材料力学-能量方法（PPT,共101页）

1、第十二章 能量法材料力学第十二章 能量方法1第十二章 能量法121 概述122 杆件变形能的计算123 变形能的普遍形式124 互等定理125 卡氏定理126 单位力法 (莫尔积分)128 能量法解超静定问题127 图乘法129 能量法中其它原理的简介小结第十二章 能量法2121 概述一、变形能（应变能）： 变形固体在外力作用下由变形而储存的能量。 1、弹性变形能具有可逆性。2、塑性变形能不具有可逆性 。 弹性变形能：变形固体在外力作用下由于产生弹性变形而储存的能量。 第十二章 能量法3二、变形能的计算：利用能量守恒原理三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。 能量守恒原理：变形

2、固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。 常见的能量法功能原理、单位力法（莫尔积分法）、 卡氏定理、图乘法。第十二章 能量法4122 杆件变形能的计算一、轴向拉压杆的变形能在线弹性范围内：FLLFL1F1dL1dF1第十二章 能量法5二、扭转轴的变形能 1T1d 1d T 1mmL在线弹性范围内：第十二章 能量法6三、弯曲梁的变形能M四、注意1、同种类型荷载的变形能不能叠加。2、变形能的大小与加载次序无关，只与最终值有关。在线弹性范围内：第十二章 能量法7证11） 共同作用下：F1LF2L2） 单独作用下：3） 单独作用下：证毕。F1LF2第十二章 能量法8证21

3、）若先加1F3）此过程总的变形能2）在加完 后再加F2证毕F1LF2第十二章 能量法9123 变形能的普遍形式一、对线性弹性体的一般受力情况：克拉贝依隆原理（ 广义力， 广义位移）F1F2F3Fi123i第十二章 能量法10二、对线性弹性体的组合变形杆：FFmmmTmT第十二章 能量法11例1：图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力 F的作用。求A点的垂直位移。EI，GIp已知解：用能量法（外力功等于应变能）、求内力FMTAPjBntFFs第十二章 能量法12、外力功等于变形能、变形能：第十二章 能量法13例2：用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。EI 已知在应用对称性，得：解：

4、、求内力、外力功等于变形能、变形能：F第十二章 能量法14LaBCAF例3：图示桁架结构，已知BC杆的长度为L，两杆的抗拉压刚度均为EA，在B点受铅垂力F。求B点的垂直位移。 解、求内力FFN1FN2xy、外力功等于变形能、变形能：第十二章 能量法15例4：已知刚架的 EI、 GIp，力F 铅垂。求C点的铅垂位移。 解、求内力、功等于变形能、变形能：FABCbx1ax2第十二章 能量法16124 互等定理一、前提条件：线弹性、小变形。二、基本原理：1、线弹性小变形物体在 F1作用下， F1点处对应的位移为1 。则外力功为：2、先加 F1再加 F2，且F2 点处对应的位移为2 ，F1点处增加的位

5、移为1 。此时外力功为：F11F1112F2第十二章 能量法17F11F2223、先加 F2 再加 F1 ，同上相似 F2点处在 F2作用下对应的位移为2 ，F1点处在 F1作用下对应的位移为1 ，F2点处由于 F1的作用增加的位移为 2 。此时外力功为：4、因为变形能的大小与加载次序无关，只于外力的最终值有关，从而可得第十二章 能量法18三、功的互等定理 ：既：第一组力在第二组引起的位移上作的功，等于第二组力在第一组引起的位移上作的功。四、位移互等定理（令F1=F2） ：既：F1 作用点沿 F1作用方向因 F2引起的位移，等于 F2作用点沿 F2作用方向因 F1 引起的位移。F1112F2F

6、11F222第十二章 能量法19 例10：图示等截面直梁，EI已知，求：B点的支座反力ABCFaL解：1、去掉 B支座，用支座反力代替。ABCFFBY2、第一组力为 F、FBY； 第二组力为 F=1。 3、在第一组力作用下 B处的位移为 wB1； 在第二组力作用下B 处的位移为 wB2，C处的位移为 wC2 。 4、利用功的互等定理：ABCF=1第十二章 能量法20125 卡氏(Castigliano)定理一、问题的提出利用功能原理ABFLwA=？L/2L/2CABFwC=？第十二章 能量法21二、卡氏定理（使用条件：线弹性、小变形结构）三、证明F1iF2F i1212iFi在Fi上完成的功为

7、：其余各力完成的功共为：变形能的增量为第十二章 能量法223、根据互等定理有：（1）（2）4、比较（1）、（2）两式得卡氏定理证毕。第十二章 能量法23四、注意的问题、结果为正时，说明i与F i的方向相同； 结果为负时，说明i与的F i方向相反。、V整体结构在外载作用下的线弹性变形能。、F i 视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为 F i的函数、i 为 F i 作用点的、沿 F i 方向的变形。、 i处要有相应的荷载，当无与i 对应的Fi时，可采用附加 力法进行计算。既先加一沿i方向的 F i （在所求位移处沿 所求位移的方向加上相对应的附加力） ，求偏导后，再令 其为零，结果即为实际荷载

8、作用的位移。第十二章 能量法24五、用卡氏定理计算杆件位移1、轴向拉压杆：2、扭转轴：3、弯曲梁、刚架：（ ，为广义力、广义位移。）4、组合变形的结构：第十二章 能量法25 例11 图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用卡氏定理求梁A端的挠度wA。 解：因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏定理后，令F=0 , 即第十二章 能量法26 梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为 利用卡氏定理，得（和假设的F 的指向一致）这种虚加F力的方法，也称为附加力法。()这是因为 为n个独立广义力的二次齐次式, 其中

9、也可以作为一个广义力。第十二章 能量法27例12：用卡氏定理求A截 面的挠度和转角（EI 已知）。 AEI、变形、求内力解：1、求挠度、将内力对F A求偏导F第十二章 能量法282、求转角 A、求内力A没有与A相对应的力（广义力），加之。“负号”说明 A与所加广义力MA反向。EIFLA22=q、将内力对M A求偏导后，令M A=0、求变形F第十二章 能量法29 例13 图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏定理求 A截面的铅垂位移DAy。 解：由于刚架上 A,C 截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后

10、，令FA=F。 (a)FABll / 2l / 2FCD(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2第十二章 能量法30即 AB 段（0 x l） M (x)=FA x , 各段的弯矩方程及其对 FA 的偏导数分别为 BC 段 （0y1 l / 2） M (y1)=FA l ,(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2第十二章 能量法31 CD 段 （0y2 l / 2） M (y2)=FA l F y2 , 令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得（）第十二章 能量法32例14 悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1 和 w2。试证明：w11FF2w

11、2 证明：设作用在1, 2两截面的外力分别为F1 和 F2 ，且 F1 =F , F2F，则梁的应变能为Ve=Ve(F1,F2)。根据复合函数求导法则，有第十二章 能量法33 因此，若结构上有几个外力的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。w11FF2w2第十二章 能量法34例15：结构如图，用卡氏定理求B 截面的垂直位移和 水平位移。（EI已知）。、求内力：解：令 B截面的水平荷载 F=F0、将内力对 F 求偏导求垂直位移； 将内力对 F0 求偏导求水平位移：、求变形（注意最后令F0=F）oABFFRB 截面的垂直位移B 截面的水平位移

12、F0第十二章 能量法35例16：用卡氏定理求B 截面两侧的相对转角。EI已知）。BLLqACBmB/LqL+ mB/Lxx2mB+qL2/2mBmB解：1、内力方程2、将内力对m B求偏导后，令其为零3、求变形（注意最后令m B=0 ）第十二章 能量法36例17：结构如图，用卡氏定理求开口 截面两侧的相对位移。 （EI已知）。解：1、内力方程2、将内力对F求偏导3、求变形（利用对称性）FFR第十二章 能量法37例18：图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力 F的作用。求A点的垂直位移（EI、GIp已知）。解：1、求内力2、将内力对F求偏导3、求变形FMTAPjABntFFs第十二章

13、能量法38例19：求C点的水平及垂直位移。（EA已知）FADBCLLLL2、内力对外力 F 求偏导（如图）解：方法一、水平位移1、求内力（如图所示）000-FFADBCLLLL000-13、求变形第十二章 能量法392、内力对外力F0求偏导（如图所示）解：垂直位移1、求内力（如图所示）3、求变形（最后令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-F-F0000-10第十二章 能量法402、内力对外力F、F0求偏导（如图所示）1、求内力（如图所示）3、求变形（并令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-10解：方法二、水平位移；垂直位移FADBCLLLLF

14、0000-100-F-F00第十二章 能量法41126 单位力法 (莫尔积分法)一、问题的提出：杆件在外力作用下，任意截面沿任意方向的位移如何确定？二、单位力法的原理欲求任意点A的位移w A q（x）w AA图aF第十二章 能量法42w AAF=1图dF第十二章 能量法43单位力法（莫尔积分）的基本计算公式。结论：普遍形式的单位力法原理（莫尔定理）第十二章 能量法44三、注意的问题1、此种方法存在两个力系： 一个为实际的力系；另一个为单位力系。2、单位力必须与所求位移相对应： 求线位移在所求点沿所求位移方向加单位集中力 求角位移在所求点沿所求位移方向加单位集中力偶4、结果为“+”说明所加单位力

15、方向与实际位移方向相同； “-”说明所加单位力方向与实际位移方向相反。四、公式的使用条件： 线弹性的小变形、各种力引起的位移各自独立。3、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。 莫尔积分必须遍及整个结构。第十二章 能量法45例5：用单位力法求等截面直梁C点的挠度和转角，（EI已知）、积分求变形解：、求载荷作用下的内力、虚加单位力，再求内力aaACBF=1xxwc第十二章 能量法46m=1、求转角，重建坐标系（如图）x1x2x1x2第十二章 能量法47例6：折杆A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移500300F=1

16、BACC20510解：、画单位载荷图、求内力Fxx1第十二章 能量法48、变形、求内力若用叠加法？第十二章 能量法49例7：用单位力法求C 点的水平位移。（EI 已知）、变形解：、画单位载荷图、求内力bx2ABCax1Fx2ABCx11第十二章 能量法50例8：用单位力法求刚架AD两点的相对水平位移。（EI已知）、变形解：、画单位载荷图、求内力FFADBCLLLx1x1x311ADBCx1x1x3第十二章 能量法51例9：用单位力法求桁架BD两节点的相对位移。（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=1、变形解：、画单位载荷图、求内力（如图所示）000-F1第十二章 能量法52127 图

17、乘法一、基本原理1、分析：（EI=常数）设： 为线性。 图是直线或由折线组成。令 。若 中有一个为线性的，则上述积分就可以得到简化如下。xxM（x）M（x）L第十二章 能量法532、结论： 图乘法的基本计算公式。M（x）xdxM（x）ALxxCxcM0c第十二章 能量法54二、计算步骤2、计算 M（x）的面积 A 。1、画出 图。4、利用公式求出位移。三、注意的问题1、所加的单位力与莫尔积分的方法相同。2、M（x）图的正、负影响“A”的符号。（两者所取符号相同）4、结果若为“+”，说明所加的单位力方向与实际位移方向相同。 反之为“-”， 说明所加的单位力方向与实际位移方向相反。5、 图中必须至

18、少有一个是直线组成的图形。3、计算 M(x) 图形心对应 位置的数值 的大小。3、 若由几段直线组成的折线而成，需分段计算， 叠加求和。第十二章 能量法55L/2qL/2CAB 例 图示结构中， EI 已知。求 wc。CABF0=1qL2/8xM（x）A1A2（3/8）L/2解：1、画M（x）图3、利用图乘法求变形2、加单位力 并画xL/4第十二章 能量法56 例：图示变截面直梁，求：B点的挠度。Faa2EIEIABC解：1、画M(x)图3、利用图乘法求变形ABCF0=1M（x）2FaFaC1C3C22、加单位力 并画2aa第十二章 能量法57 例：刚架受力如图示，已知：横杆弯曲刚度为2EI，

19、竖杆弯曲刚度为EI、拉伸刚度为EA、载荷集度q、长度l。求：B点的水平位移载荷系统1单位力系统第十二章 能量法58载荷系统内力图第十二章 能量法59单位力系统内力图1第十二章 能量法60图形互乘1第十二章 能量法61结果与比较轴力与弯矩引起的位移比较对于矩形截面：第十二章 能量法62 平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，且EI、GIP、l、F等均为已知。 求：1. A端的铅垂位移； 2. A端绕BC 轴线的转角。求A端铅垂位移求A端绕BC 轴线的转角解：单位力系统第十二章 能量法63载荷系统内力图第十二章 能量法64单位力偶系统内力图第十二章 能量法65图形互乘求A端的铅垂位移第十

20、二章 能量法66图形互乘求A端绕BC 轴线的转角第十二章 能量法67128 能量法解超静定问题步骤1、去掉多余约束，建立原超静定结构的静定基；2、在多余约束处根据变形协调条件，确定变形几何方程；3、利用能量法把变形几何方程转化为力的补充方程（物理条件），确定多余的约束反力；4、根据静力平衡方程，确定所有的未知力。第十二章 能量法68例20：等截面梁如图，求C支座的反力。、求内力解：1、取静定基（如图）、将内力对F CY求偏导2、变形几何方程3、求支反力FxFFCY第十二章 能量法69 、变形第十二章 能量法70a/2a/2a=5mABCDq=10kN/mm=50kNm例21：如图所示结构，求B

21、支座的反力。、求内力解：1、取静定基（如图）、将内力对 F BY求偏导2、变形几何方程3、求支反力ABCDFBYxx第十二章 能量法71 、变形第十二章 能量法72对称及反对称性质的利用1、对称结构结构的几何形状、尺寸、材料和约束， 对称于某一轴线。第十二章 能量法732、对称荷载荷载的位置、大小和方向对称于结构的对称轴， 产生对称变形。 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。第十二章 能量法74 根据约束性质分析约束力 A、B二处均为铰链，各有两个约束力。 确定超静定次数431 对称性分析 A、B二处的约束力大小相等、方向相反

22、。 建立变形协调方程 A、B二处的水平相对位移等于零 应用卡氏定理第十二章 能量法75 根据约束性质分析约束力 确定超静定次数：3 对称性分析 建立变形协调方程 应用卡氏定理内约束，通过截开使其变为静定的。对称面上反对称内力分量等于零第十二章 能量法76 建立变形协调方程另一种解法 根据约束性质分析约束力 确定超静定次数：3 对称性分析 解除内约束，通过截开使其变为静定的。对称面上反对称内力分量等于零 应用卡氏定理第十二章 能量法77 怎样判断什么样的载荷是反对称的？将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为对称的，则原来的载荷便是反对称的。 其约束力、内力分量、变形和位移等必须是反对称的； 对称的

23、内力分量、约束力必为零； 某些反对称约束力和反对称的内力分量也可能为零。3、反对称荷载荷载的位置、大小对称，方向是反对称的。第十二章 能量法78第十二章 能量法79ll2l2lll2l2l第十二章 能量法80 对称结构的一般变形一般变形对称变形反对称变形第十二章 能量法81129 能量法中其它原理的简介一、变形能的一般表达式及余能：ddFO1F11、变形能（应变能）O11第十二章 能量法822、余能FO1F1O11dFd第十二章 能量法83例：某结构承受荷载P，其相应的位移为=CF2，计算此结构的应变能和余能。F=CF2解：由定义得第十二章 能量法84例：原为水平位置的杆系如图，试计算在荷载

24、F1作用下的应变能和余能。两杆长度均为L，横截面面积均为A，材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性材料。LLF1A解：1、确定外力与变形的关系FFNFNXYOF第十二章 能量法852、变形能、余能的计算第十二章 能量法86二、卡氏第一定理：假设第 i荷载 Fi方向上的位移有一微小增量di，则结构中应变能的变化为应变能对位移i的变化率因只有 Fi 方向上的位移有一微小增量，其余各荷载方向上相应的位移保持不变，所以外力功的变化量为卡氏第一定理F1nF2F nFi12i第十二章 能量法87余能定理对线性弹性结构，因为力与变形成正比，结构的应变能在数值上等于余能，所以上式可表达为卡氏第二定理第十二章 能

25、量法88例：由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，两杆的材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性材料。试按卡氏第一定理，求节点B的水平和垂直位移。LFABC450ABC1B1ABC2B2解：1、设节点B只产生水平位移时，各杆的变形 2、设节点B只产生垂直位移时，各杆的变形第十二章 能量法89 3、设节点B在水平和垂直位移同时发生时，各杆的变形4、桁架的应变能为5、应用卡氏第一定理求变形第十二章 能量法90小结（一）、变形能：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量。 弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存 的能量。 （二）、变形能的计算：利用能量守恒原理

26、 能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储 存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。 “ ”。1、弹性变形能具有可逆性。 2、塑性变形能不具有可逆性 。（三）、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。 常见的能量法功能原理、单位力（莫尔积分）、 卡氏定理、图乘法、互等定理。一、基本概念第十二章 能量法91（一）、轴向拉压杆的变形能二、各杆在线弹性范围工作时的变形能的计算（二）、扭转轴的变形能（三）、弯曲梁的变形能注意问题：1、同种类型荷载的变形能不能叠加。2、变形能的大小与加载次序无关，只与最终值有关。（四）、组合变形杆：重点第十二章 能量法92三、单位力法（莫尔积分）的基本计算公式重点第十二章 能量法93注意的问题1、此种方法存在两个力系： 一个为实际的力系；另一个为单位力系。2、单位力必须与所求位移相对应： 若求线位移则单位力必须作用在所求点沿所求位移方 向加单位的集中力； 若求角位移则单位力必须作用在所求点沿所求位移方 向加单位的集中力偶。4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同； “-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。3、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。 莫尔积分必须遍及整个结构。第十二章 能量法941、功的互等定理 ：既：第一