全国卷Ⅰ理数数学高考试题(含答案)

1、2019年全国卷I理科数学、选择题:1.已知集合Mx 4 x 2, Nxx2 x 6 0,则 M N =A. x 4 x 3B. x 4 x 2 C x 2 x 2 D. x 2 x 3(x, y),则2.设复数z满足z i =1, z在复平面内对应的点为 TOC o 1-5 h z -22(x+1) y 122,(x 1) y 1 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document x (y 1)1 HYPERLINK l bookmark39 o Current Doc

2、ument 22 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document x (y+1)13.已知 a log20.2, b-0.20.32 , c 0.2 ，则a b ca c bc a bb c a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是痛1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高2可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmsinx x5.函数f(x)=

3、r在,的图像大致为cosx xD. 190 cm6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻和阴爻“一 一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是7.8.9.A. 316B. 1132已知非零向量a, b满足|a| 2|b|,且(a b)C.如图是求A.B.A.A= 21C. A=12ASn为等差数列an 2n 52132D.b,则a与b的夹角为的程序框图，图中空白框中应填入B.D.11162jt3D.1A=2 AA=1 2Aan的前n项和.已知S4 0, a5an 3n 10C. Sn 2n2 8n10.已

4、知椭圆C的焦点为F(1,0)则C的方程为2A. 2y2 12xB. 一311.关于函数Sn in22nF41,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若| AF2 |2|FzB|,|AB| |BFJ,2 x C.一42 x D.一5f(x) sin | x| |sin x|有下述四个结论:f (x)是偶函数f (x)在区间(一, 2)单调递增f(x)在,有4个零点其中所有正确结论的编号是f(x)的最大值为2A.B.C.D.已知三棱锥 P-ABC勺四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC 4ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA AB 的中点，/ CEF=90 ,则球 O的体积为A 8

5、、.6B, 4、6C. 2、,6D. 6二、填空题：.曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .C记&为等比数列an的前n项和.若a1 a2 a6,则&=.3甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场 比赛结果相互独立，则甲队以4 ： 1获胜的I率是 .22C： x2 4 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于a b已知双曲线FA 总 FB F2B0 ,则C的离心率为A B两点.

6、三、解答题：(12分)ZXABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin Bsin C)2sin2 A sin Bsin C .(1)求 A;(2)若 J2a b 2c,求 sin C.(12分)如图，直四棱柱 ABCb ABCD的底面是菱形,AD的中点.(1)证明：MM平面CDE(2)求二面角 AMAN的正弦值.(12分)已知抛物线 C: y2=3x的焦点为F,斜率为3的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.2(1)若|AF+| BF=4 ,求l的方程;Ap 3pB,(12 分)已知函数 f(x) sin x ln(1 x) , f (x)为 f (x)的导数.证明：(1

7、) f (x)在区间(1,)存在唯一极大值点；2(2) f(x)有且仅有2个零点.(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一 轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 1分；若都治愈或都

8、未治愈则两种药均得 0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 a和B , 一轮试 验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi0,1,|,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0, p8 1, pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,“|,7),其中 a P(X 1),b P(X 0), c P(X 1) .假设 0.5,0.8 .(i)证明：pi 1pi (i 0,1,2,|,7)为等比数列；(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系x

9、Oy中，曲线C的参数方程为U22，1 t (t为参数)4tt2以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为cos 、3 sin(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明:1112,22一 一 a b c ；a b c333(a b) (b c) (c a) 24 .、选择题1. C 2. C3. B 4.B 5. D6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C12.二、填空题13. y=3x12115.16. 2三、解答题217.解：（

10、1）由已知得sin B由余弦定理得cos Ab2. 2 、 sin C2bc因为0A 180所以(1)知 B120.22sin A sinBsinC,故由正弦定理得 b,由题设及正弦定理得.2 sinA sin 120 C2sin C即一62由cosC21 .-sin 22sin C,可得 cos C 60-22由于0C 120所以sin60二故2sin Csin C6060sin C 60cos60 cos60sin 6018.解：（1）连结BC, ME 因为M的另J为BB, BC勺中点,r 1所以ME/ BC,且吊=一 BC.2 1又因为N为A1D的中点，所以N=-AD.2由题设知AB卜D

11、G可得A1D,故Mq ND因此四边形MNDE平行四边形，MN ED又MN 平面EDC,所以MN/平面GDE(2)由已知可得 DEL DA以曲坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,则A(2,0,0) , A(2, 0, 4), M (1,73,2) , N(1,0,2), AA(1,百,2), TNI(1,0, 2), MN (0, 73,0)m 71M(x,y,z)为平面AMA勺法向量，则Tm A A所以x .3y 2z 0可取 m(V3,1,0).4z 0.n MN(p,q,r)为平面AMN勺法向量，则n AN0,0.(0,0, 4),所以鸟0,可取n

12、(2,0, 1). p 2r 0.曰m n2.3指走 cos m,n-1mlI n | 2 .55所以二面角A MA1N的正弦值为10519.解：设直线l : yt, A X1,y1 , B X2,y2 . TOC o 1-5 h z 335(1)由题设得F-,0，故| AF | |BF|xx2一，由题设可得xx2一42220.3-x23x从而弛9t ,可得9x21)2，得t12(t 1)x所以l的方程为由aP4t2则“X212(t 1)93y 2x3PB可得所以y1y22 .从而代入C的方程得x1解：(1)设 g(x)1,时,2设为则当x所以g(x)在(1,yi3y23, x2y2f(x),

13、则 g(x)3x23x2y 2t 0 .故y2故 |AB|cosx1,y13.4 1331rv g(x)sin x1(1 x)2g(x)单调递减,而(1,)时，g(x)单调递增，在在1,存在唯一极大值点.(2) f (x)的定义域为(1,).(i )当 x ( 1,0时，由(1)知,g(0) 0, g(-) 20;当 x ,20,可得g(x)在 1-有唯一零点,时，g(x) 0.，-单调递减，故g(x)在1,存在唯一极大值点,尸(刈在(1,0)单调递增，而f(0) 0,所以当x (即 f(x)1,0)时,f(x) 0,故3在(1,0)单调递减，又f(0)=0,从而x 0是屋)在(1,0的唯一零

14、点.(ii )当X 0,-时，由(1)知，f(x)在(0,)单调递增，在，单调递减，而f(0)=0 TOC o 1-5 h z 22，f 0,所以存在 ，一，使得f( ) 0,且当X (0,)时，f(x) 0;当X ，时,222f(x) 0.故f(x)在(0,)单调递增，在 ，一单调递减. 2又 f(0)=0 , f 1 ln 1 0,所以当 x 0,-时，f(x) 0.从而，f (x)在 0,- 没有2222零点.(iii )当*-,时，f(x) 0,所以f(x)在，单调递减.而f0,f() 0,所以f(x)222在一，有唯一零点.2(iv)当x (,)时，ln(x 1) 1,所以f(x)0

15、,从而院)在(，)没有零点.综上，f (x)有且仅有2个零点.21 .解：X的所有可能取值为1,0,1. TOC o 1-5 h z P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列为X J I01(i )由(1)得 a 0.4, b 0.5, c 0.1.Pi 0.4 PiPi 1 ,即因此 Pi=0.4p 1+0.5 Pi+0.1 Pi 1,故 0.1 pi 1Pi iPi4 piR i又因为PiPoPl0,所以Pi iPi （i 0,1,2，W，7）为公比为4,首项为Pi的等比数歹U.（ii ）由（i ）可得P8P8 P7 P7 P6I Pi P0 P0

16、P8P7P7 P6 WPi P0841PiP4表示最终认为甲药更有效的概率,认为甲药更有效的概率为P4 2570.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方 TOC o 1-5 h z .3 一 .由于P8=1 ,故P1 8,所以4 144 11P4P4P3P3P2P2P1P1P0 P1 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 3257由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时,案合理.22 .解：（1 ）因为 1 1,且1 t21 t21 t24/竺 1,所以C的直角坐标方程为t2x2 亡 1(x1).4l的直角坐标方程为 2x J3y 11 0 .（2）由（1）可设C勺参数方程为x cosy 2sin为参数，冗 冗）I 2cosC的点到l的距离为1292、；3sin 11|74cos -113号时，4cos-11取得最小值7,故Ch的点到l距离的最小值为 防