第二换元积分法56911

1、第二节 换元积分法本节内容提要一、第一类换元积分法（凑微分法） 二、第二类换元积分法 1教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类 换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分重点： 凑微分法、根式置换法求不定积分难点： 凑微分法求不定积分教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：6课时返回2 第二节 换元积分法 引例：求 解: 错在哪里？一、第一类换元积分法（凑微分法） 定理1、若 则这种将 利用中间变量 化为 ，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将 还原成 的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法。这里将 凑微分成du是难点，理解

2、起来较困难，我们这样处理：dx= 故3例1：求解：设u=2x 我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下： 、被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量， 例2：求解：设 则 在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写格式如下：解： = 4例3求解：练习：求下列不定积分1、 2、 3、 4、 、 被积函数是两个函数乘积形式 1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式。 例1、求解： 5例2、求解： =例3、求解例4、求解： 例5、求解： 练

3、习：求下列不定积分1、 2、 3、 4、 5、6 2、被积函数中，其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因式。 例1求解 例2求 解例3求解 例4求解7例5求解例1、 例6求解练：求 1、 2、 3、 4 、 5、 6、8 第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式 ，应理解为 ，其中u可以 是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。 （1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10

4、) (11) 常用的凑微分形式有： 9例：求 解：方法一： 方法二： 方法三： 上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们的正确性。10 使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角变换对被积函数作适当变形才能积分。例1求练习：求 例2求：解： 练习：11例3求： 练习： 例4 求： 练习：求12例5求：练习：求 例6 求：练习：求 13例7 求：练习：求 例8 求：练习：求 练习 求 14二、第二类换元积分法定理2：设 是单调可微函数，且若则： 下面通过例题说明第二类换元积分的应用。 、被积分函数中含有 类型-根式置换法 例1

5、：求解：设 ,则注意：在最后的结果中必须代入 ,返回到原积分变量 .练习： 返回15例2求解：被积函数含 、 ，为了去掉根号，设t= 则 x= 练习：求例3求解：设 则161、 、 被积分函数中含有 类型-三角置换法例1 求 解 设 则 17例2、求 解 设 则为了返回原积分变量，可由 作出辅助三角形如图 由图可得 其中空18例3、求 解 设 则 与前例相同，为了返回原积分变量，由作出辅助三角形如图 由图可得： 其中 空19 第二类换元积分法是基本积分方法之一，使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换，消除被积式中的根号，最常见的形式有：（1）被积函数中含有： 设（2）被积函数中含有： 设 , 为 、 的最小 公倍数（3）被积函数中含有： 设（4）被积函数中含有： 设（