误差理论的基本知识和方法

1、误差理论的基本知识和方法 61观测误差1、什么是误差误差（Error)（真误差）： 观测值L与真值X的差值。 = L X真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。 2、观测误差产生的原因：人-观测者感觉器官的鉴别力的局限仪器-测量仪器与测量方法给观测结果带来误差客观环境-客观环境给观测结果带来的影响观测条件： 人、仪器、客观环境总称观测条件，它们是引起观测误差的主要因素。多余观测(redundant observation )：观测的个数多于未知量的个数3、误差的分类粗差(Appreciable Arror) ： 由测量人员粗心大意或仪器故障所造成的差错，称为粗差。系统误差(Regular

2、Error) ： 在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。偶然误差(Irregular Error) ： 在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。62偶然误差的特性 在相同的观测条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于其内角和的理论值（真值）。设三角形内角和的真值为X，观测值为Li，则其真误差（或简称误差）为 i =Li -X（i一1，2，n） 对于

3、每个三角形来说，i是每个三角形内角和的真误差，Li是每个三角形三个内均观测值之和，X为180。现将817个真误差按每0.5为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数v，及相对个数v817。 i = Li - X ( i = 1,2,n) 现将817个真误差按每0.5为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数v，及相对个数v817。 i = Li - X ( i = 1,2,n) 偶然误差的特性有界性：聚中性：对称性：抵偿性： 实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对多个量进行观测，这组观测误差必

4、然具有上述四个特性。而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。 偶然误差的概率分布偶然误差分布曲线2:方差:标准差 Standard Error横坐标表示误差的大小与正负，纵坐标代表误差出现于各区间的频率除以区间间隔 当观测次数愈来愈多，误差出现在各个区间的相对个数的变动幅度就愈来愈小。当n足够大时，误差在各个区间出现的相对个数就趋于稳定。当观测次数足够多时，如果把误差的区间间隔无限缩小，则图中各长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑曲线，称为误差分布曲线。其方程（称概率密度）为 式中参数 是观测误差的标准差（方根差或均方根差） 对偶然误差分布曲线

5、形状的影响f()O0.6830.683 愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。 1f ()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f（）相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。 2，愈小，f（）愈大。当=0时，f（）有最大值：，反之，愈大，f（）愈小。当时，f（）0。所以，横轴是曲线的渐近线。由于f（）随着的增大而较快地减小，所以当到达某值，而f（）已较小，实际上可以看作零时，这样的可作为误差的限值。这就是偶然误差的第一和第二特性。63评定精度的指标 在一定的观测条件下进行一组观测，其误差分布的集中或离散程度即精度。如果该组误差值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，

6、则表示该组观测质量好些，这时标准差的值也较小；反之，即误差分布比较分散，则表示该组观测质量差些，这时标准差的值也就较大。因此，一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。 所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准差的值。1、中误差求值要求观测个数n，但这实际是不可能的。 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用中误差m，其公式为：式中方括号表示总和，i（i=l，2n）为一组同精度观测的真误差。标准差跟中误差m的差别在观测个数n上： 标准差表征了一组同精度观测在n时误差分布的扩散特性，即理论上的观测精度指标； 中误差则是一组同精度观测在n为有限个数时求得的

7、观测精度指标。所以中误差实际上是标准差的近似值（估值）；随着n的增大，m将趋近于。 在相同的观测条件下进行的一组观测，得出的每一个观测值都称为同精度观测值。由于它们对应着一个误差分布，即对应着一个标准差，而标准差的估值即为中误差。因此，同精度观测值具有相同的中误差。但是，同精度观测值的真误差却彼此并不相等，有的差别还比较大，这是由于真误差具有偶然误差性质的缘故。中误差可以突出地反映误差集中和离散的程度。在计算m值时注意取23位有效数字，并在数值前冠以“士”号，数值后写上“单位”。 例 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，试求这两组观测值的中误差。 2、平均误差和或然误差在测

8、量工作中，对于评定一组同精度观测值的精度来说，为了计算上的方便或别的原因，在某些精度评定时也采用下述精度指标：称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。 在某些国家，也有将一组误差按其绝对值的大小顺序排列，取居中的一个误差值作为精度指标，并称为或然误差，以表示，在误差理论中可以证明，对于同一组观测误差来说，当n时，求得的中误差m、平均误差和或然误差之间都有一定的数量关系。即根据理论知道，大于中误差的真误差，其出现的可能性约为31.7%。大于两倍中误差的真误差，其出现的可能性约为，大于三倍中误差的真误差，其出现的可能性只占3左右。因此测量中常取两倍中误差作为误差的限值，也就是在测量中规定的容许误差（

9、或称限差）。即容=2m在有的测量规范中也有取三倍中误差作为容许误差的。 3、容许误差4、相对误差有时利用中误差还不能反映测量的精度。例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长20m，它们的中误差都是10mm，那么，能不能说两者测量精度相同呢？不能！而是前者优于后者。为此，利用中误差与观测值的比值，即miLi来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1N。上例为即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能超过12000或1

10、15000，它就是相对容许误差。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。 6-4误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。这时未知点B的高程HB是各独立观测值的函数。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、倍数函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为x和z则 若对x 共观测了n次，则将上式平方，得求和，并

11、除以n，得即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 例 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离SAB，其中误差msab=土，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500*Sab 得 msAB500*mSab500*（士） =土100mm 最后答案为SAB士 二、和或差的函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为x、y和z则 若对x、y 均观测了n次，则将上式平方，得 由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号

12、互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即求和，并除以n，得 满足上式的误差x、y称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于 式 残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为 式中mxi是观测值xi的中误差。n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。当诸观测值xi为同

13、精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。 例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=LLL（式中共有n个L）。而L的中误差为m。量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。例如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误差为 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代

14、数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。例 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2n）之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。 在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点

15、间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。 或例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为 在水准测量作业时， 对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地区，则用 式计算高差的中误差。 在一个观测量中，常常同时存在几个无函数关系的误差，如在水准测量中进行后视或前视读数时，有水准管气泡不精确居中所引起的视线不严格水平而产生的误差，有估读毫米值的估读误差等。这些误差在观测成果中是相加的关系。如只考虑读尺误差的影响，由于则一

16、个测站高差h=a-b,则其中误差为三、线性函救设有线性函数：则有例 设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差 四、一般函数式中xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求z的中误差。 当xi具有真误差时，函数Z相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代入所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为： 例 设有某函数z=Ssin式中，其中误差ms=士005m； =1194500，其中误差m=20.6；求z的中误差m

17、z。解：因为z=Ssin，所以z是S及a的一般函数。求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式： 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： 例如，设有函数z=xy，而y=3x，此时， 。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z= 4x 而后求其中误差，即mz= 4mx6-5算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1、L

18、2Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。 设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为i= Li-X (i=1,2n)将上式相加得或故设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即以X表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，X趋近于零，即也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。现在来推导算术平均值的中误差公式。因为式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为故 即算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。 66同精度观测值的中误差 同精度观测值中误

19、差的计算公式为而 这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即 为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。用改正数计算最或然值中误差的公式为 67广义算术平均值及权 一、广义算术平均值如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组：第二组： 算术平均值分别为其中误差分别为：全部同精度观测值的最

20、或然值为：在值的大小体现了中比重的大小，称为的权。令若有不同精度观测值其权分别为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值。当各观测值精度相同时二 权1、定权的基本公式：称为中误差，为单位权观测值，当观测值称为单位权，单位权中误差。习惯上取一次观测、一测回、一千米线路、一米长的测量误差为单位权中误差。2、权的特性1 反映了观测值的相互精度关系。 3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 。值的 大小，对X值毫无影响。24 若是同类量的观测值，此时，权无单位。若是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。例：已知的中误差分别为：设若设1 水准路线观测高差的权例：常用定权公式当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。