Z变换及其收敛域和应用

1、Z变换及其收敛域和应用学习目标掌握Z变换及其收敛域，因果序列的概念和判断方法运用任意方法（三种）求Z反变换理解Z变换的主要性质理解Z变换与Laplace/Fourier变换（连续时间信号）的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域2-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，经典时域分析法，卷积积分等。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析（ L

2、aplace/Fourier变换）。 2.离散时间信号与系统： Z变换， Fourier变换（DFT(FFT)）。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。2-2 Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。Z是复变量，所在复平面称为Z平面 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。3.一些序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理: 对于级数 ，存在收敛半径|z+|，级数以原点为中心，以|z+|为半径的园内任何点都绝对收敛。即0|z|z+|的z,级数

3、必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。 同样,对于级数 ，存在 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。0n2n1n (n).(2).有限长序列x(n)n0n1.1.3. 右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。但是第一项可能不存在，所以可能收敛域为： Rx-|z|;(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：在处收敛的序列必定是因果序列，反之也一样(5)左边序列x(n)0n n

4、2第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。(6)双边序列0nx第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域在模最小的极（左边序列极点）点所在的圆内。大家看一下书48页的例题2-4由上面两个例子来看，Z变换表达式一样，不代表序列相同，还得看他们的收敛域是否一致。这一点类似于差分方程不能唯一确定序列，必须给出边界条件。一个结论2-3 Z反变换一.定义： 已知X(z)及其收敛域

5、,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。z变换公式：根据复变函数理论：上式为围线积分法，也叫留数法；C为环形解析域内（收敛域）环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c 由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点（分母多项式Z的阶次比分子高二阶或二阶以上）， Res 表示极点处的留数。Z反变换的方法 函数X(z)zn-1沿围线c反时针方向的积分等于X(z)zn-1在围线c内部各极点的留数只和，函数X(z)zn-1沿围线c顺时针方向的积分等于X(z)zn-1在围线c外部各极点的留数只和，而且两者互为相反数。所以公式2-18a和2-18b都可以，但求解简化要避免多重极点，因为多重极点的

6、留数相对要难求 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数（不做要求）留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：例2-4 已知解:1）当n-1时,不会构成极点（围线内），所以这时C内只有一个一阶极点因此，求z反变换。2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有

7、 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn； Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck(不要求)分别为：分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。方法：把X（z）转换成z的正幂次表示，随后按书（225）和（226）式的要求，把X（z）表示成X（z）/z（单极点）或 形式，再按部分分式展开，求出各个系数。的z反变换。例2-5利用部分分式法，求解： 3

8、.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 *双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。例2-6 试用长除法求的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列) 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z -

9、 Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.2-4 Z变换的基本性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。例2-7已知 ,求其z变换。解：2. 序列的移位如果则有：例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3. Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4. 序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证

10、明：5. 共轭序列如果，则证明：6. 翻褶序列如果，则证明：7. 初值（因果序列）定理证明：8. 终值（因果序列）定理证明：即： 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限9. 有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理) 证明：两个Z变换相乘可能出现零极点相消的现象，扩大收敛域例2-9解：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环绕原点的一条逆时针单封闭围线。 例2-10解：12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C

11、在公共收敛域内。 如果则有:*几点说明：2-5 Z变换与连续时间信号拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系设 为连续信号， 为其理想抽样信号，则 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。变换与理想抽样信号拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。j00(1).r

12、与的关系= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.0jImZReZ(2).与的关系（=T）可见s到z的映射是多值映射3.Z变换与连续信号拉氏变换的关系二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且这就是Z变换和连续时间信号的傅立叶变换之间的关系

13、事实上取单位圆上序列的Z变换就是序列的傅立叶变换2.6 离散时间信号的付氏变换DTFT一、DTFT的定义变换对：称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。FT存在的充分条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。二、比较ZT和DTFT的定义： 利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。 序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值例1、计算门序列的DTFT (类似Sa(.)函数 )(线性相位) 解：DTFT幅频特性：相频特性：图示说明：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw例2、已知 ( ),计算其DTFT。由此可以得到FT的幅频特性和相频

14、特性三、FT与DTFT的关系归一化 利用FT与DTFT关系计算下列序列的 DTFT 例：解：1） 2）3）2.7 DTFT的一些性质1、线性性：2、实序列：实偶性：实奇性：3、时移特性：4、乘以指数序列 （调制性）5、序列线性加权6、序列翻褶7、序列共轭8、卷积定理： (时域) (频域)DTFT的主要性质参见书页的表2-39、帕塞瓦尔定理：(Parseval Theory)频域卷积在一周期内积分,称周期卷积。下面举例说明DTFT性质的使用。计算下列积分I的值。解：根据 利用时域卷积定理有：上式卷积n=0时就是积分I的值。2.8 周期性序列的DTFT因为周期序列在 不趋于零，故它既不是绝对可和，

15、也不是平方可和，因而它的傅立叶变换既不是一致收敛，也不是均方收敛。但是当引入冲激函数就可以有它的傅立叶变换存在，这样就能很好的描述周期性序列的频谱函数。下面分四种情况进行讨论：1、复指数序列的傅里叶变换复指数序列ejw0n的傅里叶变换，是以w0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f)书上80页2、常数序列的傅里叶变换常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在w=2p/N的整数

16、倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换周期性序列 （周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以 ，而 是x(n) 的一个周期的傅里叶变换X(ejw)在频域中w= 2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值。即：e满足0e 2p/N从w=0之前开始抽样；在w=2p之前结束抽样；此区间共有N个抽样值：0kN-1周期序列的DFS正变换和反变换周期序列的傅里叶级数（DFS）其中：2-9 傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 设一复序列，如果满足 xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下

17、面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和,又称偶部和奇部之和其中，四、两个基本性质(类似于Z变换的性质如下)证明：证明：五、 实、虚部与偶、奇部的关系: 实对偶, j倍虚对奇证明：j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：证明： 再乘以j。证明：六、序列为实序列的情况（要掌握）这4个只有4才是实序列特有的,因为没有了虚部,其变换就没有了奇部,也就是没有了共轭反对称分量7.实序列也有如下性质(序列的普遍性质)线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应h(n)x(n) y(n) H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2-10 离散系统的系统函数及频率响应 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(