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1、PAGE PAGE 3页第四节 无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质 1 常数项级数的概念数列 u n（ n = 1 , 2 , ）的各项依次相加的表达式称为无穷级数，第n项un称为级数的一般项或通项，前n项之和 Sn =称为级数的部分和。若 = S存在则称级数收敛，并称级数的和为S ; 若不存在，则称级数发散 。 当级数收敛时， rn =称为级数的余项，有= 0 。2 常数项级数的性质（ 1 ）若 = S,则= k=ks （ k为常数)；（ 2 ）若=S，则vn =T, 则 （unvn) =vn =S T;（ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；（ 4 ）在级数中改

2、变有限项，不影响其收敛性；（ 5 ）若级数收敛，则 0；反之，不一定成立。3 典型级数（ l ）几何级数aqn-1，当q 0 ) ，当p 1 时，级数收敛，当0p 1 时，级数发散.（二）常数项级数的审敛法 1 正项级数审敛法若级数，其中un0 （ n=1 , 2 ， ），则称级数为正项级数。（ l ）收敛准则：正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。（ 2 ）比较审敛法：设、vn为正项级数，对某个 N 0 ，当n N 时， 0unCvn（ C 0 为常数）。若vn收敛，则收敛；若发散，则vn发散。比较审敛法的极限形式：若l（vn0 ) ，则当0 l 十 时，和vn同时收敛或同时发散。（ 3

3、 ）比值审敛法：设为正项级数，若 = l ，则当l 1 或 l = +时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。（ 4) 根值审敛法：设为正项级数，若= l,则当l 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。2 任意项级数审敛法若级数，其中un（n = 1 , 2 ， ）为任意实数，则称级数为任意项级数。若级数的各项正负交替出现，即可写作（-1）nun（un 0 ）或（- l ） n+ l un（un 0 ） ，则称级数为交错级数。若级数为任意项级数，而级数un收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，而un发散，则称级数条件收敛。（ l ）莱布尼兹判别法：若交错级数（- l ） n u n（ u n 0 ）满足： 1 ）u n u n+1（n 1 , 2 ） ; 2 ） u n = 0 ，则级数（- 1 ）nun收敛，且有余项rn u n+1（n 1 , 2, ）（ 2 ）若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛。（ 3 ）设为任意项级数，若

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