平面向量题型汇编

1、uuuu1mAM BN ，则AB,AD分别为x, y轴，建立平面直角坐标平面向量常见题型汇编利用平面向量待定系数求参数值uuir例题1:在正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点，若AC的值为（）解析：设正方形的边长为 2,以点A为原点,系,A 0,0 , B 2,0 ,C 2,2 ,M 2,1 , N 1,2uuir,所以ACuuumuuirAM 2,1 , BN21,2 ,所以2变式1：如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起.若Ab= xAB+ yAC则x =y =解析：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB= 2,则AB= (2,0) , AC= (0,2)

2、,过D作DD AB交AB的延长线于F,由已知得DF= BF= V3,则AD= （2+也，心.Ab= x Ab+ y AC, .(2+43,#) = (2x, 2y),即 有 2；加一 2人解 得V3=2y,x=1+y4向量基本定理与不等式，、三角函数相结合uuv例题2:在RtABC中， A 90,点D是边BC上的动点，且 ABUUV3, AC4,LLUVADUULVABAc（0,0）,则当取得最大值时,UUUVAD的值为解析:900可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系,其中AC 0,4UUUV ADUUVABULUVAC(0,0) 1 ,，当且仅当41 ,一时取等号2ULWADUUU

3、ABUULTACuuu1 UULTAC 23,010,42UUUTAD22勺2变式2:已知点UUUA在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且OAuur2aOBUUT bOCT 0,2b的最小值是a 2b 1 b分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式,很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造2a b 1研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件,应用均值不等式.解析：由UUUULUF2aOB bOCT0可得,UUU UUUOA 2aOBUUTbOC ,根据A B、C三点共线可得0,b

4、 0,所以aa 2b2b1 ba a 2b ,1a 2b2b2a 2b2a b ba 2b所以最小值为2& 2 ,故填2 J2 2 .uuu uuur变式3:给定两个长度为1的平面向量OA,OB它们的夹角为120.如图1所示，点C在以o为圆心的圆弧Ab上变动.若uuirOCuuu xOAuuuyOB,其中 x,yR ,则x y的最大值是思考方向一：考虑特值法解法1当C与A重合时,uuirOC 1uuuOAuuuOb, x y 1uuiruuu当C与B重合时，OC 0 OA 1uuuOB,y 1,当c从Ab的端点向圆弧内部运动时,于是猜想当c是Ab的中点时，x图2y取到最大值.当c是Ab的中点时

5、，由平面几何知识OACB是菱形,uuir uun uur:.OC OA OB, . x y1 2.猜想x y的最大值是2.思考方向二：考虑坐标法平面直角坐标AOCA(1,0),B(uuir 于是OC132,T uuu),C(cos,sin).uuuxOA yOB可化为:(coscossin1 x -y, 2(1)3一y.2解法2:函数法求最值,3 ,sin ) x(1,0) y( 2,-2-x由方程组（1）得：cos1 _ sin 32 . sin .3x y 3sin cos2sin(30o),又0o120,，当30o 时,(xy)max2.解法3:不等式法求最值由方程组（1）得：1. 2

6、sin2 cosxy (xy)2 3xy ,xy 1(x321y) 30,y 0,2,(x y) 4xyy 2,当且仅当1时取等号,(x y) max2.思考方向三:考虑向量的数量积的运算解法：两边点乘同一个向量uuuuur. OC xOAuuuuuuuuuuinuuuuurOCOAxOAOAyOB OA,uuiruuuuurumuuuuuuOCOBxOAOByOBOB.lur yOB,设 AOCBOC120uuu，又 |OC|uuu uur|OA| |OB| 1 ,coscos(120o12y，12x y.y 2coscos(120o) 2sin(30o),解法5：uuu . OC(x30o

7、 时，(x两边平方法urn xOAlury)2y 2,y)maxiur2yOB,. ocxy (x（xy）24当且仅当2.uur (xOAuuir 2yOB)2,y)23xy(xy)24，x y 1时取等号,则 BOC 120o,且 |OM | x,|MC | y.uuirON ,在 OMC 中，设 AOC思考方向四：考虑平行四边形法则过C作CM /OB交OA于M ,作CN / OA交OB于N，则OMCN是平行四边形,uuir uuuu由向量加法的平行四边形法则得：OC OM解法6:利用正弦定理OMMCsin OCM sin COMsinOCOMCsin(60o ) sinsin 60o 由等

8、比性值得:x sin(60oy)sin1sin 60o，x y 2sin(30o) , 当30o 时，(xy )max 2.解法7:利用余弦定理2_2_ 2_ _|OC | |OM | |MC | 2|OM | MC |cos60o,222 1 x y xy (x y) 3xy2 (x y)2(x y) 3 T(x y)24 x y 2,当且仅当x y 1时取等号，(x y)max2.小结：仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略,是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算,三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数

9、法和不等式法.当然，本题作为个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的v b满足av则下列不等式恒成立的为(B.变式4：若非零向量a、v 2bv2bC.2Vv v2a bD.2V2V b解析：若两向量共线，则由于非零向量必有a=2lv ；代入可知只有 A. C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义,，可以构造如图所示的三角形，使其满足09AB=BC 令叔=v, OEu=b，则鼠=4 buuur .CA4v v vvv2b 且 v bb ;又 BA+BOAC. vv2bv 2bv 2b三、 坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等

10、）,易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示,其数量积等问题迎刃而解。1.数量积的定值问题例题3：在边长为1的正三角形ABC中,uurBCuuir uuruur2BD,CA 3CE ,则uuurAD解析:数量积问题，如图建系:、3。7 ,B2,0,C2,0卜面求E坐标：令x,yuuuCE12,yuur,CAuuuBE观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决uur 由CAuuu3CE可得:3y12,3213也613, 6UULTADuuu,BE5 236,6UULTADuuuBE变式5：如图，在矩形ABCD中，AB J2, BC 2,点E为BC中点，点F在边CD

11、上,uuu 若ABuuu_ uuu uuir解析：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以A为坐标原点如图建系B也0，设F x,y，由F在CD上可得yuuu unn2 ,再由AB AFJ2解出x：AF2 ,则AE BF的值是uuuABF 1,2 , E V2,1变式6:如图，平行四边形uuu uuurAB 2, AD 1 ,且ABCD的两条对角线相交于uur uuuBAD 60,则 AP CP M，点P是MD的中点，若一.uuuruuu uuin TOC o 1-5 h z V2,0 ,AF x,2 , AB AF J2x 22x 1uur - uuu 一 uuu uuu_A

12、E72,1 , BF1 叔2, AE BF221 222 V2uur uuu分析：本题抓住 BAD 600这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由AB 2, AD 1可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解析：以AB为x轴，过A的垂线作为y轴，可得：B 2,0 ,D 1, ,C 5,J3 2 22uurAP,P,8 8AP,8 8,CP7133.35.31788888uuuuuu747uuuCP135V 3, 882.数量积的最值问题例题4:r r r r r r r平面向量a,b,c满足a e 1,b er2, a2,er r1 ,则a b最小值是分析：本题条件中有r e r a而1

13、r r r2可利用向量数量积白投影定义得到a,b在e上的投影分别为1,2 ,通过作图可发现能够以re的起点为原点,所在直线为x轴建立坐标系,r r则a,b起点在原点，终点分别在 x 1,x 2的直线上,从而最值即可r r解析：如图建系可得：a 1,a ,b 2,b2可得:a,b可坐标化，再求出 a b的由轮换对称式不妨设ab,3r r a bmin变式7:已知点M为等边三角形 ABC的中心,AB2,直线l过点M交边AB于点P ,uuu交边AC于点Q ,则BQuurCP的最大值为BC8BC分析：本题由于l为过M的任一直线，所以 AP : AB,AQ : AC的值不确定，从而不容易利uuur uu

14、u用三边向量将BQ,CP进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而A,B,C,M坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l方程，与AB, AC方程联立解出uuu uuuP,Q坐标，从而BQ CP可解出最大值解析：以BC,AM为轴建立直角坐标系,1,0 ,C 1,0 ,A 0, 3 ,MJ得:uuurBQ5.3 3k ,3k 13 k , 3 , k ,3uuu ,CP5.3 3k、3k 13 k .3 , k ;32,33 k 、33k 1k 3uuir uuuBQ CP5.3 3k 5.3 3k3 k .3 3 k .3、.3k 1、3k 175 9k23k2 16k222k

15、 ；3k ,39 k2 3k2 33 k23_ 2 _ 2_6k 2216k18 401 八 40; n -6；3 k2 33 k2 33 k2 3若直线与AB, AC相交，则k.3 .3一,一，33uuur uuu 140BQ CP 6 -r3 k 3400 32293.数量积的范围问题例题5：如图，在直角三角形 ABC中，AC73, BC 1 ,点M ,N分别是AB,BC的中设直线l : y kx 由B 1,0 ,C 1,0 , A 0,石可得: 3AB: y 3 x 1 , AC : y y .3 x 13_k .3 y kx ;Q:3 得:3k 1y . 3 x 1k 16 2 uuu

16、uuuI1 OAOB -AB - AC 5AB -AC 一AB AB AC 一AC；-ABAC9999817 818181 81uiruuiru 5 uuu 2uuru 4 uuu 7 uuu 20UUTU 43UUUUUU 14uuru2304 43uuuuuuI2 OBOC -AB -AC -AB - AC 一AB AB AC TAC AB AC9999811 818181 81uuuuuu4uuru 7uuu 4UHIU 2uuu 16uuru2 20uuruuuu 14uurJ2160 20uuuuuuI3 OC OA -AB -AC -AB - AC 一AB AB AC 一ACAB

17、AC9999817 818181 811602011103一, I 3 I2 I1818123七、平面向量的范围最值问题1.面向量数量积的范围、最值问题r r已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为b cos叫做a和b的数量积（或内r r r r r积），记作a b .即a b = asb cosr r，规定a 00 ,数量积的表示一般有三种方法:当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a b= a b cos ； （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=（xi, yi）, b=（X2, y2）,则a b=xiX2+yiy2； （3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基

18、底表示后，再运算.2例题19： 如图，半径为1的扇形AOB中， AOB ，P是弧AB上的一点，且满3uuuv uuv足OP OB, M , N分别是线段OA,OB上的动点，则PM PN的最大值为（）A. B . - C . 1 D . 72【解析】:扇形M95的半径为1, ,西二,二。尸二声赤二0,36,两两=（甫4须）一（而+ 而卜而，而一而十应 用一说 而 二=1 ，故选C.1+ 而 cos 611例题20： 在矩形ABCD中，AB 3, AD 1,若M , N分别在边BC , CD上运uuuv BM动（包括端点，且满足 TtuuvBCuuvCN uuuv uluvttuv ,则AM AN

19、的取值范围是CDr解折粉却以AR.3D为4y轴建支直角坐标我则HS.m ,月以0）（寸）.见0）殁时6.桃川（娼）.因为瓯国二减所以人故AM 而:x+l（O工蛆*=所以史故值1灯变式29:已知圆C的方程（x 1）2 y2 1, P是椭圆1上一点，过P作圆的两条切线，切点为uuuA, B ,则 PAuuuPB的取值范围为（A 2,). 2,2 3,3 562,解析：P（x,y）,设CPA CPB,C(1,0),|PA|2 |PC|2(x 1)2；x2 2x 4sin1|pC|设 t - x24uuu uuu 又 PA?PB2x cos21 2x 2x 444 1(x 4)2,42sin22 2x

20、1 2x 2x 442 2 3,tuiuu|PA12 cos2uuuu uuu9,(PA?PB)max变式30：(t 1)569已知 ABC中,(t 2) ttuuuPAAB2/23,t_ uuu uun 2(PA?PBLnuuuPB的取值范围为4, AC 2, |2收3,-56 ,故选9uuuAB (2uuu2 )AC| (R）的最小值为2石，若P为边AB上任意一点，则PB PC的最小值是uuruuu 22uuu22uuu2uuu uur解析：令 f ( )= | AB (2 2 )AC|AB (2 2 ) AC 2 (2 2 )AB AC =2216 2 + 4(2 2 )2+ 2 (2

21、2 ) 8cosA = 16(22cos A) 2(2cos A 2)1,o 1当 cosA 0 时，f ( ) = 16(2 2 21) 162(-)2 - 8,2因为2J3 2短,所以A ,则建立直角坐标系，A(0,0) , B(4,0), C(0,2),2uuuuuin设 P(x,0) (0 x 4),则 PB (4 x,0) , PC ( x,2), TOC o 1-5 h z uuu uuro所以 PB PC = x(4 x) = (x 2)2 4 ；当 cosA 0时，f ( ) = 16(2 2cos A)(1 21 cosA 、-)+ 8 8cos A 12,22A(0,0)

22、, B(4,0), C(1,6),(1 xJ3),一 一解得cosA 一,所以A ，则建立直角坐标系, 23uuuuuin设 P(x,0) (0 x4),则 PB (4 x,0) , PCuuu uur5 c 9所以 PBPC = (4 x)(1 x)= (x 5)2 9 .24u uuu uur综上所述，当x 5时，PB PC取得最小值2.平面向量模的取值范围、最值问题设：（x,y）,则a 幅 Jx2 y2 ,向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不例题21:rr,r 已知a,b为单位向量，且a易，可以将向量

23、用基底向量表示再求.r r r r rrb ,向量c满足c a b 2 ,则c范围为uuu r r uuu ruurrrr解析：如图，OA a b,OB cAB c (a b),uuu r 又|OA| |auub| 22 、2 | 2 ,2变式31:r r r向量a, b,c满足4, b242,r ra 与 b 的夹角为一4r rr8 rr r(c a) (c b) 1 ,则c a的最大值为(),确定变量满足的等式分析：根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点(向量) 和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围.解析：设OA a,OB b,OC C；以oa所在直线为x, 0为坐标原

24、点建立直角坐标系r- ar4, br r r(c a) (c2 J,rb)r ra 与 b 的夹角为则 A(4, 0) , B (2, 2),设 C (x, y)1 , .x2+y2-6x-2y+9=0 ,即(x-3) 2+ (y-1 ) 2=1 表示以(3, 1)为圆心，以1为半径的圆,r rc a表示点A C的距离即圆上的点与点 A (4, 0)的距离., -rr一圆心到B的距离为(34)2 (1 0)2 J2 ,ca的最大值为J21变式32:已知向量a,b夹角为-,b 2,有b xatb at R的最小值是【解析】向重祇5夹京为多B|二工，对任意xek有b十闻可汗-加利边平方整理可得:拓

25、广苫（/一防一司工0, MA = 4-（a- J2 + 431 （o1 -23 i）0,即有（五。一提后口，即五.（万-5）=0 .则,一砰万I由叵量瓦万夹箱为Ji|t| = 2 ,由是=a 5 = a |5|-cos-?,艮啼同=1, 贝中3 =4尹- 2方j =0。而出发6 =3? AS= b ,建立平面直角坐标系，如所示，则A 1,0 ,B 0, 3 ,1,0,01,3v tbv tb1 t2 3t、,3 24表示P t,0与M1 .3 ,N4 4的距离之和的2倍,当M ,P, N共线时,取得最小值2 MN即有2 MN,、33 L故答案为,724厂2厂1, 4t2 t 10、3 283.

26、平面向量夹角的取值范围、最值问题rrr r设 a (x1,y1), b (x2, y2)，且 a,b夹角为 ，则 cos例题22:已知非零向量r r ra,b满足a丫佻r ra.bx 1 在r rR上存在极值，则 a和b夹角的取值范围为 ,一 解析：f xr r r r rx a x ab,设a和b夹角为,因为f x有极值，所以r b cos一 rr1 一0,即cos -,所以2变式33:非零向量a, b满足2ab =a 2b2, | a | |b | 2 ,则a与b夹角最小值是解析:即a由题意得rb 1 ，r r i r 2r2a b 一 a b ,2r r.r a bcos.a,b,:r

27、,ra br 2 r 24,整理得a br ra,b；,夹角的最小值为一3、r rr r变式34： 已知向量a,b满足1a|=2j2jb| 0， 且关于X的函数-r c r rr rf（x）=2x 3+3|a|x2+6a bx+7在实数集R上单调递增，则向量a,b的夹角的取值范围是（） TOC o 1-5 h z aIt,-冗.入It,-A.0, B. 0, C 0,D634【解析】求导獭可得+ E门卜+&1上，则由函数fGKx+a&Z总在实兼（能用上里调 递增，可得/GO-sF1%用工46Gb皂。恒成立，即/4卜卜;右小之口恒成立，裁判别式A = & 血&40恒成立，再由卜卜2万卜卜&,可得

28、口 ,区班匚a卜力），二6卜苫,二平吟,.C.4.平面向量系数的取值范围、最值问题例题23:已知a ,2 , b3,5 ,且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是分析：a与b的夹角为锐角等价于r ra b 0,且a与b不共线同向，所以由10再除去a与b共线同向的情形.解析：由于a与b的夹角为锐角,a b 0 ,且a与b不共线同向，由6,得a b 0310 0,解得10一,当向量a与b共线时，得53因此的取值范围是例题24:已知G是VABC的重心，过点G作直线MN与AB ,AC交于点M , N ,且uuuv uuvAM xABuuivuuvAN yAC,x,y 0 ,则3x y的最小值是解析:G三点

29、共线,如图QM, N,C uuuvuuivMG GN,uuvAGuuv (ANuuvAG),G是VABC的重心,uuiv AG1 uuv1 (AB 3uuvAC)uuv1 一一_-ABuuvAC)uuv xABuuv (yAC1 uuv (AB3uuivAC)x=1313(3x1)(3y1)1;结合图象可知x 112y 1;令3xm ,3yn,2);故 mn 1,故3x2.3mn4 23,当且仅当m3333 ,n变式35:如右图所示,已知点ABC的重心，过点 G作直线与AB, AC两边分别uuuv交于M , N两点，且AMuuv xABuuiv ,ANuuvyAC ,则x 2y的最小值为uuu

30、r解析：因为M,N,G三点共线，所以 MGuur uuir uuurGN,AG AMuuir uuirAN AG ,uuu因为G是ABC重心，所以AGuurABunrAC1 uuu AB3uuurACuur xABuur 1 uuu uuury AC AB AC，3所以化简得3x 13y 11,解得题目所给图像可知1,由基本不等式得3x1 6y 23x 1 6y 2即 3 x 2y 32.2, x 2y 33x6y2,2 24时，等号成立,6故最小值为2.23变式36：直角梯形ABCD中，CBCD , AD PBC , VABD是边长为2的正三角形,P是平面上的动点,uuvCPuuv1 ,设

31、APuuv ADuuvAB (R),则的最大值为解析:CD为x轴,BC所在直线为y轴,建立直角坐标系,uuv可设CPcos,sinuuv ,ADuuv1,、.3 ,ABuuv ,ACuuuAPuuivACuuv CPcos2, sin- uuv囱，因为APuuv ADuuv AB,所以cos2, sin 、.32/3、,32 cossin2.33n13八、例题25:1 cos23 .sin6的最大值为9 2.3共线定理的应用三点共线,A. -11一 cos23.3故答案为已知a,b是不共线的向量,B. -2C. -2ULLT解析：由于 A, B,C三点共线，故 AB题选择D选项.例题26：在A

32、BC中,UULTAN1 LUUU UUUT-NM，若 AN 3解析:因为UULT AN1 UUUUTNM 3uuuu 所以AMuuu4 AB 4变式37:m的值为 sin62.3uuv ABUULTAC ,M为边BC上的任意一点,UUUABLULTANUULTACUULTAC( , R),则9 2.32b,uuvACD. -1占八、1 UUUUUUUTAM ，又因为AN 41 b ，且 A,B,C0,解得-1或2.本N在线段AM上,且满足LUUABUULT AC(,R),由于三点B, M,C共线，所以4UULT 1 UULTUUT在 ABC中，AN NCP是BN上的点，若AP 3，分析：共线定

33、理描述的是两个向量间数乘关系，即从而UUT mAB2 UULT -AC9则实数b与a(a 0)共线存在唯一，使A, B, C三点共线的充要条件是1 .t rb a ,将其延伸后可得到三点共线的条件：在平面中uur uuu uuurOA xOB yOC (O为平面内任意一点)，其中x y解析：因为uuurAN1 uuu -NC , 3uuur 所以AN1 uuu 1AC ,即4uurACuuir4ANuur 所以APuuu mAB2 uuur -AC 9uuu mAB8 19uuuAN又因为P,B, N三点共线，所以m891 ,所以1 m 9变式38:已知数列 an为等差数列，且满足uuv UL

34、UV uuuv uuuvuuuvOA &OB a2107 0c，若 ABAC( R),点O为直线BC外一点，则a1009()A.B.C.D.解析:数列an为等差数列，满足uuvOAuuv a1OBuuuva2io7OC，其中A, BC在一条直线上,O为直线 AB外一点，a1+a2017=1,数歹U an是等差数列, , an的 2a1009a1a2107=1,a1009故答案为：D九、一个向量等式的应用向量等式：如图所示，在ABC中，若uurM是BC的中点，则ABuuirACuuuu 21 uuur 2AM - BC4证明：如图uur uuur1所示，可得4AB ACuuu uuur uuu(

35、AB AC )2 (ABuur uuuuAC)2 (2AM )2UUU2CBuur uuurAB ACuuur21 uuur 2AM - BC4例题27:在直角梯形ABCD中,已知 BC/AD,ABAD, AB 4, BC2, AD 4.32-42 5.4若P为CD的中点，则PA PB的值为解析：如图所示.由梯形中位线定理得，PQ 3.-21 2再由本文的向量等式可得：PA PB PQ AB4例题28：在平面直角坐标系 xOy中，若圆C：x2 y2 4分别交x轴的正半轴与y轴的负半轴于点 A, B, P是圆C上的动点，则 PA PB的的取值范围是 .解析：如图所示，设线段 AB的中点是Q.由本文的向量等式，可得 PA PB2PQ1 一,2-AB 4. 2PQ 2.因为Q是圆C内的定点（可得OQAB2P是圆C上的动点,可得 2 2 OP OQ 归Q OP OQ2 J2，即 PQ 范围是2 J2,2 2变式39：在平行四边形ABCD中，AD 1, BAD 60 ,E为CD的中点.若AC BE 1 ,则AB的长为 .31解析：如图所示，作 BF AC ,取线段EF的中点G ,得EF 3AB,CG -AB.24 TOC o 1-5 h z c1 c 1在 BCG中，由余弦定理，得 BG2 1 AB2 -AB . 164由本文的向量等式，可得22121211 31