2020竞赛辅导多元函数微分学课件

1、多元函数微分学2012数学竞赛辅导 第七讲一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）二、偏导数与全微分的计算四、应用（极值、切线、切平面）三、方向导数和梯度一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 是以“任意方式”1重极限 题型一：求极限常用方法：1）四则运算法则及复合函数运算法则；2）等价无穷小代换；3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 4）夹逼定理；例1. 求0例4 .(江苏2000竞赛)A. 等于1； B.等于0； C.等于-1； D.不存在D例2. 求0 例3. 求=e 练习 求=0题型二：证明重极限不存在 常用方法：沿不同路径极限不同（如：沿过点的直线）；2) 沿

2、某一路径极限不存在.例5 判断函数在点的连续性.练习 证明重极限不存在2. 连续3.偏导数例6 练习：几何意义例7.则在下列A. B. C. D. C条件中能保证4.全微分1) 定义: 若2) 判定:必要条件: 与都存在;充分条件: 和在连续;是否为零?ii）用定义判定可微性：3) 计算： 5.连续、偏导存在和可微的关系题型三 讨论连续性、可导性、可微性例8.C D 例9A. 极限存在但不连续B. 连续但偏导数不存在C. 偏导存在但不可微D. 可微例10例11练习设,其中在点的邻域内连续,问1) 应满足什么条件才能使和都存在? 2) 在上述条件下在(0,0)点是否可微? （可微）练习2二 偏导

3、数与全微分的计算根据结构图， “分线相加，连线相乘” “分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意1. 复合函数求导2.全微分形式不变性3.隐函数求导法方法:（b）两边求偏导（c）利用微分形式不变性: (1)（a）公式:(2)方法：两边求偏导；利用全微分形式不变性 例12 设求和.题型一 求一阶偏导数与全微分设,且当 时,则例13. 例14 .(江苏06竞赛) 练习：已知是某一函数的全微分,则 取值分别为（ ）B练习：例15. D题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数练习. (07数一)练习.练习.设具有二阶连续偏导数,且满足又,求例16例17.注： 偏导数的坐标变换-看作复合函数求偏导数或全

4、导 2：例18.(江苏08竞赛)练习1：3：题型三 隐函数的偏导数与全微分 例19. A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D例20.例21. 练习. 例22 (99数一). 题型四 已知偏导数，求函数.例23例24.例25.练习：例26.三、 方向导数和梯度1.方向导数1)定义:可微,则2)计算: 若2.梯度计算A)不连续; B)偏导数存在; C)沿任一方向的方向导数不存在; D)沿任一方向的方向导数均存在;在点(0,0)处例27 函数( )DD( )例28 设,则A) f(x,y)

5、在(0,0)点连续; 为任一方向的方向余弦.B) ,其中C)在点沿轴负方向的方向导数为.D)练习. 练习：例29练习：四、 多元函数微分学的应用1. 曲面的切平面与法线2. 曲线的切线与法平面,法向量: 2) 曲面1) 曲面2)曲线,切向量: ,法向量: 其中1)曲线, 切向量: 练习：题型一 建立曲面的切平面和法线方程 例30. 例31. 练习 练习 题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程,练习 求曲线在点处的切线方程和法平面方程.练习(03数一) 3. 极值与最值1).无条件极值；定义:极大极小必要条件 充分条件2). 条件极值与拉格朗日乘数法3).最大最小值极值点 驻点题型一 求无条件极值 例32求由方程所确定函数的极值.1) 在点处,极大值2) 在点处,极小值解2 配方 解1 ： 驻点例33. D注： 通过变形（如取对数,去根号）,把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。例34.例35例36B例37解法1:保号性 解法2:排除法 解法3：特殊函数D练习（03数一）A题型三 求最大最小值 题型二 求条件极值练习 求函数在条件下的极值.解法2: 化为无条件极值.解法1: 拉格朗日乘数法,极小值8, 0练习B例38.A. 最大最小值点都在D的内部;B. 最大最小值点都