医学统计学(课件)线性相关与回归

1、 医学统计学 simple regression线性回归与相关 simple regression线性回归与相关变量间的关系：相关关系：两个变量存在共同变化、彼此关联的趋势 相关分析依存关系：因变量(dependent variable)Y随自变量(independent variable)X变化而变化。 回归分析一、线性回归的概念线性回归方程（linear regression equation ）第一节 线性回归 用于描述两个变量间依存变化的数量关系。也称简单回归（simple regression）。 Francis GaltonX-自变量（independent variable）；Y

2、-应变量（dependent variable）； - 给定X 时Y 的估计值； a - 截距（intercept）或常数项（constant term）；b - 回归系数（regression coefficient）。 simple regression回归方程参数的计算 最小二乘法原则(least square method)：使各散点到直线的纵向距离的平方和最小。即使 最小。(YY)2 表示X与Y 的离均差积和； 表示X的离均差平方和； 和 分别为两个变量的均值。 simple regression例11-1 研究饮水氟含量与成人骨X线改变指数间的关系，得到了表11-1中所示的资料，试

3、进行回归分析。二、回归方程的估计 表11-1 饮水氟含量(mg/L)与骨X线改变指数调查对象饮水氟含量（X）骨X线改变指数（Y） XY X2Y210.240.400.100.060.1620.800.560.450.640.3131.001.911.911.003.6541.800.861.553.240.7453.125.2516.389.7327.5664.103.4013.9416.8111.5675.6058.38326.9331.363408.22810.2770.33722.29105.474946.31910.81116.301257.20116.8613525.69合计37.7

4、4257.392340.75285.1721924.20（1）绘制散点图：由散点图可见，饮水氟含量与骨X线改变指数之间存在着直线趋势，可以考虑建立二者之间的线性回归方程。 simple regression（2）计算回归系数与常数项 本例： simple regression代入公式得： 则回归方程为： simple regression按上述回归方程，在 X 实测值的范围内，任取两个相距较远的点 和 ，连接A、B两点即得到回归直线。（3）作回归直线 simple regression三、线性回归的假设检验(一) 方差分析回归方程检验的基本思想： 如果 X 与Y 之间无线性回归关系，则 与 都

5、只包含随机因素对Y 的影响，因此其均方应近似相等，如果两者差别较大，并超出能够用随机波动解释的程度，则认为回归方程具有统计学意义。回归分析中总变异的分解回归模型的方差分析因变量y的总变异 回归变异MS回：回归变异又称回归均方。指的是由于y对x的回归所解释的y的变异，用符号MS回表示。其含义也被解释为是x通过回归关系对y的变异产生的贡献。 将因变量y与自变量x关联起来进行回归后，回归模型为我们提供了通过给定x估计y的平均水平的途径。因此，y中由于x的作用导致的回归变异就可以被分离出来。 回归变异计算方法 回归离均差平方和，简称回归平方和 回归均方本例 残差变异计算方法 残差变异MS剩余：残差变异

6、又称残差均方。它指的是由除x以外所有其它因素导致的y的变异，因此，其含义是y的变异中不能由x解释的部分。它在性质上显然属于随机变异。 计算方法 总变异与回归变异和残差变异的关系 总变异中的离均差平方和自由度都可以被分解为上述两个部分。根据离均差平方和和自由度的可加性，有 Hypothesis test对例11-1数据建立的回归方程进行假设检验：（1）建立假设检验Hypothesis test（2）计算统计量Hypothesis test（3）确定P 值，得出统计结论 查 F 界值表 , ,拒绝 ，可以认为饮水氟含量与成人骨X线改变指数之间存在线性回归关系。Hypothesis test上面结果

7、可以归纳成表11-2方差分析表的形式。 表11-2 方差分析表变异来源 SS MS F P总变异14563.13 8回归12538.06 112538.06 43.34 0.01残差 2025.07 7 289.30Hypothesis test（二） t 检验 为样本回归系数的标准误，反映样本回归系数的抽样误差； 为剩余标准差，表示应变量Y 值对于回归直线的离散程度。 Hypothesis test例11-1数据建立回归方程后，进行t 检验，过程如下:（1）建立假设检验（2）计算统计量Hypothesis test（3）确定P 值，作结论 查 t 界值表， ，拒绝 ，结论与方差分析相同。可以

8、看出，统计量 与 之间存在确定的数量关系，即有 ，本例 。Hypothesis test一、线性相关的概念 两个变量之间存在的线性相关关系称为线性相关或简单相关。用于分析双变量正态分布资料。 第二节 线性相关Karl Pearson 图11-2 11名男青年身高与前臂长散点图 linear correlation 图11-3 线性相关性质示意图 二、相关系数及其计算相关系数（correlation coefficient）：又称Pearson积差相关系数（coefficient of product moment correlation），是说明具有线性相关关系的两个数值变量间相关的密切程度与

9、相关方向的统计量。相关系数r没有度量衡单位，其数值为 。 表示正相关； 表示负相关； 表示无相关，即无直线关系。当 时称为完全相关。相关系数的绝对值愈接近1，表示相关愈密切；相关系数愈接近0，表示相关愈不密切。 linear correlation 相关系数的计算公式： linear correlation 例11-2 从男青年总体中随机抽取11名男青年组成样本，分别测量每个男青年的身高和前臂长，测量结果如表11-3所示，试计算身高与前臂长之间的相关系数。 表11-3 11名男青年身高与前臂长的测量结果（cm） 编号 身高 X前臂长 YXY117047799028900220921734272

10、662992917643160447040256001936415541635524025168151734781312992922096188509400353442500717847836631684220981834684183348921169180498820324002401 10165437095272251849 11166447304275561936合计 1891 500 86185 326081 22810本例:结论: 前臂长与身高呈正相关关系, 而且相关程度较高。 linear correlation 三、相关系数的假设检验 1. t 检验法: 根据 r 作总体相关系数

11、 是否为零的假设检验。2. 根据计算出的 r 值，直接查 r 界值表得到P 值，若 ，则可以认为两变量之间存在线性相关关系。对例11-2计算得到的 r 值进行假设检验： （1）建立检验假设 ，即身高与前臂长之间不存在线性相关系 ，即身高与前臂长之间存在线性相关关系 （2）计算统计量linear correlation （3）确定 P 值，作出结论 查 t 界值表，得 ， ，拒绝 ，接受 ，可以认为男青年身高与前臂长之间存在正相关关系。或查 r 界值表 ， ， 结论相同。 linear correlation 一、线性回归分析的应用1. 线性回归方程可应用于以下三个方面： 分析两个变量之间是否存

12、在线性依存关系； 利用回归方程由自变量 X 对应变量Y 进行估计，必要时可以作区间估计；第三节 线性回归与相关应用的注意事项 利用回归方程进行统计控制，即利用回归方程进行逆运算，通过控制自变量 X 取值来限定应变量Y在一定范围内波动。2. 作回归分析时，如果两个有内在联系的变量之间存在因果关系，那么应该以原因变量为X ,以结果变量为Y ；如果变量之间因果关系难以确定，则应以易于测定或变异较小者为X 。 3. 在回归分析中，自变量X 既可以是随机变量（称为型回归模型，两个变量都服从正态分布），也可以是给定的量（称为 I 型回归模型，在 X 取值固定时Y 服从正态分布）。如果Y不服从正态分布，在进

13、行回归分析前，应先进行变量的变换以使应变量符合回归分析的要求。4. 使用回归方程估计Y 值时，尽量不要把估计的范围扩大到建立方程时的自变量的取值范围之外，由于超出样本取值范围，其线性关系是否成立难以判断，外推要慎重。如例11-1中，X 的取值范围为0.2410.81，计算估计值时X 的取值最好在0.2410.81之间。 二、线性相关分析的应用 1. 相关分析理论上适用于两个变量都服从正态分布的情形，如果资料不服从正态分布，应先通过变量变换，使之近似正态化后计算相关系数。如果不能正态化，或针对有序数据则可以计算Spearman或Kendall相关系数进行分析（参考SPSS软件说明）。 2. 相关

14、系数 r 值究竟多大有实际意义，需要根据具体问题而定。实际经验而言， 时，表示相关性较差； 时，表示中度相关； 时，表示有较高度的相关性； 时，表示有很高的相关性。 3. 相关系数可以描述两个变量间相互关系的密切程度和方向。然而，不能因为两变量间的相关系数有统计学意义，就认为两者之间存在着因果关系，要证明两事物间确实存在因果关系，必须凭借专业知识加以阐明。医学中很多变量的数量变化可能由于相同的因子调控引起。 三、线性回归与相关的区别 1. 相关系数的计算只适用于两个数值变量都服从正态分布的情形，而在回归分析中，应变量是随机变量，自变量既可以是随机变量（型回归模型），也可以是给定的量（I 型回归

15、模型）。 2. 线性相关表示两个变量之间的相互关系是双向的，线性回归则反映两个变量之间单向的依存关系，更适合分析因果关系的数量变化。四、线性回归与相关的联系 1. 相关系数 r 与回归方程中的 b 正负号相同，r 和 b 为正，说明 X 与 Y 的数量变化的方向是一致的，X 增大，Y 也增大；符号为负，变化方向相反。2. 对同一样本可以得出 r 与 b 互相转化的公式，两种假设检验完全等价。3. 相关与回归可以互相解释。r 的平方称为决定系数 (coefficient of determination)，可表示为: 表示回归平方和在总平方和中所占的比重, 即 其值越接近1, 回归效果越好。决定系数和相关系数有确定的关系, 例如 r = 0.5, 有 =0.25, 说明一个变量的变异有25%可以由另一变量所解释。 1.线性回归方程常用于分析两个变量之间是否存在线性依存关系。 2.相关系数可以描述两个变量间相互关系的密切程