量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点) (2)

1、第一章 波函数与Schrdinger方程1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923）先回忆普朗克的“光量子”假说： , 重新换写一下： 是圆频率 是波矢量，是由波动性决定粒子性。德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式： ，称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。 对于具有确定的能量和动量的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是，将德布罗意关系代入得：，称为德布罗意波（是复数

2、波）。因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。而一般可计算得到： 物质微粒的波长，氧原子、DNA分子、电子波长。只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算：例1 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。解 温度为的气体分子热运动动能为，当（室温）时，分子的动能约为，相应的物质波波长为。对

3、于氧分子（），波长，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。例2 相对论情形和非相对论情形下的德布罗意关系式。解 (1)、在非相对论情况下： ；当粒子是电子时，从而 ， 其中。当粒子是质子或中子时，从而有。(2)、在相对论情况下：，其中为粒子的静止质量。 。当，则。例3 为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？解 由知，原因是普朗克常数太小，而宏观尺度的运动动量太小。如考虑一个的人运动速度是，则可计算出对应物质波波长为 。显然太小，难以引起可以观测的物理效应。又由知，要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动能，但从物理上考虑不可能减小到比热运动能量更小，所以必须减小质量。质量的减小对

4、应于尺度的减小。只有把物体尺度减少到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长，从而引起可以观察到的物理效应。2、电子衍射实验 (Davison-Germer 1927) 波动性的体现就是衍射、干涉等等。通过观察这些现象还可以测量波长。戴维逊-革末实验 用镍做电子衍射实验的结果，证实了电子确实有波动性，而且波长与德布罗意的预言完全一致。此后，使用各种不同的实物粒子（如电子、原子、分子、原子核、核子等）做波动性实验都证实了德布罗意假说。总之，实验证明了微观粒子也有波粒二象性。3. 对波粒二象性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature)：(1

5、)、几个重要的概念(Several important concepts)物质波包(Matter wave packet)：指局限于有限空间中的德布罗意波。在数学上，可表示为不同波矢的单色平面波的叠加，即 ，式中表示波包中所含波矢为的平面波的波幅。在实际上，经常用到的波包是在波矢域中只占中心波矢周围的一个小区域的单色平面波的叠加，即 。相速度(Phase velocity)： 等相面运动(或者说，相位不变的点在空间传播)的速度。例如，方向传播的平面波中，取相位，则相速度为。如相速与波数有关，则波存在色散。相速度是一种视在速度，可能大于光速。对于和两种情况，虽然德布洛意关系相同，但它们的相速度还

6、是有差别的，即 。对光子而言，相速度是；但对的粒子而言，相速度大于光速。群速度(Group velocity)：当不同频率和不同相速度的一系列波合成，在一个区域发生很强的相长干涉时，群速度是该区域前进的速度； 即波包中心的运动速度，式中为波包的中心波矢。群速度是真实信息的传递速度，不可能大于光速。相群速度两者的关系(The relation between the group velocity and the phase velocity)： 只有当不存在色散时，波包中各成分的相速度相同时，才有。例 在非相对论情况下， 自由粒子的能量，利用德布罗意关系得，。可以证明：粒子的德布罗意波波包的群速

7、度等于粒子的运动速度； 即 。(2)、波动性和粒子性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature)在经典理论中，波动性和粒子性是两个完全不相容的概念， 即： 微粒性：指客体有确定的内禀属性（质量、电荷、能量、自旋等），总占有确定的时空位置，并有确定的运行轨道。波动性：指可在空间任何地方进行传播的周期性扰动（如水波、声波和电磁波等），总是与某个物理量随时间的周期变化相联系。描述波的物理量是频率和波矢。波动的最本质特征是能够产生相干叠加效应（干涉和衍射现象）。此外，伴随波的前进，有能量传播，有能量密度和能流密度。在量子力学中，德布罗意假设把

8、“波和粒子”混在一起的观点是最令人困惑不解的问题。在历史上，曾经出现两种错误的理解：(1)、片面夸大波动性:波函数代表粒子的结构，即看作三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象。而波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。(2)、片面夸大粒子性: 波动性是大量微粒分布于空间形成的疏密波，波函数代表大量粒子的运动。波粒二像性的正确理解： 保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道(位置和速度)波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测在与物质相互作用过程中呈现粒子性，而在其传播过程中，以几率波形式表现波动性。二、波函数

9、的几率解释(Probability interpretation of Wave-function)让我们复习一下在概率论中的基本概念。以一组人群的年龄分布为例， 说明离散变量的概率。考虑由14人组成的一组人群，其年龄分布如下：其中表示年龄为的人数。总人数为： (1)、年龄为的人的概率即。(2)、人数最多（最大值）的年龄（称作年龄的最可几值）为。(3)、年龄的中位数：23(4)、平均年龄：(5)、年龄平方的平均值：以年龄为变量的函数的平均值：(6)、标准差：推广：连续变量的概率如下： 表示几率密度，是归一化的。(1)、在区间的概率：(2)、变量的平均值（期望值）：(3)、函数的平均值（期望值）

10、：(4)、标准差： 1、实验分析(i)、经典粒子的双缝实验一架机枪从远处向中间隔着一睹有两孔的墙后的靶点射。当2孔睹上，靶上子弹分布为，当1孔睹上，靶上子弹的分布为。当两空都开时，经过两孔的子弹各不相干地一个一个打地在靶上，在靶上的密度分布等于两孔分别开启时的密度分布和的和，实验结果符合经典力学。 (ii)、经典波（水波）的双缝干涉实验如水波通过两个缝后，在接收器上的强度分布为、和，。我们是如何解释这干涉现象呢？只打开缝1时的水波用描述， 开缝2时的水波以描述； 当双缝同开时水波用描述。 强度、以及， 式中、及，而即为干涉项。(iii)、电子双缝干涉实验的例子。在一个电子枪膛中装有个电子, 三

11、种不同的开缝情形：(1)、若只开一个缝1(或2)时，(2)、若两缝同开时。实验事实如下：(a)、每次接收到的是一个电子，即电子确实以一个整体出现（粒子性）；(b)、对于每种开缝情形， 都是一次发射个电子。则在接收器上某点处接收到的电子数为（或）；和； 而。这时电子数的强度是在接收器上接收到电子的分布， 即、和。(c)、电子枪发射稀疏到任何时刻空间至多一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。相当于对于每种开缝情形，一个电子重复发射次的结果。此时，电子数的强度是一个电子发射出去能在接收器上接收电子的几率分布， 即、和。因此，可得下列结论：(1)、电子不是经典粒子，因为； (2)、电子也不是经典波

12、（若是经典波应是电子密度分布），因为在电子发射非常稀疏时，也有干涉现象。对于这种干涉现象类似水波，但两者有本质区别； 前者是强度，后者是接收到电子的分布。这启发我们，引入复函数和来描述电子的双缝干涉现象，此时 ， 称和为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），而接收器上某位置电子的几率用波函数的模平方来表征。2、波函数的引入(Introduction of wave-function )在电子双缝干涉实验中，电子通过狭缝表现出的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果, 或一个电子在多次相同实验中的统计结果。但实验发现电子总是“一点一点”地打到接收器上，这表明在接收器上测量电子的位置时，电

13、子又表现出了粒子性。玻恩提出“几率波”的概念把微粒性和波动性统一起来。对于一般状态的微观粒子， 可用一个以时间和空间位变量的复函数来描述，称之为波函数。波函数是微观粒子波粒二象性的表现。3、波函数的统计解释(Statistical interpretation of wave-function/ Born/1926)波函数的概率诠释：波函数在某点的强度(绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度。波函数本身称为几率振幅。由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观测量(以后讲)。所以波函数完全描述了微观粒子(或量子体系)的状态，这种描述本质上具有统计的特征。(1)、量子力学的基本假设之一(Basic

14、 postulate I of quantum mechanics)微观粒子的任意状态， 都可用一个波函数来描述，其模方代表粒子空间分布的几率密度。(2)、归一化条件（The Normalization condition）按照几率解释，时刻在区域内发现粒子的几率为：。由于整个空间中，发现粒子的几率之和应为， 所以，波函数应该满足 。若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化。注意： 只有当波函数归一化后，才能说是几率。否则, 在区域中，发现粒子的几率为 若，则归一化的波函数取为(可差一相因子，为实数)。此时, 才代表在区域中发现粒子的几率。特殊说明(1)、平方可积函数的波函数是可归一化的，它

15、仍然有一个位相因子不能确定。(2)、有些波函数(连续本征值对应的波函数)不能(有限地)归一化。例如平面波、等。例1 设，为常数，求归一化常数A。解 由得，即。例2 若在区域上（为的概率密度），求的平均值和最可几值。解 利用公式：得：，由一阶导数求极值：。由二阶导数确定极大值：。由此可知：当时，概率密度最大，所以，的最可几值为。例3 设用球坐标表示粒子的波函数为, 求: (1)、粒子在球壳中被找到的几率, (2)、在方向的立体角元内找到粒子的几率。解 在球坐标系中，体积元为。根据波函数的统计解释，在体积元内找到粒子的几率为。(1)、粒子在球壳中被找到的几率，应把立体角方向积分掉，即 ,(2)、在

16、方向的立体角元内找到粒子的几率，应把径向坐标积分掉，即 。例4 一块岩石从高度为的悬崖上自由地落下。在下落过程中我们以任意间隔抓拍一百万张照片，根据每张照片测量岩石下落的距离。求岩石下落过程的概率密度及平均位置。解 岩石下落的轨迹：整个下落过程的时间：由于相机在间隔内的闪光的概率为，故，照片展示在一段距离内的几率：验证：归一化：。注意：在时，实际上，上面的积分是。多粒子体系波函数的形式(wave function of a system of many particles)对于个粒子组成的体系，它的波函数表示为，其中分别表示各粒子的空间位置矢量共有个自由数。而表示测得粒子1出现在空间中，同时粒

17、子2出现在空间中， ，同时粒子出现在空间中的几率。例4 设一个体系含有两个粒子，波函数用表示，则有(1)、测得粒子1在空间中的几率：，(2)、测得粒子2在空间中的几率：；(3)、测得粒子1在空间中， 同时粒子2在空间中的几率：。三、动量分布几率（Probability distribution in momentum space）按照波函数的几率解释：当用归一化的波函数描述体系的微观状态时，则在时刻空间区域找到粒子几率为。 若要测量粒子的动量，那么动量几率分布如何？定理 对于任何一个波函数都可由各种不同频率的平面波叠加而成，即， 式中，其中。在数学上称其为付立叶变换，总是成立的。表示中含有平面

18、波的成分，实际上就是粒子在动量空间的动量分布几率密度， 即在动量范围内找到粒子的几率为。电子衍射实验 见教材。推论 。例1 若用Gauss波包描述的粒子，求粒子位置主要局限区域（即位置的不确定度）以及粒子的动量主要局限区域（即不确定度）。解 由归一化条件得：，故粒子在空间的概率分布密度为。(1)、用数学分析中，求拐点方法，即二阶导数等于零处就是拐点的位置。由二阶导数求拐点: (2)、用不确定度的定义求解：对于粒子的动量分布情况，可通过付立叶逆变换得 归一化得:故粒子的动量几率密度分布为 同样，可用上面介绍的两种方法求动量的不确定度：(1)、用拐点法：(2)、用不确定度的定义求解：，因此得到：。

19、例2 设一维粒子具有确定的动量，即动量的不确定度。相应的波函数为平面波，求粒子的位置不确定度。解 由于，即粒子在空间各点的几率都相同。由知； 所以，。四、力学量的平均值和算符的引入1、位置和位能的平均值(Position and average of potential )既然一个微观系统能够用一个波函数来描述， 所以该波函数就能给出体系的一切可能的信息，能预言得到某可能值的几率，也能给出物理量的统计平均值。(1)、位置的平均值(average value of position)当给定体系的微观状态可用归一化的波函数描写， 则测得粒子取值在区域内的几率为，从平均值的定义，则位置矢量的平均值为

20、。(2)、位能平均值(average value of potential)假设位能不依赖动量， 我们可以展开，则有即位能的平均值为。乍看起来，动量、能量和角动量等的平均值都应能类似地给出。但动量平均值能否仍按上述表示给出呢？ 即 。 原则上讲，这是完全错的。因粒子具有波动性，而动量是与波长相联系的()。但波长是描述波在空间变化的快慢。一般而言，一个波函数由很多不同波长的平面波叠加而成。在某一点处，其波长不是一个，而是有很多不同大小的波长，即在处，并不没有确定的值，故不可能效仿上述平均值来表示。那么究竟如何表示动量平均值呢？对于给定波函数，则其付利叶的逆变换为 ，这样就得到粒子的动量分布几率密

21、度，测得粒子动量在区域内的几率为 ，其中因此，类似于， 相应的动量平均值可表示为 。 接下来，我们考虑如何用给定的波函数来直接求动量的平均值呢？ 下面就让我们来研究这个问题。 将代入得即 。 该式说明要想用去直接求动量平均值，就必须引入一个算符来代替（变量）进行计算。通常地，人们称为粒子的动量算符。 对于粒子处于状态（已归一化），则其动量的平均值为 。由此可见，在量子力学中的描述和经典力学中的描述是有本质差别的。量子力学中物理量（力学量）的描述是用算符来描述。在量子力学中，描述微观粒子的行为，引入的算符、，对应于经典的位置和动量变量。然而这些算符不等于经典变量。由上述推理： 求动能平均值（），

22、可表为，其中称为动能算符所以动量 ，则其中及。角动量算符例题课后作业 作业二 2、态叠加原理(Superposition principle)一、 量子态及其表象(Quantum states and their representation)1、量子态(Quantum sates)：定义 一个微观粒子体系在某一时刻所处的微观状态，通常用一个波函数来描述。若一个体系由归一化的波函数来描述，若某时刻测量粒子的位置，则表示粒子在时刻出现在点处的几率密度；或者说描述粒子位置的几率分布。在傅立叶变换下: ，若测量粒子的动量, 则测得粒子动量为的几率密度为。同理，也可以确定粒子的其他所有力学量的测量值的

23、几率分布。 故完全可以描述一个粒子的量子态。波函数也称为态函数，也叫几率波幅。反之, 若体系用归一化的波函数来描述，则在时刻测量粒子的动量为的几率为。在傅立叶变换下: 若在位置点处测量该粒子, 则测得粒子出现在点的几率密度为。 这样, 也可完全描述这个粒子的量子态。因此，对于一个体系，粒子的量子态可有多种不同的描述方式。2、表象（Representation space）： 对于一个体系，粒子的量子态可有多种不同的描述方式。而每种方式对应于一种不同的表象，它们彼此之间存在确定的变换关系，彼此完全等价。例如，是粒子所处的量子态在坐标表象中的表示，而是同一个状态在动量表象中的表示。例题1 平面单色

24、波在坐标表象下，可用波函数描写粒子所处的量子态，此时粒子具有确定的动量, 称该波函数为动量算符的本征态，而为动量本征值。试在动量表象中写出此量子态。解 根据傅立叶变换得 例题2 描述的是粒子具有确定位置的量子态，称为位置本征态，位置的本征值为。 试在动量表象中写出此量子态。解 根据傅立叶变换得 二、 态叠加原理若体系由归一波函数来描述，则描述了体系的位置几率分布或称几率密度。若单粒子处于态中，则测量动量的取值仅为或，而不在之间取值。 对于由大量粒子组成的体系，好像一部分电子处于态，另一部分电子处于态。 但你不能指定某一个电子只处于态或只处于态。 即对一个电子而言，它可能处于态（即动量为），也可

25、能处于态（即动量为），即有一定几率处于态，有一定几率处于态。由这启发建立量子力学最基本原理之一：态叠加原理：设体系处于态下, 测量力学量时, 测得确定值为, 而体系处于态下, 测量力学量时, 测得确定值为, 则体系处于的叠加态下, 测量力学量时, 测得值只可能为或，并且测得和的几率分别。或表述为:若是体系的一个可能态，也是体系的一个可能态，则是体系的可能态， 并称为和态的线性叠加态。在量子力学中，由于态叠加原理导致在叠加态下测量结果的不确定性。B讨论（与经典比较）(i)、经典认为：自身叠加将产生一个新的态，因为空间各处的强度增大到原来的4倍。而量子力学认为，由态叠加原理， 这两个态是一样的。在

26、和中测量力学量都只有一个值，而空间的几率分布与在空间各点之间的相对几率是一样的。事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一个常数并不改变状态或产生新的态。(ii)、在量子力学中，没有的状态， 因或一个不为零的常数。但是，经典振动可处处为， 即没有振动。(iii)、若， 经典认为是一个新的振动态，即以来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作波动，或者可能作波动。但对量子力学来说，体系可能处于态，也可能处于态。但不会处于其他态 态（）。因测量力学量所得的测量值是不会为的。应该强调指出，有时在处理物理问题时，常常对函数展开，。对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如傅立叶分解。这仅表明

27、有各种波相干，但并不能说，振荡发生在某一频率上。但量子力学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量，可能测得值仅为的值，其几率，即系数不仅仅是展开系数，而是正比于取值的几率振幅。(iv)、态叠加原理反映一个非常重要的性质，而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为的自由粒子是以一个平面波描述，动量为的自由粒子是以平面波描述。如体系同时（一个自由粒子）可能处于这两个态，则表明体系所处的态为，可是这个态没有确定的动量（当你预言动量的测量值时）。但也是描述自由粒子的可能态。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为 而至于究竟处于哪个具体状态，那应由一定的条件来定。所以，量子力

28、学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看只能有一定值）。另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数（如，给定）。对于，这时完全被所决定. 完全可替代来描述该态（以后要讨论）。(v)、态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是齐次线性方程。例 高斯波包（The Gaussian wave packet）考虑一个质量为的自由粒子，其中为高斯分布 ， 求出相应的粒子波包。解 由付立叶变换得由此可见， 一个高斯分布的付氏变换后，变成另一个表象下的波函数仍是一个高斯分布，而且其中波函数是描述时刻，粒子位置在区域（位置几率明显不为），而动量在区域（动量几率明显

29、不为区域）中运动的波包。关于位置区域是这样确定如下的：由处粒子分布的几率最大。由处是拐点。因为时，几率分布曲线向上凸起，而在时，几率曲线向下凹。3、薛定谔方程 薛定谔方程的适用范围： 非相对论情况， 无粒子的产生和湮灭过程。一、Schrdinger方程 量子力学的最基本定律是波函数所满足的偏微分方程-Schrdinger方程，是量子力学的一个基本假设。它不是从基本原理导出来的，其正确性是靠它所推出的结果及预言的正确性来证实的。考虑一个具有确定能量、动量的自由粒子, 由德布罗意关系 知道: 它对应的物质波为平面单色波 ，这个单色平面波满足的方程： 。 若自由粒子的一般状态用波包描述，即（波包是由

30、许多单色平面波叠加而成） ，式中， 则有 -这说明自由粒子的波包也满足同样的方程。 因此，对于一个自由粒子的波函数满足的Schrdinger方程为。这个方程可看做把经典的能量-动量关系：按下列替换为算符： ，然后把它们作用于波函数上得到； 这种做法称作“一次量子化”。 一般地，若粒子在外势场中运动，经典粒子的总能量为。 为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子化”法： 再将所得到的算符方程作用到波函数上，就得到与此经典系统相对应的量子系统的波函数应该满足的方程： 这就是单粒子运动的Schrdinger方程(1926)。通常标记，称为体系的哈密顿量算符（简称体系的Hamiltonian）。

31、于是，在非相对论情况下，单粒子体系的Schrdinger方程重新表示为 。下面对Schrdinger方程做几点说明：(1)、Schrdinger方程是的奇次线性方程。因此，叠加原理成立。即如果是Schrdinger方程的解，那么 也是方程的解。(2)、Schrdinger方程是时间的一阶方程，所以，时刻的状态决定其后所有时间的状态。(3)、经典力学的力学量，在量子力学中用力学量算符替代时， 。 例如：应写为 相当于(4)、若，是含时的经典系统，经典粒子在时变势场中运动过程与外界交换能量，粒子机械能一般不守恒。在相对应的量子系统时，由含时使系统的哈密顿量含时，成为含时的量子系统。相应的问题称为非

32、定态问题。例题 验证平面波和球面波都满足自由粒子的薛定谔方程。解 (1)、平面波可表示为代入薛定谔方程得 (2)、球面波可表示为，代入薛定谔方程令，因，则把代入，得。从此可看出，平面波和球面波都满足自由粒子的薛定谔方程。因此，自由粒子的状态既可用平面波，也可用球面波表示。二、Schrodinger方程的讨论1、初值问题和传播子A. 薛定谔方程的初值问题 当体系在初始时刻的状态给定时，则以后任意时刻的状态波函数就可完全由薛定谔方程所决定（因在薛定谔方程中只含时间的一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，即决定状态的演化。 因此，在量子力学中的因果律是对波函数的确定, 不像经典力学那样是确定轨道或力

33、学量的测得值，而是决定状态的演化。 如，即与时间无关，则时刻的解可表为（如时为） 。例如 对于自由粒子。. 若初始时刻时，波函数是已知的。如何从时的波函数，来确定任意时刻的波函数呢？由于是自由粒子，在时，它必是各种不同动量的平面波的叠加，即 。当给定，则，即由初态完全确定。 我们知道，在时刻自由粒子的状态由叠加而成，叠加系数为（已确定），即 ，式中。. 从另一角度讨论，对于自由粒子，直接利用 其中是粒子的能量。. 若自由粒子在时，初态处于状态，可以证明：，粒子处于的几率密度为。这表明，发现粒子主要在区域。证 (1)、粒子处于处的几率密度为。，故发现粒子主要在区域。(2)、由于是描述自由粒子在时

34、的波函数，它必是取各种不同动量值的平面波的叠加，即 ， 其逆变换为令，则上式 变为因此，粒子的动量几率分布为由得即粒子动量的取值主要区域在。对于任意时刻，描述自由粒子状态的波函数为 在计算过程中用到如下公式: (, 都是实数)对这个波包的扩散进行讨论：(a). 波包的扩展如果用上述这个高斯波包来描述（或模拟）一个物体， 在时，它位于（有一宽度）, 而平均动量为。在时刻，其包络线中心位于。所以，包络极大处的速度称为群速度，即群速度等于粒子速度。从相位看，如相位为、相位为 , 所以，相速度。利用波函数计算标准偏差，即发现粒子的主要区域在。所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。设，当，包波已扩散很

35、大，因此似乎与经典粒子无任何相似之处。 。所以，这样一个显示经典粒子的波包，动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展，使得你在 时，就认不得经典粒子了。右图即为高斯波包的传播。对高斯波包的讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。(b)、波包扩展的时间量级 在实际生活中，我们从来没有看见一个宏观粒子会扩展，以至好似消失。下面举几个例子。. 人：，。所以，人活长的时间内，还基本原样。当，才扩散得很大。而 经过人仍还可以大致维持原样。因此，量子现象你是看不到的。. 尘粒：、 ， 即经过亿年，尘粒仍保持“经典粒子“图象。. 电子（原子中）: ， 。而在氢原子中，电子绕质子一周所花的时间。由此看出，电子在

36、原子中不可能以波包形式描述。B. 传播子 对于波函数随时间的演化，也可借助于传播子来求解。在时刻的波函数，可由初始时刻的波函数完全确定。由于薛定谔方程是线性的，因而其解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着，必须满足齐次的微分方程。即可表示为 式中称为Green函数，或称传播子。只要知道Green函数，就可确定态随时间的演化。 让我们来看一下的具体含义。若时，粒子处于处，即，由上式得 所以，已知在时刻，粒子处于，则时刻，处发现粒子的几率密度幅就是格林函数。 由薛定谔方程，可直接给出 。例题 求自由粒子的格林函数。解 对于自由粒子，令，把视作常数，则，由公式，令时， 这正是自由粒子的Green函数。2、几率守恒定律(conservation of probability)在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即 这要求凡满足薛定谔方程的的波函数，必须满足上式。证明 粒子的空间几率密度是，所以 根据薛定谔方程 所以 引入一个矢量，其中是粒子的速度算符，则上式变为 ， 这是量子力学中的连续性方程，是粒子的空间分布概率守恒定律的微分形式。因为对任何体积，都有 ， 等式右方用Gauss定理，得 ，其中是在体积内发现粒子的总几率， 而(矢量指向的外边)是矢量穿过封闭曲面向外的总通量