平差(教学课件)--第2章平差数学模型与最小二乘原理

1、主讲：成晓倩 河南理工大学测绘学院平差数学模型与最小二乘原理Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares内容安排一、概述二、最小二乘原理三、测量平差的数学模型四、函数模型的线性化平差数学模型与最小二乘原理Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares1.几何模型 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。2.几何量 每种几

2、何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。一、概述几个基本概念：3.函数模型 要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。一、概述几个基本概念：s1s3s2ABC中，确定其形状，只需知道其中任意两个内角的大小就可以了.观测三个内角中的任意两个即可,故其必要元素个数为2，必要元素有 种选择(1) 确定平面三角形的形状(2) 确定平面三角形的形状与大小6

3、个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。一、概述(3) 确定平面三角形的形状与大小以及它在一个特定坐标系中的位置和方向外部配置元素的改变相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响三角形的内部形状和大小。必须知道6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素。一、概述s1s3s24.必要观测个数能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素；必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到

4、元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际观测量无关。一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。一、概述几个基本概念：假设对模型中的几何量总共观测n个：5.多余观测个数nt，发现粗差&提高精度一、概述几个基本概念：观测数必要观测数多余观测数r = n - t自由度 一个几何模型通过t个必要而独立的量可唯一确定下来，则其他的量都可以由这t个量来确定，即模型中任何一个其他的量都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在一定的函数关系式。

5、 当模型中有r个多余观测量时，则存在着r个函数关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。6.条件方程一、概述几个基本概念：6.条件方程S1S2一、概述几个基本概念：n=5；t=3；r=2每增加一个多余观测，相应增加一个条件方程；有多少个多余观测，就有多少个条件方程。求改正数V消除矛盾产生矛盾多余观测平差V称为观测值的改正数观测值估值（平差值）建立函数模型7.平差的概念一、概述几个基本概念：内容安排一、概述二、最小二乘原理三、测量平差的数学模型四、函数模型的线性化平差数学模型与最小二乘原理Mathematical Model of Adjustment and Principle of

6、Least Squares 知识补充：函数向量关于向量的求导规则 二、最小二乘原理 如要确定一个平面三角形的形状，观测了三个内角。从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，因此在三个内角真值之间存在一个条件方程，即W称为条件方程的闭合差或常数项二、最小二乘原理二、最小二乘原理解不唯一解唯一最小二乘准则应用最小二乘准则，不需知道观测向量概率分布，只需知道其先验权阵P观测值独立但不等精度时：观测值同精度独立时：极大似然估计：在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差 进行估计：当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的二、最小二乘原理由最小二乘准则：例：设对某物理量 进行了

7、 次同精度独立观测，得观测值 ，试按最小二乘准则求该量的估计值。解：设该量的估计值为例题赏析内容安排一、概述二、最小二乘原理三、测量平差的数学模型四、函数模型的线性化平差数学模型与最小二乘原理Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares函数模型线性模型非线性模型线性化测量平差数学模型测量平差数学模型Mathematical Model of Adjustment1. 条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Condition 2. 间接平差函数模型 Functio

8、nal Model of Indirect Observations Adjustment3. 附有参数的条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Conditions added Parameters4. 附有限制条件的间接平差函数模型 Functional Model of Indirect Adjustment with Constraints5. 附有条件的条件平差函数模型（概括平差模型） General Functional Model of Adjustment观测值个数为n， ；必要观测个数为t；条件方程个数为r=n-t。AL1L2

9、L3BC令则条件方程为n=3,t=2,则r=1。存在一个条件方程，可以表示为：1.条件平差函数模型Functional Model of Adjustment with Condition令 如图所示水准网，D为已知高程点，A、B、C均为待定点。CABDh4h1h6h3h2h5n=6,t=3,r=n-t=3；则条件方程组可写为条件方程可以是1.条件平差函数模型Functional Model of Adjustment with Condition令：则：上式即为条件平差的函数模型建模方法：找出观测值真值之间应该满足的r个线性无关的函数关系式。1.条件平差函数模型Functional Mode

10、l of Adjustment with Condition测量平差数学模型Mathematical Model of Adjustment1. 条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Condition 2. 间接平差函数模型 Functional Model of Indirect Observations Adjustment3. 附有参数的条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Conditions added Parameters4. 附有限制条件的间接平差函数模型 Functiona

11、l Model of Indirect Adjustment with Constraints5. 附有条件的条件平差函数模型（概括平差模型） General Functional Model of Adjustment 选择几何模型中t个独立量为平差参数 ，u=t, 共列出r+u=r+t=n个函数关系式。 每一个观测值的真值表达成所选参数的函数来建立函数模型。2.间接平差函数模型Functional Model of Indirect Observations AdjustmentAL1L2L3BC令n=3,t=2,r=1, 则方程式可写为方程个数：r+u=3如图：u=2,2.间接平差函数模

12、型Functional Model of Indirect Observations AdjustmentCABDh4h1h6h3h2h5如图水准网：n=6,t=3,r=3；选择A、B、C三个待定点高程为平差参数 ，则u=3,方程的个数为r+u=3+3=6。2.间接平差函数模型Functional Model of Indirect Observations Adjustment作代换： 观测值个数：n， 必要观测个数：t， 多余观测个数：r=n-t， 独立参数个数：u=t， 则方程个数：c=r+u=n则：建模方法：将每一个观测值的真值表达成所选参数的函数，共列出n个这种函数关系式（观测方程）

13、上式即为间接平差的函数模型2.间接平差函数模型Functional Model of Indirect Observations Adjustment测量平差数学模型Mathematical Model of Adjustment1. 条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Condition 2. 间接平差函数模型 Functional Model of Indirect Observations Adjustment3. 附有参数的条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Conditions

14、 added Parameters4. 附有限制条件的间接平差函数模型 Functional Model of Indirect Adjustment with Constraints5. 附有条件的条件平差函数模型（概括平差模型） General Functional Model of Adjustment 如果有n个观测值 ，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程。3.附有参数的条件平差函数模型Functional Model of Adjustment with Conditions added Parameters现又增设了u个独立量作为未知参数，且0ut个参数，其中包含t个独

15、立参数，则多选的s=u-t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。 方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程。4.附有限制条件的间接平差函数模型Functional Model of Indirect Adjustment with Constraints作代换: 方程的一般形式为：则函数模型可写为： 此为附有限制条件的间接平差的函数模型。其中 称为限制条件方程。 线性形式为：4.附有限制条件的间接平差函数模型Functional Model of Indirect Adjustment w

16、ith Constraints测量平差数学模型Mathematical Model of Adjustment1. 条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Condition 2. 间接平差函数模型 Functional Model of Indirect Observations Adjustment3. 附有参数的条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Conditions added Parameters4. 附有限制条件的间接平差函数模型 Functional Model of Indi

17、rect Adjustment with Constraints5. 附有条件的条件平差函数模型（概括平差模型） General Functional Model of Adjustment5.附有条件的条件平差函数模型General Functional Model of Adjustment基本思想：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut，不论参数是否独立，每增加一个参数相应增加一个方程，故方程总数为r+u个。若u个参数中有s个不独立，即u个参数中存在s个函数式，则可列立s个限制条件方程和c=r+u-s个一般方程。5.附有条件的条件平差函数模型General Functional M

18、odel of Adjustment一般形式：线性形式：作代换: 则函数模型可写为：此为附有条件的条件平差函数模型几个概念测量平差的函数模型几何模型、几何量、函数模型、必要观测个数、多余观测个数、条件方程Review条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差、附有条件条件平差1、按条件平差法；2、若选P1、P2 点高程为未知参数 、 时；3、若选P1点高程为未知参数 时；4、若选h1、h2、h3的真值为未知参数 时；5、若选h2、h3的真值为未知参数 、 时； 图中，A、B为已知水准点，P1、P2为待定点，观测了四段高差。试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型：ABP

19、1P2h1h2h3h4例题赏析ABP1P2h1h2h3h41、按条件平差法应列出r (r=2)个条件方程 解：本题n=4,t=2,则r=n-t=22、若选P1、P2 点高程为未知参数 、 时,此时参数个数u=t=2，且不相关，属于间接平差，函数模型为:ABP1P2h1h2h3h4ABP1P2h1h2h3h43、若选P1点高程为未知参数 时,u=1t, 且包含t(t=2)个独立参数，属于附有限制条件的间接平差。方程总数为r+u=n+s=5ABP1P2h1h2h3h4ABP1P2h1h2h3h45、若选h2、h3的真值为未知参数 、 时，u=t=2但相关，属于附有条件的条件平差。方程总数为r+u=4?不同平差