高考全国卷文科数学试题(含解析)

1、绝密启用前如15年高考全国2卷文科数学试题（含解析）注意事项：.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明.设Sn是等差数列an的前n项和，若ai + a3+a5 = 3，则S5=（）A 5 B . 7 C.9 D . 11. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积 TOC o 1-5 h z 的比值为（）.已知三点A（1,0）, B（0,J3）, C（2,J3）,则4 ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着九章算术中的“更相减损术”，

2、执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18,则输出的2为（）评卷人得分、填空题（题型注释）评卷人得分1,已知集合 A = 1xTx2,B=x|0 x f（2x1）成乂的x的取值氾围是（）1 x第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明.已知函数f（x）=ax - 2x的图像过点（-1,4 ）,则a=x y -5 014.若x,y满足约束条件2x y1 0 ,则z=2x+y的最大值为x-2y 10）的离心率为匚，点（2,石）在C上.a b2.（本小题满分 12分） ABC中D是BC上的点，AD平分/ BAC,BD=2DC.（I ）求C的方程;sin B(1)求sin C（n）直线l不经

3、过原点O,且不平行于坐标轴，1与C有两个交点 A,B,线段AB中点为M,证明：直线 OM勺斜率与直线l的斜率乘积为定值.(n)若 ZBAC =60，,求NB.（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了40个f x = In x a 1- x21 .(本小题满分12分)已知 用户，根据用户对其产品的满意度的评分 满意度评分的频率分布表.，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户（I）讨论f（x）的单调性;A地区用户满意度评分的频率分布直方图（n）当f（ x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.B地区用户满意度评分的频率分布表22

4、.（本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲满意度评分分组如图O是等腰三角形 ABC内一点，圆O与 ABC的底边BC交于M,N两点，与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC分别相切于E,F两点.频数1410（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）2.已知曲线y=x+lnx在点a,1）处的切线与曲线y = ax （a 2）x 1相切，则a=（1）证明 efUbc ；（n ）若AG等于圆。半径，且AE = MN = 2 J3 ,求四边形EBCF的面积.（I ）在答题卡上作出 B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值，给

5、出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级:23.（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程满意度评分低于70分 70分到89分 不低于90分 x = t cos：. 在直角坐标系xOy中，曲线C1M, （t为参数，且t= 0 ）,其中0Wa,在以。为极点，xy 二tsin：,满意度等级不满意满意非常满意轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: P = 2sin8,C3: P = 2j3cosH.(I)求C2与C3交点的直角坐标；(n)若Ci与C2相交于点A, Ci与C3相交于点B,求AB最大值.24.(本小题满分10分)选

6、修4-5:不等式证明选讲设a,b,c,d均为正数，且a+b=c + d .证明：(I)若ab cd ,则囱+期 & +显；(n)指十而下而十而是a-bc - d的充要条件.参考答案【解析】因为 A=x1x2, B = x|0 x3,所以 AUB=x|1x3.故选 A考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算D【解析】由题意可得2+ai = (1十i X3+i )=2+4占a=4 ,故选d.考点：本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等的概念.D【解析】由柱形图可知 2006年以来，我国二氧化碳排放量基本成递减趋势，所以二氧化碳排放量与年份负相关，故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱

7、形图的理解C【解析】试题分析：由题意可得a 2=1+1=2 , ab = 12 = 3,所以2aba 22 a a 4b 二.%选匕二考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.A【解析】一 ，5 a1a5试题解析：由a1+ a3 + a5= 3a3= 3 =a3= 1,所有 S5= 5a3= 5.故选 A.2考点：本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用.D试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的 1,剩余部分体积6是正方体体积的 ：，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1 ,故选D.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算B【解析】试题分析： ABC外接圆圆

8、心在直线 BC垂直平分线上即直线 x = 1上，设圆心D(1b),由 DA=DB得|b = Jl+(b73 j = b = 2 ，所以圆心到原点的距离 d =卅+22=叵.故选B. 3 3考点：本题主要考查圆的方程的求法，及点到直线距离公式.B【解析】试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.考点：本题主要考查程序框图及更相减损术.C【解析】2=包=8=a1a3a5=a4 =4(a41)= a4=2 制、13 试题分析：由题意可得，所以q1 位a2 二 a1q = 一，选 C.2考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算C【解析】1试题分析：设千的半径为R,则4AOB面积为

9、一R2,三棱锥O-ABC体积最大时，C到平面2AOB距离最大且为 R,此时V =1R3=36n R = 6 ,所以球。的表面积S = 4tR2=144 7t.6故选C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. B【解析】试题分析：由题意可得f=2也f |=J5+i= f 1lf|i,由此可排除C,D;2424当 0 x f （|2x-1 六 | x a 2x -1 仁 x （2x-1）- x1 .故选A.考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法 -2【解析】3试题分析：由 f（x）=ax 一为可得 f（7）=-a+2=4= 一2 .考点：本题主要考查利用函数解析式求值

10、.8【解析】x y - 5 0试题分析：不等式组,2x-y-120表示的可行域是以 C/M2,3.3,2 ）为顶点的三角形区 x-2y 1, 0域，z=2x + y的最大值必在顶点处取得，经验算，*=3,丫=2时2=8.考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力2-y2 =14【解析】 TOC o 1-5 h z x2C试题分析：根据双曲线渐近线万程为y = x ,可设双曲线的方程为 y2 = m，把 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 4 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22 HYPERLINK

11、 l bookmark67 o Current Document （4,73 X弋入 -y2 =m得m = 1.所以双曲线的方程为 土 y2 =1. 44考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力. 8【解析】试题分析：由y = 1+1可得曲线y = x + lnx在点（11）处的切线斜率为 2,故切线方程为 x2y = 2x-1/y=ax （a 2）x 1联立得ax2+ax+2 = 0，显然a#0 ,所以由2= a - 8a = 0 = a = 8 .考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.（D 1； （n） 3d.2【解析】试题分析：（I）利用正弦定理转化得：sinB =-

12、DC = - （n）由诱导公式可得sin C BD 2sin/C =sin （BAC+/B ）=cos/B+1sin/B.由（i）知 2sin/B = sin/C , 22所以 tan . B =避，.B =30.3一一 AD试题解析：（I ）由正弦定理得BAC,BD=2DC 所以sin . B DC 1BD AD,sin . BAD sin . CDC一DC一 ,因为A叶分/sin. CADsin Bsin C BD 2（n）因为. C =180；- BAC B ,. BAC =60,所以 sin . C =sin . BAC . B =,32r 1. rcosZB -sin ZB.2由（I

13、）知 2n / B snC,所以 tan . B =，. B = 30. 3 TOC o 1-5 h z 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用，意在考查考生的三角变换能力及运算能力.（I）见试题解析（n）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大【解析】试题分析：（I ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于 A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得P（CA）的估计值为0.6, P（CB）的估计值 为0.25.,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.试题解析：（I）通

14、过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.（n） A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记Ca表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；Cb表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P（Ca）的估计值为901 + 0.02 + 0.03尸10 = 0.6,p（Cb）的估计值为（0.005+0.02r10=0.25., TOC o 1-5 h z 所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计一，一，一

15、9 ，、 7（I）见试题解析（n）9或779【解析】试题分析：（I）分别在 AB,CD上取H,G,使AH =DG=10；长方体被平面 3 分成两个97高为10的直棱柱，可求得其体积比值为 9或7 79试题解析：解：（I）交线围成的正方形 EHGF如图：（n）作 EM _L AB,垂足为 M,则 AM =AE =4 , EB1 =12 , EM = AA1 =8,因为 EHGF是正方形，所以 EH = EF = BC =10，于是 MH = EEH 2 - EM 2 = 6, AH = 10,HB = 6.因为长方体被平面s分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为9 （I也正确）. TOC o

16、 1-5 h z 79考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 2220. (I)试题分析:xT+yT=1（口）见试题解析8442/22. = + w = 1,求得a =8,b =4,由此可得C的方程.2 a2b2（II ）把直线方程与椭圆方程联立得（2k2+1 ）x2+4kbx + 2b2-8 = 0.,所以XMx1 x2-2kb2k2 12k2 1,kOMXM2k试题解析:解：（I）由题意有=1,解得a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为22土上-18242(n)设直线l : y= kx+b

17、(k 0ab。0), A(Xi,yi B(X2,y2 ),M (Xm ,yM 1把 y = kx + b TOC o 1-5 h z 22X y222代入方十 彳=1 得 2k +1 )x +4kbx +2b 8 = 0.8242故xm =x1上里=gkb-,yM =4乂 +b=b,于 是直线 OM的斜率22k2 12k2 1y 11l的斜率乘积为定值.kOM =2=一，即kOM k=-,所以直线OM勺斜率与直线Xm2k2考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力 21.（ D a0, f（X）在0i单调递增，在工,aa单调递减；（n）0,1 .【解析】试题分析：（I）由f

18、（X）= a,可分a0,a0两种情况来讨论；（II ）由（I）知当 Xa0时f（X）最大值为fIn a+a -1.因此afil）2a-2仁 In a + a-1 0.令g（a）=|na + a-1,则g（a）在9）是增函数，当 a0a0因此a的取值范围是（0,1）.试题解析：f（X 加定义域为（0,）, f（X）= 1-a,若 a0,则 f（X）0, f（X）在（产 X是单调递增；若a 0,则当xw 01i时f 0，当xw ,1* i时f（x）0时f（x）在x = 1取得最大 a值 ， 最 大 值 为 f1- = -n 1 +a-ll-1 = al -I iBa 此 1 -aa .a .ff1

19、）2 -a2+ l . a药.与 g（a-= lna0a-1,则 g（a）在（0，代）是增函数,ag（1）=0，于是，当0a1时，g0,因此a的取值范围是0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想22.（ I）见试题解析；（n）16.33【解析】试题分析：（I）要证明EF BC ,可证明AD _L BC, AD _L EF ; （ n ）先求出有关线段的长度，然后把四边形 EBCF的面积转化为 ABC4AEF面积之差来求.试题解析：（I）由于 ABC是等腰三角形，AD_LBC,所以AD是/CAB的平分线，又因为圆。与AB,AC分别相切于E,F,所以AE = AF ,故

20、AD _L EF ,所以EF BC .（n）由（I）知AE=AF , AD _LEF ,故AD是EF的垂直平分线，又EF为圆。的弦，所以O在AD上，连接OE,OF,则OE _L AE ,由AG等于圆。的半径得AO=2OE所以/OAE =30，,因此，ABC和 AEF都是等边三角形 ,因为AE = 2 J3 ,所以AO = 4, OE= 2,因为-1OM =OE =2, DM =-MN2所以 OD=1,于是 AD=5,AB=,所以四边形3_ 2_DBCF的面积为1 但也匕正_1父（2“虫二曳3 232223考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力23. （I） （0,0 ）住，| ；（n）4.【解析】试题分析：（I）把C2与C3的方程化为直角坐标方程分别为x2+ y2-2y = 0 , x2 + y2 -2Qx = 0 ,联立解方程组可得交点坐标；（n ）先确定曲线Ci极坐标方程为B=a（PER, P.O）,进一步求出点a的极坐标为（