数学高二(上)沪教版(向量的坐标表示及其运算)教师版教学提纲

1、数学高二（上）沪教版（向量的坐标表示及其运算）教师版学习好资料精品资料教学目的辅导科目：数学课时数：3向量的坐标表示及其运算1、理解平面向量的有关概念，掌握向量的坐标表示及运算法则2、掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容【知识梳理】知识点i向量及其表示i.向量：既有大小又有方向的量叫做向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示。如 uuv读作向量a,向量也可以用两个大写英文字母上面加箭头来表示，如 AB表示由A到B的向量。向量的起点，B为向量的终点）。向量错uuv（或a）的大小叫做向量的模，记作ab （或）【注意】既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量。

2、向量与标量是两种 不同类型的量，要注意加以区分。2.向量坐标的有关概念（i）基本单位向量：在平面直角坐标系内，方向分别与X轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫 rr做基本单包，记i , j（2）将向量a的起点置于坐标原点O,作OA = a,则OA叫做位置向量，如果点A的坐标uuu uuuu uuir r r rX,y ,它在X轴和y轴上的投影分别为 M,N,则OA OM ON ,a Xi yj 。 uuur r（3）向量的正交分解：在（2）中，向量OA能表小成两个垂直的向量i ,j分别乘以实数X, y后组 r r ，,，、 ，、，、成的和式，该和式称为i,j的线线组合。这种向量的表示方法叫做向量

3、的正交分解。把有序实数对r .x,y叫做向重a的坐标，记作3.向量的坐标运算：设ar r贝Ua b Xi X2, yi4.向量的模：设aV2 ；ra X, yrX，yi ,bX2N2， Rr rra bXi X2,yi y2 ; aXi, %x, y,由两点间距离公式，可求的向量a的模【注意】（i）向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示。（2）向量的模是一个标量，并且是个非负的实数。知识点2向量平行的充要条件,r , r , , ，一r已知a与b为非零向量，若arr rXi，yi ,b X2, y2 ,则 a / b 的充要条件 rb是Xi y2 X2yi,所以，向

4、量平行的充要条件可表小为:r ra b （其中为非零实数）Xi y2X2 yi。知识点3定比分点公式1.定比分点公式和中点公式已知R xi,yi ,P2 X2, y2是直线l上的任一点，且a /PP:P -yOuurPPX uuurPP,R, 1 , P是直线PB上的一点，令P X,y ,则yXi1yiiX2,这个公式叫做线段 y2PP2的定比分点公式，特别的1时，P为线段P1P2的中点，此时X1X22,叫做线段PP2的中点y1y22公式。2.三角形重心坐标公式设 ABC的三个顶点坐标分别为A xi,yi ,B X2,y2G为八ABC的重心，则X1 X2 X3Xg 3y1 y2 y3yG3【典

5、型例题分析】【例11已知点A的坐标为2,0，点B的坐标 3,0 ,uuu且 AP 4,uuuBP 3，求点P的坐标【解】设点P的坐标x,y22232 y2 y1216 解得9所以点P的坐标为56 12 T一,或5 5125变式练习：已知点 A （4、0） , B 标。解析：设 OP=n?OB= （4n、 4n）,AC = （2 4、6 0） = （ 2、（4、 4） , C （2、 6）,O为坐标原点，求AC和OB交点P的坐AP= （4n 4、4n0） = （4n4、4n）,6）由AP/ AP及向量共线的充要条件可得（4n4） X6-4nx （-2） =0解得n=34所以,op = （4n,4

6、n） = （3、3）P点的坐标为（3、3）。r r【例2】已知2a br r4,3 ,a 2b,、r r3,4 ,求a,b的坐标。r r【解析】类似于解二元一次方程组，可求得 a,b的坐标。rr【答案】a 1,2 ,b变式练习：若向量a = （ 1、A） - 1 a+ 3 b,222, 11） , b = （1、 1） , C= （ 1、2）,则 C=（）B） 1 a - - b ,22C)3a- 1 b 22D)解：设C=*+ b ,则(1、2) =/1 (1、1) + 沦(1、 1)(入 1+ 22,入1 /2)1 TOC o 1-5 h z 12112122322c =1 a3 b ,选

7、 B。一 、，一 r r r【例3】设向量a,b,r, r r r(1) a b cr r r 2abe r【答案】(1)原式0R ,化简：r r rr ra b cb cr r r2 a 2b 2 cr(2)原式 0【点拨】向量的化简，依据其运算律进行，其方法类比代数式的化简。ruuu ruuu.uuu【例4】已知向量a 2,3 ,点A 2, 1 ,若向量AB与a平行，且AB 2V13 ,求向量OA的坐标。【解析】本题中放入两个条件，要求两个变量，只需列出方程组，求解即可。【答案】6, 7或2,5变式练习：1、 2、1）, B （ 1、3） , C （3、4） , D （2、2）,则（B ）

8、A） AB / BCB） AB = DCC） AB / DC D） AC = （ 5 , 3）2若向量a = （2、m） b = （m、8）的方向相反，则 m=-4lUJUTiLULT【例5】在直角坐标系内P 4, 3 , P2 2,6 ,点P在直线P1P2上，且2 PF2，求出P的坐标。【答案】0,3或8,15变式练习：已知 a=AB, b（1、o）, b=（3、4）, c=（ 1、1）,且 a=3b 2 c,求a点的 坐标。答案：A（8 -10）r【例6】已知ar3 2t,5 ,b9,2 t，若a / b ,求a , b的坐标r r【解析】由a / b得，3 2t 2 t r r【答案】当

9、t 3时，a 9,5 ,b当 t 13 时，a 10,5 ,b 2变式练习：1、已知 a= （1, 2） , b =5 9 ,解得t ,即可求a, b的坐标9,59,2(x, 1),且 a+2b 与 2a b平行，则 x=、1、12 B) 1 O 3D)-2、下列命题：a / b存在唯一的实数，使得a ：a / b存在不全为零的实数1和：6、b不平行若1 a + 2b =0,则=b ；2,使得1 a + 26=0；0；3）a、b不平行 不存在实数1和2,使得1a+ 2b =0。其中正确的命题是（）A）B）3、若三点 P （1、1） , A （2、-4） , BC)(x、- 9)共线,则D) )

10、A) x= 1-9x=3C) x=-D)x=51答案：1D; 2B; 3B【例7】如图，已知VABC的三个顶点坐标分别为VABC的面积，求D点的坐标。【解】设直线l交BC于E,依题可得1,1 , 5,3 ,4,5 ,直线l / AB于D ,且直线l平分SvCDE : SvABC 1： 2 uuir uur即CD2 1 DACD 1 CDCA 2 DA2 1设D x,y ,由定比分点公式可求的x 8 3 2,y 5 2 22变式练习：若 D、E、F分别是 ABC的三边AB、yCDBAE lBC、CA上的动点，且它们在初始时刻分别从 A、B、C出发，各以一定速度沿各边向 求证：在0&t&1的任何一

11、时刻t1yB、C、A移动，当t=1时，分别到达B、C、Ao DEF的重心不变。D B x证明：建立如图所示直角坐标系，设A、为（0、0）、（a、0）、 （ m、n）B、C坐标分别,在任一时刻tiC0、1,依速度一定，其距离之比等于时问之比，有1AD| = |BE|=|CF|= t1 |DB| |EC| |FA| 1 t1由定比分点坐标公式可求得 D、E、F的坐标分别为（a t1, 0）、 （ a+ （ma） t1，n t1）、（mm t1、nn t1）,由重心坐标公式可得 DEFD B x的重心坐标为（）。当t=或 3t 021若p在第二象限，则：3t 0,解得一|t-1时,MBC的重心也是（

12、望、3）, 故对任一 t1 C 0、1 , zDEF的重心不变。【例8】如图，已知点P1,P2的坐标分别为x1,y1 , x2,y2，点P的坐标为x2 x1,y2 y1 uur uurn求证：OP RP2.【证明】uuunP1P22xiuur又OPuuuu所以PP22x2xiuurOPuuur所以OPiuuurPP22 yi2）OA = （1、2）,PB = PO + OB = （3333-3t）,若四边形OABP为平行四边形，则四边形OPP2 Pl为平行四边形 uurr uuur于是OP与PP2平行uur uuur所以OP P1P2 变式练习：已知点 O （0、0） , A （1、2） ,

13、B （4、5）及 OP=OA+tAB,试问:1） t为何值时，P在x轴上？在y轴上？ P在第二象限？2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解析：1） AB= （3、3） , OP =OP +t AB = （1+3t、2+3t）。若P在x轴上，则2+3t=0,解得t=- 1 3t 033 ;31若P在y轴上，则1+3t=0,解得t= 3 ;-3 3t 10A = PB ,而3 3t 2方程组无解，：四边形0ABp不能成为平行四边形【例9】（1）若OA 1,1万点的坐标t 1,2t ,求|AB|最小值。 rrr r（2）若 a sin ,cos ,b 2co

14、s ,3，且 a / b ,求 的值。【解析】（1）把|ab|表示成t的函数，然后利用一元二次方程知识求最值（2）利用向量平行的充要条件求解。【答案】（1） （2） sin 1，k 1 k k Z 526变式练习：1、已知 a= （2、3） , b = （ 5、6）,贝U | a + b |= , |a b | =答案：3,10; 582、已知|a|=3,向=4, |C|=5,则|a bC|的最大值为-12；最小值为_0_【课堂小练】1、设 A、B、C、D 四点坐标依次是（1、0）, （0、2）, （4、3）, （3、1）,则四边形ABCD为()A)正方形B)矩形C)菱形D)平行四边形2、设

15、a= ( 3、sin a ) , b = (cosa、1),且 6 / b ,则锐角 a 为()23A) 300B) 600C) 450D) 7503、若A、B、C、D四点共线，且依次排开,A） 2mnB） 2nmC） nmC 是 BD 的中点，AB=m , aC =n,则 AD=() D) m+n4、在三角形 ABC中，已知AB = a, oA=c,5、若 a= (2、- 3) , b。是4ABC的重心，贝U OB+OC =(9、4)，且 c=ma +nb ,贝U m=_ ; n=;6、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，若AB = a, AD=b，试以b为基底表示DE和B

16、F。答案：1、D; 2、C;3、6、 DE = a - b 2【课后练习】一、基础巩固uuu.已知 OA 2,1A 3,2r.若非零向量a1 , B；4、3(c-a);5、BE=b-1 a2，点 B 1,3B 2,1uur,OCCx/r ,bm=2,n=5uuuAB，则点C的坐标为（）X2, y22,3 D 1,2一则a b是土又2久的y2A充分非必要条件C充分必要条件必要非充分条件既非充分又非必要条件rr.已知 a 1,x ,b 2x,4 ,而A 1或2 B1或2rr r - r.已知 a 2,5, b 2 a,若 br b 1-2 ra rcC与a反向,且1r 则b3,D则实数x的值为（）

17、2（ ）A 4,104, 10 C1.521,.如图，点。是正六边形ABCDE的中心，与向量uuur uuin uur CO,OF,DE uuur uuur unr uuur uuur uur CO,OC,OF,FO,DE,ED uuur uuu uur uur CO,CF,OF, DE uur uuur uuur uuur uuur uuur uuir BA,CO,OC,OF,FO,DE,EDAB平行且模也相等的向量有（.VABC 中，若 A 1,1 ,B uur心，则GA的坐标是（）3,5 ,C 8, 3 ,G 是VABC的重3B1A一,0一,022uuir1 uuur unr7.已知：P

18、PJP2,PEuurPP，则0,1uuu 3 uur.且|ap|彳,则点P的坐标uuu- AB，求点P的坐标。3l二、能力提升.连接A 3,2 ,B 4, 8的线段，点P在线段AB上,uuiruuu.已知A 1,2 ,B 3,4，点P是AB的定比分点，BP.已知Gi,G2是VABC,VACD的重心，G是G2的中点，若A,B,C,D的坐标分别是 0,0 2,5 , 5,7 , 10,2 ,求点G的坐标。三、创新探究uuu uuu uur.已知O,A,B的坐标分别为 0,0 , 1,2 , 4,5，且OP OA tAB(1)当t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由四、高考体验12.设P是