2.2离散型随机变量及其概率分布课件

1、2.2 离散型随机变量及其概率分布离散随机变量及分布律定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即X x1 x2xKPp1p2pk或或概率分布的性质 非负性 规范性离散随机变量及分布函数其中 . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取值 xk 处发生间断.例: 设随机变量的分布律为 求 的分布函数,并求 -123即例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的概率分布解 令 表示“取得的白球数”，则 可能取值为0，1，2，可以求得的分布律为的分布列的表格形

2、式为X 0 1 2P 1/10 6/10 3/10(1) 0 1 分布是否超标等等. 常见离散r.v.的分布凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1应用场合或(2) 二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作01 分布是 n = 1 的二项分布二项分布的取值情况设.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4

3、5 6 7 8 0.273由图表可见 , 当 时，分布取得最大值此时的 称为最可能成功次数xP012345678设.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见 , 当 时，分布取得最大值0.22 二项分布中最可能的成功次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数若可取的一切值 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p 与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不

4、对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值例 独立射击5000次, 命中率为0.001,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率.解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5 (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001), 则对固定的 k设Possion定理Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式问题 如何计算 ？ 解 令X 表示命中次数, 则

5、 令 此结果也可直接查 P.299 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一.利用Poisson定理再求前例中 (2) X B( 5000,0.001 )在Poisson 定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布注:(3) Poisson 分布若其中是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布.记作例 夏季用电高峰时，个别用户会因为超负荷、线路老化等问题发生断电事故。已知某城市每天发生的停电次数X服从参数 =0.7的泊松分布。求该城市一天发生3次以上停电事故的概率。例 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少应装100 + m 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X B ( 100 + m , 0.03 )由题意 3(100+m)0.03=3+0.03m取 = 3查Poisson分布表, =3得 m +1 = 6 , m = 5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理超几何分布