材料力学-应力与应变状态分析（PPT,77页）

1、第七章 应力与应变状态分析第八章 应力与应变状态分析材料力学1第八章 应力与应变状态分析81 应力状态概述82 平面应力状态分析解析法83 平面应力状态分析图解法84 梁的主应力及其主应力迹线85 三向应力状态研究86 平面应力状态下的应变分析87 复杂应力状态下的应力 - 应变关系88 复杂应力状态下的变形比能小结第八章 应力与应变状态分析281 应力状态概述一、基本概念：铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？FF铸铁拉伸F铸铁压缩铸铁第八章 应力与应变状态分析3组合变形杆将怎样破坏？F1、点的应力状态：通过构件内任意一点各个方向截面的应力的总称max ？ max ？2、点的应变状态

2、：构件内通过一点各个方位的应变状态的总称。3、研究点的应力状态目的：找出一点处沿不同方向应力的变化 规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当的强度条件。4、研究方法：取单元体。第八章 应力与应变状态分析4通过轴向拉伸杆件内 点不同（方向）截面上的应力情况（集合）。）第八章 应力与应变状态分析5FF单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体，常用的是正六面体。单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的 应力大小、性质完全相同。A5、主平面：切应力等于零的面。6、主应力：主平面上的应力（正应力）。7、主单元体：由主平面组成的单元体。主应力排

3、列规定：按代数值由大到小。第八章 应力与应变状态分析6301050单位：MPa1=50 MPa ；2=10 MPa ；3=-30 MPa 。30101=10 MPa ；2=0 MPa ；3=-30 MPa 。8、画原始单元体：例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。aaFF第八章 应力与应变状态分析7xyzbCbbxxyzbCFL第八章 应力与应变状态分析8yxzMzMx4321143ZXY9b xssxxyzbc0二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。

4、3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。 第八章 应力与应变状态分析10平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在切应力无正应力。第八章 应力与应变状态分析1182 平面应力状态分析解析法一、任意斜面上的应力计算s xt xys y平面应力状态：一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这对平面。第八章 应力与应变状态分析12s xt xys y图1nt设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：第八章 应力与应变状态分析13考虑切应力互等和三角变换，得：

5、任意斜面应力的计算公式第八章 应力与应变状态分析14符号规定：、“”正负号同“”； 、 “ta”正负号同“t” ； 、 “a”为斜面的外法线与轴正向的夹角， 由轴逆时针转到斜面为正，顺时针为负。二、的极值及所在平面（主应力，主平面）注意：用公式计算时代入相应的正负号规律：1、 的极值及所在平面（主应力，主平面）第八章 应力与应变状态分析15主平面的位置主应力的大小00最大正应力（max）与X轴的夹角规定用“0 ” 表示。简易判断规律：由的方向判断。第八章 应力与应变状态分析162、 的极值及所在平面最大切应力 所在的位置xy面内的最大切应力整个单元体内的最大切应力最大切应力与X轴的夹角规定为“

6、1”第八章 应力与应变状态分析17t xyt yx例：如图所示单元体，求主应力及主平面。解：1、主应力2、主平面134503020单位：MPa1 、2、3 ？第八章 应力与应变状态分析18例：如图所示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、 斜面的应力第八章 应力与应变状态分析192、主应力、主平面1=80.7（MPa）；2=0；3=-60.7（MPa）。4050601301；2；3？90405060（单位：MPa）第八章 应力与应变状态分析2083 平面应力状态分析图解法对上述方程消参（2），得：应力圆方程（莫尔圆）一、基本原理：圆心：半径：第八章 应

7、力与应变状态分析21二、应力圆的绘制：1、取直角坐标系。2、取比例尺（严格按比例做图）。3、找点4、连 交轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆应力圆。stoD/B1B2D第八章 应力与应变状态分析22三、证明：即圆心：即半径：stoDD/B1B2A1A2第八章 应力与应变状态分析23四、计算：1、 以D为基点，转2的圆心角 至E点，转向同单元体上的 方向。stoDD/B1B2A1A2E2202、主应力3、主平面 以D为基点，转到 A1点，其圆心角为 20 ，逆时针时0为“”；顺时针时 0 为“”。（0主平面的位置)。第八章 应力与应变状态分析24stoDD/B1B2A1A24、切应力的极值及所

8、在位置G1G221以D为基点，转到G1点，其圆心角为21 。由应力圆可证明 最大正应力与最大切应力 所在平面相差450第八章 应力与应变状态分析25stoDD/B1B2A1A220E2F证明：（ 2角的关系）证毕第八章 应力与应变状态分析261、应力圆上的点与单元体上的面相对应，点的坐标即为单元体 面上的应力值。2、应力圆上两点对应的圆心角为“2”，单元体上两面的 夹角“”，且两者转向相同。五、注意第八章 应力与应变状态分析27408060例：求=300斜面的应力及主应力、主平面（单位：MPa）。20600E（300；300）FA1A2ODD/C2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应

9、的应力圆第八章 应力与应变状态分析28例：求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：M P a)CAB2 02、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆60 0 1 230第八章 应力与应变状态分析29解析法：（分析思路）xyo60 第八章 应力与应变状态分析3084 梁的主应力及其主应力迹线Fqx12345yo x y3 x x y2 x1taosataosataosa123 1 3 1 3第八章 应力与应变状态分析31 x5 x x y4taosa4taosa5 1 3 1 3主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包洛线曲线上每一点的切线都指示

10、着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 1 3实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。第八章 应力与应变状态分析32xy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd 1 3 1 3第八章 应力与应变状态分析3385 三向应力状态的最大应力stoXY平面内任一斜面的应力与12圆周上的点对应。YZ平面内任一斜面的应力与13圆周上的点对应。ZX平面内任一斜面的应力与23圆周上的点对应。第八章 应力与应变状态分析34：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b：整个单元体内的最大切应力为：231sst-=max

11、tmax结论第八章 应力与应变状态分析35例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）解：、由单元体知：zy 面为 主面之一 、建立应力坐标系如图，画yz应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBAs at ao (M Pa)（M Pa ）10DD/C 1 3 2tmax第八章 应力与应变状态分析36解析法1、由单元体知：x 面为主面之一。2、求yz面内的最大、最小正应力。xyz305040CBA单位：（M P a）3、主应力4、最大切应力231sst-=max第八章 应力与应变状态分析3720030050otmax第八章 应力与应变状态分析38O2005030050第八章 应力与应

12、变状态分析39O30050第八章 应力与应变状态分析4086 平面应力状态下的应变分析一、应变计算公式规定：线段伸长正应变为正； 直角增大切应变为正。条件：弹性、小变形。已知：x、y、xy。 求 ：、。（设OB=dS）分析：1、 在x作用下BCOADB11A1xdxxyodxdy第八章 应力与应变状态分析41BCOADB22C2ydy2、 在y作用下3、在xy作用下B3C3D3xyBCOA第八章 应力与应变状态分析(-)424、叠加XYBB0CDD01 = 1-第八章 应力与应变状态分析43第八章 应力与应变状态分析44二、主应变数值及其方位第八章 应力与应变状态分析45三、应变分析图解法应变

13、圆具体作法同应力圆四、应变分析的应用：一点处贴一应变花第八章 应力与应变状态分析4687 各向同性材料的应力 - 应变关系 （广义胡克定律）一、单向应力状态： 二、二向应力状态：1 2 1 2 =+第八章 应力与应变状态分析47三、三向应力状态：1 2 3 1 2 =+3 +（广义胡克定律）第八章 应力与应变状态分析48四、注意：1 、 与 相对应，方向一致 （代数值大小排列）。 2、“”连同符号代入，“”得“”值时为拉应变； “”得“”值时为压应变。3、“”、“”同时存在时，“”对“”无影响，“”对“” 无影响。“123”可由“xyz”替换。4、使用条件：弹性、小变形、各向同性材料。第八章

14、应力与应变状态分析49主应力与主应变方向一致?xyz x x y z y-=900s xt xys y第八章 应力与应变状态分析50五、体积应变a3 1 2 3a1a2体积应变：体积应变与应力分量间的关系:体积胡克定律第八章 应力与应变状态分析5188 复杂应力状态下的应变能一、概念：1、应变能：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量。弹性应变能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存 的能量。2、应变能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的 能量，在数值上等于外力所作的外力功。 V=W3、应变能密度：单位体积的应变能。v=V/V第八章 应力与应变状态分

15、析52二、弹性应变能、应变能密度的计算公式：1、单向拉压应力状态：2、扭转纯剪切应力状态：3、三向应力状态： 2 3 1第八章 应力与应变状态分析53 2 3 1图 a av av av图 b 2 3 1- av- av- av图 c图 b 体积改变，形状不变；图 c 形状改变，体积不变。第八章 应力与应变状态分析54 2 3 1- av- av- av图 c称为形状改变比能、畸形能或歪形能 av av av图 b第八章 应力与应变状态分析55例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 3= -16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3，

16、 试求该点处的主应力及另一主应变。yx，所以该点处的平面应力状态第八章 应力与应变状态分析56第八章 应力与应变状态分析57例：已知二向应力状态10，2 0，3=0，1，2。问：3= -（1+2）？解：由广义胡克定律知F例：如图所示，立方体边长为10cm，F=6kN，E=70GPa， =0.33，假设钢槽不发生变形。求：立方体的主应力。解：1、分析立方体的应力状况y x z第八章 应力与应变状态分析58y x z2、立方体的主应力3、讨论：立方体各边的改变量第八章 应力与应变状态分析59例：如图所示拉杆，横截面为圆形D=2cm，E=2.1*106MPa， =0.28，600=4.1*10-4。

17、求：F。yA解：1、取单元体2、应力与应变的关系3、外力的确定F=3980（kN）600XAF第八章 应力与应变状态分析60例：如图所示空心圆轴，外径D=120mm，内径d=80mm， E=2.0*105MPa，=0.28，450=2.0*10-4。求：m。解：1、取单元体2、应力与应变的关系3、外力的确定X450450450mm=8504（Nm）第八章 应力与应变状态分析61例：图示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径 D=500 mm，壁厚 =10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25。试求:

18、1导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力.lmstsp第八章 应力与应变状态分析62p D 2解：1、容器的轴向应力和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图所示（1）、轴向应力mm)Dp(ms第八章 应力与应变状态分析63pDl用纵截面将容器截开，受力如图所示（2）、环向应力t (2 l )ttpL第八章 应力与应变状态分析64 2 3 12、求内压（以应力应变关系求之）pmsts第八章 应力与应变状态分析65 x y13用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：用广义虎克定律证明三个弹性常数间的关系。（书上例题的方

19、法）、纯剪单元体、纯剪单元体主应力广义虎克定律表示为：第八章 应力与应变状态分析66小结一、基本概念：1、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。2、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。3、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当的强度条件。4、研究方法：取单元体。5、主平面：切应力等于零的面。6、主应力：主平面上的应力（正应力）。7、主单元体：由主平面组成的单元体。第八章 应力与应变状态分析67二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。 （一）、解析法三、平面应力状态的计算：1、任意斜面上的应力计算重点第八章 应力与应变状态分析682、主应力，主平面3、 的极值及所在平面第八章 应力与应变状态分析691、基本原理：圆心：半径：（二）、图解法：2、应力圆的绘制：（1）、取直