平行线的性质与判定典型例题上课讲义

1、平行线的性质与判定典型例题.如图，CD 平分/ECF, /B=/ACB,求证：AB/CE.证明：v CD平分/ ECF, ./ ECD = /DCF,ACB=/ DCF,./ ECD = /ACB,又. / B=/ACB,. B=/ ECD,.AB/ CE.如图，已知 ACXAE, BDXBF, /1=15 , /2=15 , AE与 BF 平行 吗？为什么？理由如下：因为 ACLAE, BDXBF （已知），所以/ EAC=/FBD = 90 （垂直的定义）.因为/ 1 = /2 （已知），所以/ EAC+/1 = /FBD + /2 （等式的性质），即 / EAB=/ FBG,所以AE/B

2、F （同位角相等，两直线平行）.如图，已知 / ABC=/ACB, BD 平分/ABC, CE 平分/ACB, F 是 BC 延长线上一点，且/ DBC = /F,求证：EC/DF. ./ DBC = /ECB./ DBC = /F, ./ ECB=/ F,EC/ DF.4.如图,A ABC=/ ADC, BF, /1 = /2、求证：DC/AB.2DE分别是/ ABC, / ADC的角平分线,证明：ABC=/ACB, BD 平分/ABC, CE 平分/ACB, ./DBC=L/ABC. /ECB=/ACB“ i F /;ZWAEB证明：: DE、BF分另1J是/ ABC, z ./34/AD

3、C, /2=/ABC, /ABC=/ADC,/ 3=/2,/ 1 = /2,/ 1 = /3, DC/ AB.5.如图所示，/ B=25 , / D = 42 的位置关系，并说明理由.AB二解：AB/ ED,理由：如图，过C作CF/AB,r ADC的角平分线，,/ BCD = 67 ,试判断 AB 和 ED/ B = 25 ,./ BCF=/ B = 25 ,./DCF = /BCD-/BCF = 42 ,又. / D = 42 ,./ DCF = /D,CF/ ED,.AB/ ED.6.如图，DE平分/ADC, CE平分/BCD,且/1 + /2=90 .试判断 AD 与BC的位置关系，并说

4、明理由. DE 平分/ADC, CE 平分/BCD,./ADC = 2/1, /BCD = 2/2, / 1 + /2=90 ,./ADC+/BCD=2 (/1 + /2) =180 ,.AD/ BC.7,已知：如图，DGBC, ACXBC, EFLAB, /1 = /2.求证：EF/证明：: DGXBC, ACXBC,./DGB = /ACB=90 （垂直定义）,.DG/AC （同位角相等，两直线平行），./2=/ACD （两直线平行，内错角相等），/ 1 = /2,./ 1 = /DCA,.EF/CD （同位角相等，两直线平行）.8.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放

5、在一起，友情提示：/ A=60 , / D = 30 , /E=/B = 45 .（1）若/DCB=45 ,则/ACB的度数为 135 .若/ACB=140 ,则/DCE的度数为 40.（2）由（1）猜想/ ACB与/DCE的数量关系，并说明理由.（3）当/ACE90且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一 组边互相平行时，请直接写出/ ACE角度所有可能的值（不必说明理解：(1). /DCE = 45 , /ACD = 90./ACE=45/ BCE=90./ACB=90 +450 = 135故答案为：135 ;. /ACB=140 , / ECB = 90./ACE=140 -90 =

6、50./DCE = 90 - /ACE = 90 -50 =40 故答案为：40 ;(2)猜想：/ ACB+/DCE = 180理由如下：=/ ACE=90 /DCE又. / ACB=/ACE+90./ACB=90 - Z DCE+900 = 180 - / DCE 即 / ACB+/DCE = 180 ;(3) 30、450 .理由：当 CB/AD 时，/ACE=30 ;当 EB/AC 时，/ ACE=45 .9,已知：口，人0于, BOXAO, /CFB=/EDO,证明：CF / DO .B F 0证明：: DELAO, BOXAO, ./AED = /AOB=90 ,.DE/ BO （同

7、位角相等，两条直线平行），./EDO = /BOD （两直线平行，内错角相等），/ EDO = /CFB, ./ BOD = /CFB,.CF/ DO （同位角相等，两条直线平行）.如图，已知/ A=/C, /E=/F,试说明：AD/BC.E证明：=/ E=/FAE/ CF,./A=/ADF,./A=/C,180 ./ADF = /C, .AD/ BC.已知：如图，EG/FH, /1 = /2.求证：/ BEF+/DFE =且BC手Dr解：v EG/ HF./ OEG=/OFH,/ 1 = /2./AEF=/ DFE.AB/ CD,./BEF+/DFE = 180 .如图，AB/CD, /B=

8、70 , /BCE=20 , /CEF=130AB与EF的位置关系，并说明理由.解：AB/ EF,理由如下：. AB/ CD,./B=/BCD,（两直线平行，内错角相等） / B = 70 ,./BCD = 70 ,（等量代换）/BCE=20 , ./ECD = 50 ,. CEF=130 ,. E+/DCE=180 ,. EF/ CD,（同旁内角互补，两直线平行）.AB/ EF.（平行于同一直线的两条直线互相平行）DAC = 120 , /ACF = 20 , / EFC140 .求证明：v AD/ BC, ./DAC+/ACB=180 ,./DAC = 120 , ./ACB=60 ,又.

9、 /ACF = 20 , ./BCF=/ACB/ACF = 40 , ./BCF+/EFC=180 ,EF/ BC, . AD/ BC,EF/ AD.14.完成下列推理过程:已知：如图，/ 1 + /2=180 , /3=/B求证：/ EDG+/DGC = 180证明：:/ 1 + 7 2=180 （已知）/ 1 + /DFE = 180 （ 邻补角定义 ）./2= /DFE （ 同角的补角相等 ） TOC o 1-5 h z EF/ AB （ 内错角相等，两直线平行）./3= /ADE （ 两直线平行，内错角相等）又:/ 3=/ B （已知）./B=/ADE （ 等量代换 ）DE/ BC （

10、 同位角相等，两直线平行） / EDG + Z DGC= 180 （ 两直线平行，同旁内角互补）.已知：如图，BE/ GF, /1 = /3, /DBC = 70 ,求/ EDB 的大小.阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）解：= BE/ GF （已知）/ 2= / 3 （ 两直线平行同位角相等）/ 1 = /3 （已知）；/1=（/2 ）（ 等量代换 ）.DE/ （ BC ）（ 内错角相等两直线平行）/ EDB+Z DBC=180 （ 两直线平行同旁内角互补）./EDB = 180 -/DBC （等式性质）./DBC= （ 70）（已知）./ EDB = 180 70 =110.如图，

11、已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H, AB/ CD, /A=/D,试说明：AF/ ED;/ BED=/ A;/ 1 = / 2(1)证明：v AB/ CD,. / A=/AFC,/A=/ D,./AFC=/ D,AF/ ED;（2）证明：v AF/ ED,./ BED = /A;（3）证明：v AF/ ED,./ 1 = /CGD,又2=/ CGD,/ 1 = /2.阅读理解，补全证明过程及推理依据.2, /3 =已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，/ 1 = /4.求证/A=/F证明：:/ 1 = /2 （已知）/2=/DGF （ 对顶角相等 ）.

12、/ 1 = /DGF （等量代换） TOC o 1-5 h z BD / CE （ 同位角相等，两直线平行） /3+/ C =180 （ 两直线平行，同旁内角互补）又/ 3=/4 （已知）/4+/C=180 （等量代换）AC / DF （同旁内角互补，两直线平行）；/A=/F（ 两直线平行，内错角相等）(1)求/ a和/ B的度数.(2)求/ C的度数.解：(1)解方程组.如图，/ a和/ B的度数满足方程组口+/=35，且cd/ 1ZP -Zd=70EF, ACXAE.2ZCL+Z ?=235ZP -Zd=70(2) . / a+Z 0= 55 +125 = 180 .AB/ CD,. /C

13、+/CAB=180 ,v ACXAE,./CAE=90 ,./ C=180 90 550 = 3519.如图，直线 a/b, /1=45 , /2=30 ,求/P 的度数.解:过P作PM /直线a, .直线 a/ b,直线 a / b / PM,/ 1=45 , / 2 = 30 ,./EPM = /2 = 30 , /FPM = /1 = 45 ./EPF=/EPM+/FPM = 30 +45 =75,/ C=ZE,求/ E.解：v AB/ CD, / A= 60 ./ DOE = /A=60 ,又. / C=/ E, /DOE = /C+/E,DOE = 3021.如图，已知/ 1 + /

14、2=180,/B=/3, / BAC 与/ DCA 相等吗？为什么?解：/BAC=/DCA,理由：./CFE=/2, Z 2+71 = 180 ./ CFE+/1 = 180DE/ BC, ./AED = /B,B=/3, ./ 3=/AEF, .AB/ CD,./ BAC=/ DCA.如图，已知 EFXBC, /1 = /C, / 2+/3= 180 .试说明直线 AD与 BC垂直.（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）.理由：=/ 1 = /C,（已知）. GD / AC ,（ 同位角相等，两直线平行 ）/ 2= /DAC .（ 两直线平行，内错角相等）又/2+/3=180

15、,（已知） / 3+ /DAC =180 .（等量代换）AD / EF ,（ 同旁内角互补，两直线平行）. / ADC : / EFC .（ 两直线平行，同位角相等 ）V EFXBC,（已知）./EFC=90 , ./ADC = 90 ,AD BC8 D F C.如图 1, BCAF 于点 C, /A+/1 = 90 .（1）求证：AB/ DE;（2）如图2,点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB, PE.则/ABP, /DEP, / BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考 虑点P与点A, D, C重合的情况）？并说明理由.图2（备用图）解：（1）如图1, .BCLAF于点C,.

16、 /A+/B = 90 ,又. / A+/1=90./ B=Z 1, .AB/ DE.(2)如图2,当点P在A, D之间时，过P作PG/AB,v AB/ DE,PG/ DE,./ABP=/GPB, /DEP = /GPE,./ BPE=/ BPG+/EPG=/ABP+/DEP;如图所示，当点P在C, D之间时，过P作PG/AB,PG/ DE,./ABP=/GPB, /DEP = /GPE,./ BPE=/ BPG-/ EPG=/ABP-/ DEP;如图所示，当点P在C, F之间时，过P作PG/AB,BA DC PFC备用图). AB/ DE,.PG/ DE,./ABP=/GPB, /DEP =

17、 /GPE,./ BPE=/ EPG-/ BPG=/DEP-/ ABP.已知：如图，FE/OC, AC和BD相交于点O, E是CD上OD 上一点，且/ 1 = /A.(1)求证：AB/ DC;(2)若/ B = 30 , / 1 = 65 ,求/ OFE 的度数.(1)证明：: FE/ OC,./ 1 = /C, = / 1 = /A, . A=/C, .AB/ DC;(2)解：v AB/ DC,.D = / B,/ B = 30./ D = 30 ,/ OFE是ADEF的外角，./OFE = /D+/1,/ 1=65 ,./OFE = 30 +650 = 95 . (2018秋？牡丹区期末)

18、如图，AB/DG, Z 1 + 72=180 ,(1)求证：AD/ EF;(2)若DG是/ADC的平分线，/ 2=150 ,求/B的度数.R F 口 C证明：(1) V AB/ DG,./ BAD = / 1,./ 1 + /2=180 ,. /2+/BAD=180 ,.AD/ EF;. / 1 + /2=180 , / 2=150 ,/ 1=30 ,: DG是/ ADC的平分线，./ GDC = / 1=30 ,. AB/ DG,B=/GDC = 30 .如图，ADBC于点D, EGBC于点G, /E=/3.请问：AD平分 /BAC吗？若平分，请说明理由.平分.证明：: ADLBC于D, EGLBC于G,（已知）./ADC = /EGC = 90 ,（垂直的定义）.AD/ EG,（同位角相等，两直线平行）./2=/3,（两直线平行，内错角相等）/E=/1,（两直线平行，同位角相等）又=/ E