01二次函数的图像与性质1学生2015秋季初三数学培优进度二

1、第一讲二次函数的图像与性质（1）【二次函数的定义】一般地，形如 y ax2 bx c （ a,b, c 为常数， a 0 ）的函数称为 x 的二次函数，其中 x 为自变量， y 为因变量， a,b, c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数1.任何二次函数都可以整理成 y ax2 bx c （ a,b, c 为常数， a 0 ）的形式判断函数是否为二次函数的方法：2.3.含有一个变量，且自变量的最高次数为 2；二次项系数不等于 0；等式两边都是整式4.二次函数自变量 x 的取值范围是全体实数【二次函数 y ax2 a 0的图像及性质】抛物线 y ax2 的顶点是坐标原点（0，0），对称轴

2、是 x 0 （ y 轴）函数 y ax2 的图像与a 的符号关系当a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点；抛物线的开口大小与| a |有关， | a |越大，开口越小； | a |越小，开口越大【二次函数 y ax2 c a 0 的图像及性质】顶点坐标：原点（0， c ）对称轴： x 0 （ y 轴）函数 y ax 2 c 的图像与a 的符号关系： 当a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；1 / 10 当a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.4.函数 y ax 2c 的图像可以看做是由函数 y ax2 的图像向上或向下平移| c |

3、 个得到的；c 0 时，向上平移； c 0 时，向下平移5.c 决定了函数图象与 y 轴的交点坐标： (0 ，c)【二次函数 y a x h2 a 0 的图像及性质】1.顶点坐标：原点（ h ，0）2.对称轴： x h函数 y a x h2 的图像与a 的符号关系： 当a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； 当a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.函数 y a x h2 的图像可以看做是由函数 y ax2 的图像向左或向右平移| h | 个h 0 时，向右平移； h 0 时，向左平移3.4.得到的；【二次函数 y a x h2 a 0 的图像及性质】顶点坐标：原点（ h ， k ）

4、对称轴： x h函数 y a x h2 k 的图像与a 的符号关系： 当a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； 当a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.函数 y a x h2 k 的图像可以看做是由函数 y ax2 的图像先向左或向右平移| h | 个3.4.，在向上或向下平移| k |个得到的；当h 0 时，向右平移，当h 0 时，向左平移； k 0 时，向上平移， k 0 时，向下平移【二次函数 y a x h2 a 0 的图像及性质】b 4ac b2 1.顶点坐标： 2a ,4ab2a2.对称轴： x 图象：抛物线最值：2 / 104ac b24ac b2a 0 时，函数有最

5、小值； a 0 时，函数有最大值4a4a5.图象与字母之间的关系：a 的符号决定了函数图象的开口方向： a 0 ，图象开口向上， a 0 图象开口向下| a |决定了函数图象的开口大小： | a |越大，开口越小； | a |越小，开口越大a 与b 共同决定抛物线对称轴与 y 轴的位置：c 决定了函数图象与 y 轴的交点坐标： 0, c右异b2 4 a 决定了函数图象与 x 轴的交点情况：当b2 4ac 0 ，有两个交点；当b2 4ac 0 ，有一个交点；当b2 4ac 0 ，没有交点当 x 1时，可以得到a b c 的值；当 x 1时，可以得到 a b c 的值3 / 10【例1】 下列函数

6、中是二次函数的是（）1C y x 22 x2A y B y 3x3 2x2D y x 2x2x2 2x 3若函数 y m2 1 xm2 m 为二次函数，则m 的值为【例2】若函数 y (m2 1)x3 (m 1)x2 的图象是抛物线，则 m 【例3】【例4】在一幅长80 厘米、宽50 厘米的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为 y ，金色纸边的宽为 x ，则 y 与 x 的关系式是2已知 y (k 2)xk k4 是关于 x 的二次函数，则 k 【例5】2若 y (m2 m)xm 2m1 3m 是二次函数，则m 【例6】如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是

7、y ax2 ； y bx2 ； y cx2 ；【例7】y dx2 则a 、b 、c 、 d 的大小关系为（）y1A a b c dC b a c dB a b d cD b a d c2ox344 / 10已知函数 y m 2 xm2 m4 是关于 x 的二次函数，【例8】求满足条件的m 的值当m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，抛物线的开口方向、增减性如何？当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？【例9】 函数 y 2x2 3 的图象可以看做是函数 y 2x2 的图象向平移个得到的【例10】函数 y 5x2 的图象可以看做是函数 y 5x2 3

8、 的图象向平移个得到的【例11】二次函数 y 2x2 3 的图象开口，当时， y 随 x 的增大而减小；【例12】抛物线 y 2 x 52 的顶点坐标是，对称轴是；抛物线 y 34x2 2 的开口方向， 顶点坐标，对称轴是，当时， y 随 x 的增大而增大【例13】已知直线 y x 1与 x 轴交于点 A ，抛物线 y 2x2 的顶点平移后与点 A 重合求平移后的抛物线C 的式；若点 B x , y ， C x , y 在抛物线 C 上，且 1 x x ，试比较 y ， y的大小1 122121225 / 103 x 12 的顶点为C ，与 y 轴交点为 A ，过点 A 作 y 轴的垂线，交抛

9、物线【例14】已知，抛物线 y 1于另一点 B 求直线 AC 的方程 y2 kx b ；求ABC 的面积；当自变量 x 满足什么条件时，有 y1 y2 ？【例15】已知 y a x h2 k 是由抛物线 y 1 x2 向上平移 2 个长度，再向右平移 1 个长度2得到的抛物线y求出a 、h 、 k 的值；在同一坐标系中，画出 y a x h2 k 与 y 1 x2 的图象；2观察 y a x h2 k 的图象，当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大；当 x 取何值时， y 随 x 的增大而减小，并求出函数的最值；观察 y a x h2 k 的图象，你能说出对于一切 x 的值，函数y 的取

10、值范围吗？Ox【例16】将下列函数配成 y a(x h)2 k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值 y x2 6x 10 y 2x2 5x 76 / 10【例17】二次函数 y ax2 bx c 的图象A ab 0，则下列关于a,b, c 之间的关系判断正确的是（）ybc 0a b c 0a b c 0ox【例18】抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是 x 2 ，且经过点 P 3, 0 ，则a b c 的值为（）A 1B 0C1D2yox【例19】二次函数 y ax2 bx c 的图象如图，则不等式bx a 0 的解为（）A x abC x abB x abD x ab【例20】如图，已知

11、抛物线 y ax2 bx c ，则关于 x 的方程ax2 bx c 3 0 的根的情况是（）A有两个不相等的正实根 B有两个异号实数根 C有两个相等的实数根D没有实数根y3ox【例21】函数 y 2x2 ， y 3 2x2 ， y 2x2 1的相同A.形状B.顶点C.最小值D.增减性7 / 10【例22】已知二次函数 y ax2 bx c 的图象，则在同一直角坐标系中，一次函数 y ax c 和反比例函数 y a 的图象大致是（x）yyyyyOOOxxxOxOxDABC【例23】函数 y ax2 与 y ax b 在同一坐标系的图象可能是（）yyyyOxOxOxOxABCD【例24】二次函数

12、y ax2 bx c 的图象，则一次函数 y bx b2 4ac 与反比例函数y a b c 在同一坐标系内的图象大致为（）xyyyyyxxxxO1x-1OOOOABCD【例25】抛物线 y x2 3x 2 不经过第象限A.一B.二C.三D.四【例26】已知二次函数 y ax2 bx c 的图象，下列结论： a b c 0 ； a b c 0 ；abc 0 ； 2a b 0 ，其中正确结论的个数是（）yA.1B.2C.3D.41 Ox8 / 10抛物线 y (x 2)2 3 的图象可以看作是由抛物线 y x2 平移得到，则下列平移过程正确)【作业1】的是(先向左平移 2 个先向左平移 2 个先

13、向右平移 2 个先向右平移 2 个，再向上平移 3 个，再向下平移 3 个，再向下平移 3 个，再向上平移 3 个【作业2】二次函数 y 3x2 6x 5 的图象的顶点坐标是（）A (1，8)C (1，2)D (1， 4)B (1，8)给出下列四个函数： y x ； y x ； y 1 ； y x2 ，当 x 0 时， yx【作业3】随 x的增大而减小的函数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【作业4】已知抛物线 y ax2 bx c 的开口向下，顶点坐标为（2，-3），那么该抛物线有（）A.最小值 3B.最大值3C.最小值 2D.最大值 2【作业5】已知二次函数 y a x2 b x，有以下结论： a b c 0 ； 的图象a b c 1； abc 0 ； 4a 2b c 0 ； c a 1 其中所有正确结论的序号是（）ACBDyx9 / 101-1O1【作业6】已知二次函数的图象( 0 x )法正确的是()关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说y321B有最小值1 ，有最大值 0D有最小值1 ，无最大值A有最小值 0，有最大值 3C有最小值1 ，有最大值 31O123 x2【作业7】已知函数 y (m2 m)xm m (m2 3m 2)x m2 2m ，当m =时，函数是二次函数？已知二次函数 y 2x2 3m 4 x 1