《结构力学》第十章-矩阵位移法课件

1、1矩阵位移法第十章2指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eE A Il(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部座标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)一、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：31212（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。4 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用“ ”表示，由位移求力称为正问

2、题。 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e12eeeeee 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。10-2 单元刚度矩阵(局部座标系)进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元5eeeeeee 分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由两个杆端轴向位移可推算出相应的杆端轴向力eeeee12其次，由杆端横向位移可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力eeee6eee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：7EA l6EI l2 6EI l2 EA

3、 l12EI l3 12EI l34EI l2EI l上面的式子可以用矩阵符号记为eeee这就是局部座标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l20只与杆件本身性质有关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵8二、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义e代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。例如

4、代表单元杆端第2个位移分量 时所引起的第5个杆端力分量 的数值。（2）单元刚度矩阵 是对称矩阵，e即。（3）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；e从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵e的行列式e=0因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程eeeeeee由有一组力的解答(唯一的)，即正问题。由如果e 不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。9三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e以连续梁为例：12eeee1012eeeeeeeee 为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一

5、般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。1110-3 单元刚度矩阵(整体座标系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee座标转换矩阵单元杆端力的转换式、单刚的转换式一、单元座标转换矩阵12正交矩阵T-1 =TT或 TTT=TT T =I于是可以有 同理可以有eeeeee13（解决 与k 的关系）ee在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：eee在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)eeeF =k (b)eF =TTTee(d)kT F =eT (c)ekek = TT keTe(e)ke的性质与ek一样。二、整体座标系中的单元刚

6、度矩阵（a）式可转换为：两边前乘TT比较式(b)和(d)可得：14例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵k 。设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。1l = 5ml = 5m2xyl=5m，bh=0.5m 1m,A=0.5m2, I= m4, 1 24解:(1) 局部座标系中的单元刚度矩阵(2) 整体座标系中的单元刚度矩阵ekke单元 1 ： = 0，T =Ik1=1k单元 2 ： = 90，单元 座标转换矩阵为12k=k151l = 5ml = 5m2xy单元 2 ： = 90，单元座标转换矩阵为k = TT kT1610-4 连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法i1i21214i11

7、2i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位移对F的单独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根据每个结点位移对附加约束上的约束力F的贡献大小进行叠加而计算所得。传统位移法17一、 单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3F1=F11F211TF11F21F31令 i2 =0，则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i10

8、00001231K F =1K =14i12i14i12i100000单元 1 的贡献矩阵单元 1 对结点力F的贡献略去其它单元的贡献。18i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232K F =2设 i1 =0，则F12=0K =24i12i14i12i100000单元 的贡献矩阵F3F2=F12F222T单元对结点力F的贡献略去单元的贡献。191K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i12i14i12i100000i1i2121212K=（K +K ）=12eek K

9、 K eeF=F+F=（K+K）12F=K整体刚度矩阵为：单元集成法求整体刚度矩阵步骤：根据单元和单元分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：20k K K ee12k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i221二、按照单元定位向量由k 求 eKe(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以

10、连续梁为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，总码单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=确定中的元素在中的位置。为此建立两种编码：k eKe位移单独编码局部码由单元的结点位移总码组成的向量22（3）单刚k eKe和单元贡献中元素的对应关系单元单元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=K =11230000000004i12i12i14i1123k =4i22i24i22i22(2)(3)(2)(3)2=K =20000000004i22i24i22i2123123单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的

11、对应关系。单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。23三、 单元集成法的实施（定位 累加）K123123000000000k 110000000004i12i12i14i1123123k 224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）将K置零，得K=0；（2）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K；（3）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K+K；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵K。2412i1i

12、2i3312301230= 0（1）结点位移分量总码（2）单元定位向量1=2=3=（3）单元集成过程k =4i12i14i12i111221k =4i22i24i22i222332k =4i32i34i32i330330K =1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求连续梁的整 体刚度矩阵。25四、整体刚度矩阵 K 的性质（1）整体刚度系数的意义: Kijj=1 (其余=0)时产生的结点力Fi（2）K是对称矩阵（3）对几何不变体系，K是可逆矩阵，如连续梁i1i2123F1F2F3F=K=K-1F（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续

13、梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in26四、整体刚度矩阵 K 的性质（1）整体刚度系数的意义: Kijj=1 (其余=0)时产生的结点力Fi（2）K是对称矩阵（3）对几何不变体系，K是可逆矩阵，如连续梁i1i2123F1F2F3F=K=K-1F（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4

14、i34i1+4i24in2i32in2710-5 刚架的整体刚度矩阵思路要点：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；ek（2）各 经由e进行累加集成K。与连续梁相比： (1)各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移； (3)要采用整体座标；(4)要处理非刚结点的特殊情况。一、结点位移分量的统一编码总码ABCxy123004000结点位移总码 =1 2 3 4 T规定：对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。=uA vA A C T整体结构的结点位移向量为：相应地结点力向量为：= XA YA MA MC TF = F1 F2 F3 F4 T28x(1)(2)(3)(5)(6

15、)x(2)(3)(5)(6) 单元结点位移分量局部码二、单元定位向量单元单元局部码总码局部码总码（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 4（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 0三、单元集成过程ABCxy12300400结点位移总码0(4)(1)(4)291ABC2xy123004000121234K=123400000000000000001k=0000000000000000000000000000000000001112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636465

16、66123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332k123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=30四、铰结点的处理K 求单元常数T单元刚度矩阵程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵） 1122刚结点：变形连续，截面1和截面2具有相同的结点位移。铰结点：部分变形连续，截面1和截面2具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。31123ABDxy000123456C1C2457000123结点位移分

17、量总码结点C1 4 5 6 结点C2 4 5 7 单元定位向量1k=1234562k=1230001230001234563200000000000000000000000000000000000000000000000001231k=1234561234562k=1230001230003k=457000457000K=123456712345673310-6 等效结点荷载F= K (1)结构体系刚度方程：一、位移法基本方程k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0

18、K +FP =0 .(2)F +FP =0 .(3)将(1)式代入(2)式： 表示结点位移和结点力F之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。34二、 等效结点荷载的概念结点结束力FP结点结束力FP等效结点荷载P原荷载显然 P=FP解决了计算等效结点荷载的问题等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力K = FFP+=35三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载P(1)局部座标单元的等效结点荷载PexeePee(2)整体座标单元的等效结点荷载Pe

19、ee(3) 结构的等效结点荷载Pxy361112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m单元1:单元2:121210-10+4+0-51222237K 求单元常数TP原始数据、局部码、总码解方程K=P求出结点位移 开始单元刚度矩阵ke单元固 端力 e结束10-7 计算步骤和算例K = FFP+=程序设计框图求杆端力eeee38例. 求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2h2=0.5m 1.26m，立柱b1 h1=0.5m 1m。（1）原始数据、局部码、总码（设E=1）12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy13452600柱梁39ee40（2）形成局部座标系中

20、的单元刚度矩阵ke单元1和3=10-3=10-3单元2（3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵ekk = TT keTe2k1k=3k41 单元1和3的座标转换矩阵 （=900）1k=10-3k = TT k1T3单元2 （=0）2kk2=10-342(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵KABCD123xy1345260021343（5）求等效结点荷载P12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy134526001单元固端约束力 单元1 （=90）111按单元定位向量144（6）解基本方程求得结点位移:（7）求各单元杆端力eeeee111111单元1：先求F然后求 451111=10-31123同样可得出： 46（8）绘制内力图12312eABCD8.492.093.044.38M