求单元刚度矩阵课件

1、结构力学结构力学成绩评定方法 1、 “结构力学”为考试课程。期末考试成绩占75，平时成绩占25。 2、平时成绩由以下四部分组成： （1）作业及平时测验占10； （2）课堂笔记占5； （3）回答问题占5； （4）出勤、着装及遵守课堂记律等占5。*课程建设背景（1987年：4机时）*从一个简单例题谈起12-1 概 述第12章 结构矩阵分析 *结构矩阵分析方法*结构矩阵分析基本思路*有限单元法结构计算器简介*矩阵力法与矩阵位移法简介结构矩阵分析方法 在传统结构力学中引进有限单元的基本概念，数学推导采用矩阵方法，实际计算采用电子计算机。有限元、矩阵代数、计算机三者结合，使力学学科发生了革命性的变化。

2、杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元，以结构的结点位移作为基本未知量，导入矩阵运算，用计算机求解的方法。返 回 进行力学分析的方法有很多种，归结起来可以分为两类，即解析法和数值法。 结构矩阵分析基本思路 简单概括为：“先分再合，拆了再搭” 根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构，进行整体分析建立结点力与结点位移之间的关系（结构刚度方程） 。返 回 将结构离散成有限的单元，进行单元分析建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。 解算刚度方程，完成结构计算。试用有限单元法计算图示结构（分析解题思路）确定结点、划分单元、整理基本数据后，由程序完成计算。返 回PF结点力结点位移杆端力杆端位

3、移（平衡条件）（几何条件）（物理条件）矩阵力法（柔度法）：矩阵力法与矩阵位移法简介PF结点力结点位移杆端力杆端位移（平衡条件）（几何条件）（物理条件）矩阵位移法（刚度法）：结构的离散化*单元划分的原则*单元划分举例杆系结构实体结构计算精度计算机容量123485761234567PPqlql/2单元分析*杆件结构杆端力与杆端位移之间的关系oxy整体分析*杆件结构杆件结构结点力与结点位移之间的关系（图）整体分析的几个环节2、将单元结点荷载集合成整个结构的结点荷载1、将单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵3、引入结构的位移边界条件结点位移4、确定整个结构的平衡方程：杆端位移杆端力5、求解杆端力：一、矩阵位

4、移法的解题思路12-2 矩阵位移法的概念及连续梁的计算“先分再合，拆了再搭”21yxo231232111、单元分析（物理条件）12单元1单元2写成矩阵形式单元1单元22、整体分析位移条件平衡条件23211位移方程平衡方程物理方程将位移方程代入物理方程后再代入平衡方程，可得：将上方程组写成矩阵的形式简写为：称为“整个结构的刚度方程”。结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标， “对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题1、用直接刚度法组集刚度矩阵单元刚度矩阵整体刚度矩阵12212332233211233211练习：试写出图示连续梁整体刚度矩阵。整

5、体刚度矩阵122123322332113443单元刚度矩阵解：44231432142211334多跨连续梁刚度矩阵和刚度方程22113n-2n3n-1n-12、支承条件的引入（1）后处理法概念：（2）支承条件的引入“主1副零”法原刚度方程：引入支承条件后为便于编程，保持原矩阵行列不变 先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程的方法。123213、非结点荷载的处理增加约束杆端固端弯矩为 整个结构的结点约束力矩 去掉附加约束：在各结点施加等效结点荷载Pe，其大小与约束力矩相同，但方向相反 叠加图（b）和图（c）两种情况，即得图（a）的原始情况 (a)(b)(c)三、用

6、有限单元法计算例12-1（P18）1、确定结点、划分单元、建立坐标系；3、求单元刚度矩阵：4、求整体刚度矩阵：2、求（等效）结点荷载矩阵：5、建立整个结构的刚度方程：6、引入支承条件，修改刚度方程：7、解方程，求结点位移：8、绘内力图。12-3 局部坐标系中的单元分析一、一般单元2112E,A,I,lF5F4F6F2F1F3xy写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义:进一步:单元刚度矩阵的特点: (1)为对称矩阵; (2)为奇异矩阵; (3)具有分快性质。二、梁单元2112E,A,I,lF4F3F2F1xy写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义:进一步:梁单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵

7、可由一般单元刚度矩阵划掉第1、4行和第1、4列得到； (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。三、轴力（桁架）单元写成矩阵的形式：ex1F1F22为了便于坐标变换，轴力单元一般采用如下形式：轴力单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第2、3、5、6行和第2、3、5、6列得到； (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。写成矩阵的形式：F2F4yex1F1F3212.4 单元刚度矩阵的坐标变换一、整体坐标系与局部坐标系 1、两种坐标系建立的必要性 连续梁不必进行坐标变换，桁架、刚架必须进行坐标变换。2、整体坐标系 各个单元共同参考的坐标系（结构坐标系）。3、局部

8、坐标系： 专属某一个单元的坐标系。（单元坐标系）。二、桁架单元的坐标变换由图可确定如下关系式：F1F2yyxxoF3F4F4F3F1F2将以上方程组写成矩阵的形式：进一步：称为“轴力单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。正交矩阵的特点： （1）任一行或任一列元素的平方和等于1； （2）不同行或列对应元素乘积之和等于零。 同理，可用整体坐标系下的杆端位移表示局部坐标系下的杆端位移：即：三、刚架单元的坐标变换由图可确定如下关系式：xF1F2yyxoF4F5F5F4F1F2F6F3F3F6将以上方程组写成矩阵的形式：进一步：称为“刚架单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。 四、整体坐标系下的单元刚度

9、矩阵 1、整体坐标系下的单元刚度方程（引导学生推导）两种坐标系下的杆端力关系：两种坐标系下的杆端位移关系： 局部坐标系下的单元刚度方程： 将式（1）、（2）代入式（3）并整理，得：令：则：2、整体坐标系下桁架单元刚度矩阵（由学生推导） 3、整体坐标系下刚架单元刚度矩阵： 由上式可求出整体坐标系下刚架单元刚度矩阵，如第25页式（12-47）、式（12-48）所示。 先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程，进而求解结点未知位移的方法。12-5 结点、单元及未知位移分量编码一、一般杆件结构的后处理法的概念1、一个具体的例子o123423xy1124312整个结构的刚度

10、方程：引入支承条件：，将上述方程变为两组： 当“自由结点位移”求出后，用该方程组求支座反力。用该方程组求“自由结点位移” 2、一般杆件结构的后处理法刚度方程：于是：当无支座移动时：自由结点位移支座结点位移自由结点力支座结点力二、先处理法 1、定义：首先考虑支承情况，仅对未知的自由结点位移分量编码，直接建立“修正的整体刚度方程”的方法。 2、有关先处理法的基本概念（1）位移分量编码a）仅对未知的独立位移分量编码b）支座处位移分量为零时，则位移分量编码为零。123xyxxx123xyxxx表1 支座结点未知位移分量信息11,2,3自由端10,1,0211,0,01滑动支座10,1,2211,0,2

11、1滚轴支座10,0,1饺支座10,0,0固定支座结点编码未知位移分量编码（u、v、）简 图支座名称（2）单元两端结点号数组（二维数组）123xyxxx123xyxxx（3）结点位移分量的位移号数组123xyxxx123xyxxx（4）单元定位数组（单元始端及末端的位移号组成的向量）123xyxxx123xyxxx（4）练习：试确定图示结构坐标系，并对结点、单元、位移分量进行编码，同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三单元定位数组（考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况）。略去轴向变形y123xxxx456xxx考虑轴向变形123xyxxx456xxx12-6 平面杆件结构的整体刚度矩阵

12、在“先处理法”中，整个结构的刚度方程为： 123xyxxx123456654123456007700456123000000123123xyxxx12345676541237123xyxxx等效结点荷载计算：一、非结点荷载的处理（连续梁）12.7 非结点荷载处理12321qpqpq1213212132二、综合结点荷载定义三、等效结点荷载的确定1、单元等效结点荷载2、整个结构的等效结点荷载 将单元等效结点荷载按“单元定位编码”累加到整个结构的等效结点荷载中去： 将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷载相加，可得综合结点荷载： 综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原结构的支座反力、杆

13、端位移；而综合结点荷载作用下的杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。四、综合结点荷载的确定例题： 求图示结构综合结点荷载。解：0012342340052xyxx12xyxx11234512345123452340050012344、结构等效结点荷载5、直接作用在结点上的荷载6、综合结点荷载练习： 求图示结构综合结点荷载。1234562xyx12xyxx3xx1112.8 平面杆件结构分析举例一、解题步骤（1）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。（2）计算局部坐标系中单元刚度矩阵。 （3）计算整体坐标系中单元刚度矩阵。 （4）建立整个结构的刚度矩阵。

14、 （5）求综合结点荷载。 （6）建立整个结构的刚度方程，进而求解自由结点位移。 （7）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。 二、平面杆件结构分析举例（P34、p38）（一）程序编制说明一、连续梁静力分析源程序12.9 连续梁及平面刚架静力分析源程序 1、本程序用来计算连续梁在荷载作用下的转角及结点弯矩。2、非结点荷载作用下的固端弯矩由手算完成。3、采用“后处理法”：先建立K，后引入支承条件。4、采用“高斯顺序序消取法”解刚度方程。（二）计算模型及计算方法1、计算模型22113n-1n3n-12、计算方法（1）结点荷载（2）整体刚度矩阵的组集（3）支承条件的引入（4）高斯消去法解线性方程组（4）高斯消去法解线性方程组向前消元第一轮消元：利用式（1）中的第一个方程消去其余方程中的x1（1）式中：（2）（2）第二轮消元：利用式（2）中的第二个方程消去其余方程中的x2式中：（3）.经（n-1)轮消元后，方程组变为整个消元过程可表示为：（5）（4）经（n-1)轮消元后，方程组变为（4）向后叠代由式（4）的最后一个方程可以得到X