课后答案jr ch4习题参考答案

1、 Ch4 习题参考(1-29)4.1偏好相同，可知 pix y 加总时，价格 p 可提出来，任何商品的市场需求只和总收入有关，独立于收入分配。/由于偏好位似，设u(x) g ( f (x) ， g (x)0, f(kx)=kf(x)。问题 x arg max u(x), s.t. px y 等价于 x arg max f (x), s.t. px y1x而max f (x), px y y.max f (x), p 1yyxxx进而 y max f ( ), p 1，令 z ，则 y max f (z), pz 1yyyxi i y那么， f (kx) kf (x) x ( p, y) y x

2、 ( p,1) ，因此， 1，y xi表明市场需求的收入弹性等于 1。4.2可构例说明，市场需求不必然独立于其收入分配。4.3x p, y x p, y hxp, u p, y iixi由（1.20）ppiyiix p, y x p, y hxp, yi 0 总是成立，正常商品，ii 0 。0 ，则piypi4.4对所有消费者都互相替代时，结论成立。4.5J竞争市场长期均衡的两个条件： qd ( p) q j ( p) ； j ( p) 0 ， j 1, J ；j 1长期中市场出清和零利润条件共同决定均衡价格和行业内长期均衡的厂商数目 J ，厂商技术规模不变时， qd ( p) qs ( p)

3、 ，长期均衡中厂商数目不确定。4.6p a（a）厂商 j 实现利润最大化时 p mc a 2q*2bjj因此对于不同厂商，产出不同。1p a（b） bj 0 ，则当 p a 时,每个厂商产出为 0；当 p a 时，产出为。2bj4.7（a）p aMC a 2bq p q 2bp a qs J,由qs qd2bp 2b a J , q 2b a JJ 2bMC a q2AC a q J2 2bb(b)ba 0, b 0 时， AC MC ，厂商定价原则 p=MC，ACP，厂商亏损，没有厂商进入。（c）同理 a 0, b 0 时， MC p CA，厂商有超额利润，市场上可有无数个厂商。4.8J 2

4、 时， C(q1 ) c1q1 ， C(q 2 ) c 2q 2 ，其中0 c1 c 2厂商 1 利润： (q1 ) (a bq1 b1 c1q1厂商 2 利润： (q 2 ) (a bq1 b2 c 2 q 2，式分别对 q1 ， q 2 求偏导，得(q1 ) a bq 2 c1a 2bq bq c 0 ， q1211q12b(q 2 ) a bq1 c 2a bq 2bq c 0 ， q 1222q 22ba 2c1 c 2a c1 2c 2将式代入式，得q ， q 123b3b a 2c1 c 2 a c1 2c 2 c c212，3b3b3b由已知 0 c1 c2 a，b 02，得2

5、) (a bq1) 1 c1q1 (a bq12 c2q2 ()2 a(2 ) b(2 )(2 ) c 2q 2 c1q1 (2 )(a bq1 bq 2 ) c 2q 2 c1q1c 2 c1a c1 c 2 () c q c q221 1)(b3(c c )21c qc q 2 2 1 1a 2(cc )1 23b其中，c 2c 1a c 1 c 2(c 2 c1 )a 2(c1 c 2 )()() (2) b33b (c c )21 2a (cc )1 23bq2 ) (c c ) 21 12 (c 2) a 0c3b由式，因此，较之厂商 2，厂商 1 将会在均衡中拥有更大的利润与更大的

6、市场产出份额。4.9（a）两个生产者的利润函数分别为：qq2 = p+2 = 0q = 0 2q1q100厂商 2 是follower，所以，即22q= =114则，故令：1 =q9181（b）当厂商 2 是 leader，厂商 1 是 follower 时，同理：215275= 46225 , = 44009*q*p1=,=,1366362（c）比较（a）和（b），两个生产者都想成为 leader.2121 = 6522 = 55（d）两个生产者都想成为 leader 时，31 =q12 =q23FOC.2p* = 115 , = 11050 , = 110012393此时，1 q, q =

7、 25 1 q24221在模型中，两个厂商生产函数为*110*30068200*24200=, p =, =, q*=,1227774949所以，所以4.10模型中均衡时总产出较前面情形下少，价格则较高，厂商利润更高。（a）1 为 2 a b(者，2 为跟随者* a c 0.5qq )q22212bq* a c , q* a c 1 a (q )q21122b4b 1 (a c)2 2 (a c)2,8b16b又a c，故 1 2(a c)2(a c)2比较均衡时， i=i=1，2；J=2（J+1）2b9b故成为者获得更大利润，因此都愿意成为者。（b）如果两个厂商都假设对方是 follower

8、，则2)q1q1q q1 21 =(a= a 2)221 2qqq q2 =(a= a q* a c22b4.11Jp a b q jj 1（a）解：设反市场需求函数为（1）这里 a0,b0,ac4JqJ ) (abj 1q j k cq jj (j则厂商 j 的利润是（2）如果(J ) 是一个j ， q jqkqk均衡，对于一切 k 2,-必定会在处最大化，因此对于一切 k 1,.J ，（2）式关于 q j 的导数必在a 2b q j b qk c 0时等于 0，即k j（3）a cq b(J 1)在均衡中一切厂商产量相等，由（3）式解得J (a c)JJ (a c) q jp a b(J

9、1)J 1j 1则均衡价格为均衡总产量为(a c)2 jk(J 1)2 b每个厂商的利润为(a c)2 jk(J 1)2 b（b）由上题知每一个厂商的利润为在进入和退出条件下，长期均衡时每一个厂商利润都为 0，(a c)2J a c 1 j k 0(J 1)2 bkb则有解得长期均衡时厂商数目4.12(a)两个厂商进行价格的竞争，价格低的获得全部市场；价格相等时各获得一半市场( p1 c)q1 F q p cq F因此厂商 1 的利润函数为11 11=2 q2 p2 cq2 = ( p2 c)q2厂商 2 的利润函数为p1 p2 c只有时才是均衡，因为在这一价格上双方都没有改变价格的激励，当均

10、衡价格高于c 时，双方都有可能将价格降低一个无穷小量而获得整个市场，从而增加利润。在均衡时( p1 c)q1 F q p cq F（b）厂商 1 的利润函数为11 11=2 q2 p2 cq2 = ( p2 c)q2 -F厂商 2 的利润函数为p1 p2 c只有时才是均衡，因为在这一价格上双方都没有改变价格的激励，而5当均衡价格高于c 时，双方都有可能将价格降低一个无穷小量而获得整个市场，从而增加利润。在均衡时(C)厂商 1 的利润函数为1 q1 p1 c1q1厂商 2 的利润函数为2 q2 p2 c2q2因为c2 c1 0 ，只有价格为c2 时才是均衡。当均衡价格高于c2 时，双方都有可能将

11、价格降低一个无穷小量而获得整个市场，从而增加利润，低于c2 时，厂商 2 退出市场，厂商 1 完全，从而可以提高价格。Q, q2 0在均衡时4.13参考模型，这里改为对价格竞争即可， p1 80 / 3q1 20 / 3 pq 80 / 3 20 / 3 2， 24.1410q* 31 J由对称性，可求出4.15J ( p ) (p21/ 2 2q j)jii1 i jj 1, J(a)因为。（1）q jJ31/ 2 2 2( p j ) (pi) 0i1 i jpj（2）则：所以每个厂商的需求是斜率为负的。J31/ 2 22( p ) (p) pjijpi1 i jq jj 2pq jJ i

12、21/ 2 2( p j ) (p)ji1 i j价格弹性为-2。q jpJJ)2 ( p1/2 )3 p3 / 2 ( p )2 ( p1/2 )3 p3/2 0, (2)(1/ 2)( pi jjiijiiii1 i j1ii j.所以人们对物品 q j 的需求随着物品 qi 的价格 pi 上升而增加。（ i j ）。说明一6切物品相互替代。假设厂商把价格从( p1, p2 , pJ ) 提高到(kp1, kp2 , kpJ ) 。这里 k 1 。那么，厂(b)JJq j (kp ) (kp )21/ 2 221/ 2 2q j ( p ) (p)jijii1 ji1 jq jj商的需求函

13、数从J变到。化简q j k 1( p ) ( p )21/ 2 2)jii1 jq j。由于 k 1，得到。说明当所有厂商成比例提价格，既定物品需求下降。（c）令厂商长期利润为零并求解，12k 。4.16（a）（1）证明u(q, m) 严格递增：先固定 m m ，设q2 ，A XP X m则： u (q1 , m) max u(q1 , X )X A u(q , X )(X为解，X A)1 u(q , X )（ u(q, X ) 严格递增）2 max u(q2 , X )A XP X mX A u(q2 , m)，并设 m1 m2 ，再固定则： u(q, m1 ) max u(q, X )A

14、X P X m1X A u(q, X )（ X A, X 为解） max u(q, X )X B（ B X P X m2 ， m1 m2 A B ） u(q, m2 )由、： u (q, m) 严格递增。（2）证明u(q, m) 严格拟凹：A XP X m1 u (q1 , m1 ) max u(q1 , X )X A7 u(q , X )(X 为解，X A)1111B X X P m2u (q2 , m2x ) ( a,u mq2X )X B )(X 为解，X B) u(q , X2222下面令：X t tX (1 t) X，qt tq (1 t)q ，mt tm (1 t)m ，t (0,

15、1)121212则： P X t P tX P (1 t) X 12 tm (1 t)m（ X A, X B ）1212 mt X t C X P X m t u (qt , mt x)( au, mqt X ) u(qt , X t )X C（ X t C ）min(u(q1 , X 1 ), u(q2 , X 2 )min(u (q1, m1 ), u (q2 , m2 )( u(q, X )严格拟凹)即u(q, m) 是严格拟凹的。X X ( p , P, y) ，qm P X ( pq , P, y) ,（b）令最大化问题： max u(q, m) ， s.tpq q m yq,m等价

16、于： max u(q, m) ， s.tpq q m yq,m因为u(q, m) 满足一般的正则条件，所以满足一阶条件的 q, m 就是该问题的解。日函数为： L u(q, m) ( y pq q m)而u故一阶条件为： p ，qququmq,m ， pqumq,my pq q m 08如果 q , m 满足、，则问题得证。u下面证明 qq,my p q m 0 p ，umqqq,ms.tP X m因为： u(q, m) max u(q, X )Xs.tP X mmax u(q, X )X日函数： L u(q, X ) (m P X )构造u由包络定理得：q L uq,m, X (q,m)q,

17、m, X (q,m)q,m, X (q,m)qqumLm q,m, X ( q,m)q,m, X (q,m)u pi同样， X (q, m) 满足一阶条件 xq,m, X ( q,m)iuu1q,m, X (q,m) pm将代入得q,m, X (q,m)xiiuquqq,m, X (q,m) pi由、可知：uxiumq,m, X (q,m)因为 q , X 为下面最大化问题的解：max u(q, X ) ，q, Xpq q P X ys.ts.tpq q P X ymax u(q, X ) ，q, Xupqpq一阶条件：uxiq , X i接下来证 X (q, m ) X X (q, m )

18、arg max u(q, X )9pqq P X ys.t. P X m P X 因为u(q, X ) u(q, X ) ， q P X yp q所以 X 为 max u(q, X )由式P X m的解，即 X X (q, m )s.t. u q u q u qp i q , X p i u x i u x i u mq , X ( q , m )q , X ( q , m )pq= pi pq(代入式)pi即 q , m 满足一阶条件，显然它满足一阶条件所以 q , m 为max u(q, m) ， s.tp q P X y 的解。qq,m 即： u(q, m ) max u(q, X )s

19、.tP X P X m u(q, X ) v( pq , p, y)4.17考虑商品 q 价格下降引起对 q 支出的减少以及对其它商品的替代效应。4.18（a）当收入弹性 不变但不等于 1 时，有0CS CV y exp( d )dy0 y0 CV y exp( ln )d0y0y00 CV y exp( ln ln y0 )dy00 CV y ( y0 ) dy0111 CV y0y0 ( y )0 ( y0 ) 1 (CV y0 )1 ( y0 )1 11/(1 )CS(1) 1CV y0 y0y0化简整理后：得证。10（b）当需求独立于收入时，有 0 ，代入（a）中等式，有CS CV所以

20、消费者剩余可被用于获得对价格变动的福利效应的一个精确度量。（c）当收入弹性为 1 时，即 1，有，CS CV y0 exp( 1 d )dy0 y0 CV y0 exp( ln )dy0y00 CV y exp( ln ln y0 )dy00y0 CV ydy0CV y0y0 y0 ln y0 ln(CV y0 ) ln y0 0 CSCV y exp() 1y0化简整理得：（d）根据（a），当收入弹性 不变但不等于 1 时，有1/(1 )CS y0 (1) 1y0CVy0CS1/(1 )(1) 1CV y0 y0 y0所以：x CS (1)，所以CV y0 y0 (x 1)1/(1 )y0令

21、 0 处进行展开，有：对CV y0 在 x0 x ) 1 ff (x) f (x )2fx000221CS1CS1CV y0 y0 y0 (1) (1)y0 1 21 1 y0y021 2CV CSy0化简整理得：CV CS / CS CS / 2 y0所以有：4.19（a） max(ln x m)s.t. px m y11CSx 1/ pm y 1（b）v(p,y)=u(1/p,y-1)=ln(1/p)+y-1x(p, m, y) 0y(c) 由 x(p,m,y)=1/pxh x(p, m, y) 1ppp2方程，有：由于 x 的需求与收入无关，因而收入效应为零，替代效应为-1/p2。（d）

22、x=1/p 独立于收入，由 4.18（b），有 CS CV ，即 p0 与p1 之间的消费者剩余给出了价格变动对消费者福利影响的精确度量。4.20 x(p, y) y 1 y 1yx(p, y)py / p因此需求的收入弹性为 1。由 4.18（c），当(y) 1时，有：0 CSCV y exp() 1y0p0p1CS CS(p ,y )-CS(p ,y ) x(p,y )dp所以有100001 y01 7CS 4dp dp 7 lnp | 7(ln1 ln4) 7ln414pp4所以 7ln4 7CV 7 e 7 7eln4 7 214.2112q(p, y0)MCqh(p, v0)EP1A

23、BP0q1q0考虑消费者需求曲线上的价格产量组(p0, q0)。把价格从p 0提高到p 1，为了是消费者效用保持不变，需要给他补偿A+B表示的收入；价格产量变动将对生产者的利润受到影响。在价格低于竞争性价格产量组合的情况下，生产者获得利润。厂商利润变动为：q 0( p1 q1 mcdq) ( p 0 q0 mcdq) ( p 1 q1 p 0 q0 ) mcdq00q1 A A E C因此，在上述变动情况下，如果将厂商增加的收益A+B+C中拿出A+B给消费者，厂商仍然能获得E的新增收益，而消费者的效用也保持不变。结果，由(p0, q0)开始，经过再分配可利用的资源，厂商获得了严格的改善，并且消

24、费者并未因此受损，实现了改进。因此，初始情形不是4.22有效的。q2 。市场上，者的产出即市场总产出， TR = p（a）在最大化利润时需要 MR = MC ，即 2q = c 。(ac)2 4F c + c* *所以q =, p = pq C =, *242 c（b）在竞争市场中， p = MC = c, q =，所以13CD(c)22 22q*沉没损失= q= 08（c）最大化消费者和生产者的剩余，得。也就是说厂商应索价 p = c ，那么 = p * q-C =F 0 。利润为负，长期来看厂商是不会进行生产的。4.23qmax W=( p(q) c)dq0st (q) pcq F 0qL

25、 ( p(q) c)dq ( pcq F )0F.O.C. (1 ) p(q*) (1 )c p* 0p(q*) c * p10(1 ) * *p(q*)(1 )p*4.24在完全竞争市场:P=MCqW CS PS ( p( ) mc( )d0W 02W p(q) mc(q)qq需求曲线右下倾斜, p(q) 0qMC曲线向上倾斜, mc(q) 0q 0, 满足最大化问题的二阶条件. 2Wq2144.25（1） p x c ( p 1)( 2 6 7 p ) 5 1 10 7 7 p p2 ;211 111111p88 08 4)p11 7 78217 0 p 4) 0 p 4( 6 )811172 10 7p p2 5;1118p1 p x c ( p 1)xp2p22 22