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.1 势力场中质点系的广义力及平衡条件由有势力的概念知，当主

14、动力Fi（i=1，n）均为有势力，其表达式为：故，主动力系在虚位移中的元功之和可表示为： 势力场、有势力和势能 8.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.1 势力场中质点系的广义力及平衡条件由虚位移原理得：W=0.此式表明，在势力场中质点系处于平衡时，势能具有驻值。若用广义坐标表示势能函数，则有： 势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：468.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.1 势力场中质点系的广义力及平衡条件可得质点系的平衡条件为:2015/10/27教材：478.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.2 质点系在势力场中平衡的稳定性拉格朗日-狄利克雷提出一个关于保守系统平衡稳定性的定理。即质点系在平衡位置的势能具有极小值，则该平衡是稳定的；若势能为非极小值，则其平衡是不稳定的。 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性2015/10/27教材：488.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.2 质点系在势力场中平衡的稳定性仅讨论具有理想约束的单自由度保守系统的平衡稳定性。以q为广义坐标，因为