桥梁设计理论第一二三讲_secret

1、浙江大学桥梁与隧道专业研究生学位课程桥梁设计理论二00二年九月第- PAGE I 页目 录第一讲 概 述1第二讲 薄壁箱形梁的结构与受力特点2第三讲 薄壁箱形梁的弯曲6第四讲 薄壁箱梁剪力滞的变分解法20第五讲 薄壁箱形梁的自由扭转38第六讲 薄壁箱形梁的约束扭转56第七讲 薄壁箱形梁的组合扭转72第八讲 薄壁箱形梁的畸变87第九讲 曲线梁桥计算理论105第十讲 斜桥计算理论113第一讲 概 述本课程是桥隧专业硕士研究生的专业课，它是在本科桥梁工程的基础上对内容进行深化，着重介绍一些设计公式和规范条文的理论依据。使研究生能从原理上和从问题的本质上去认识桥梁结构的受力特性和性能，为今后从事桥梁工

2、程研究工作打下基础，并掌握基本的研究方法。桥梁工程的重点是简支梁桥，计算理论是以横向分布为基础，形式以空心板梁和梁为重点，其中横向分布概念的引入，将桥梁空间结构问题简化为平面问题，极大地简化了梁桥的计算。但是该方法在其他体系的桥梁如连续梁桥、悬臂梁桥、刚架桥、斜拉桥、悬索桥及拱桥等，应用很不成功。其主要原因是这些体系的桥梁的主梁常采用箱形截面。在利用横向分布技术处理箱形梁计算时，通常将箱梁腹板近似看作等截面的梁肋，按修正偏压法求出活载作用下边腹板的荷载分配系数，再乘以腹板总数，得到箱梁截面活载内力增大系数，然后求得箱梁内力姚玲森桥梁工程P.198，这种方法有时会引起很大的误差，因为箱梁是一种闭

3、合截面，看作等截面梁肋的做法，是将闭合截面处理成开口截面，与实际不符。因此，本课程将研究箱梁计算理论，包括箱梁的弯曲、扭转、畸变等方面设计计算分析方法。桥梁工程中介绍了斜桥的受力特点，但并没有讨论其计算理论，还有随着城市高速路的发展，立交桥日益增多，为增添城市景观，使桥梁服从线路的平面布置和提高交通枢纽的使用功能，曲线桥梁应运而生，因此，本课程将斜、弯桥列入。针对我校本科教学的特点，钢筋混凝土尤其是预应力混凝土桥梁计算理论是薄弱点，本课程也将这部分内容列入。第二讲 箱形梁的结构与受力特点第一节 箱形梁的结构特点及其应用一、箱形结构的广泛应用得益于它的众多优点：（一）截面抗扭刚度大，结构在施工与

4、使用过程中都具有良好的稳定性；（二）顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并满足配筋的要求。适应具有正负弯矩的结构，如连续梁、斜拉桥、拱桥的拱肋和悬索桥加劲梁等；（三）适应现代化施工方法的要求，如悬臂施工法、顶推法等；（四）承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，经济效果良好，同时截面效率高，适合预应力混凝土结构空间布束，更加收到经济效果；（五）适合于修建曲线桥；显然，箱形截面也存在一些不足之处，需要引起设计者的充分重视。如箱形截面属薄壁结构，除受力钢筋外，还需配置大量构造钢筋，这对于中等跨径的桥梁，有时会导致用钢量比工字形或T形截面增多。而对于大跨径桥梁，由于箱形截面乃

5、实腹式梁，比起空腹式的桁架式结构自重大。而减轻自重是大跨径桥梁的重要课题，因而在设计时必须采取措施减轻自重，以节省材料，使造价经济。近年来由于三向（即纵向、横向、竖向）预应力的应用，可采用薄壁、少肋的所谓宽箱截面，以收到良好的经济效果。二、箱形截面在各类桥梁上的应用箱形截面早期应用于普通钢筋混凝土悬壁梁桥和连续梁桥，一般采用在支架上现浇施工。近代由于预应力混凝土的发展，同时由于现代施工技术的进步，箱形截面更加广泛应用于各种现代桥梁，而且一般采用无支架施工。据统计，当跨径大于60m后，除极少数外，其横截面大多为箱形截面，其结构形式有简支、悬臂、T形刚构、连续梁等。截面形式如图2-1。1、简支梁一

6、般采用预制安装，单箱或多箱截面形式，公路桥梁最大跨径达76m；铁路桥梁则采用单箱单室等高梁，跨径在40m以内。2、悬臂梁桥、T形刚构桥以及连续梁桥一般采用悬臂施工法。连续梁桥还可采用项推法施工。这些施工方法都充分发挥箱形截面的优越性。大跨径梁式桥多采用变高度梁，其最大跨径已达270m。3、在城市高架桥中，采用梯形单箱单室截面与单柱墩配合，具有外形简洁、美观，桥下通视良好的优点，得到广泛应用。图2-2 城市高架桥箱形截面形式4、在现代斜拉桥中，也广泛应用箱形截面，特别是采用单索面时，由于箱形截面的主梁抗扭刚度大，有利于承受偏心荷载，而且也便于拉索与主梁的连接。采用三角箱的斜拉桥具有风动力性能良好

7、的优点。5、在拱式桥梁中，大跨径的钢筋混凝土拱桥大都采用箱形截面。由于箱形截面中和轴居中，能抵抗相等的正负弯知，适应拱中各截面正负弯短的变化；抗扭刚度大，拱中应力分布较均匀；施工中稳定性好，有利于单片成拱，便于无支架施工。拱圈截面形式可以是多箱组合，也可以用单箱式。三、箱形截面的构造要点（一）外形：由顶板、底板、肋板及梗腋组成1、顶板：除承受结构正负弯矩外，还承受车辆荷载的直接作用。在以负弯矩为主的悬壁梁及T形刚构桥中，顶板中布置了数量众多的预应力钢束，要求顶板面积心须满足布置钢束的需要，厚度一般取1825cm。2、底板主要承受正负弯矩。当采用悬臂施工法时，梁下缘承受很大的压应力，特别是靠近桥

8、墩的截面，要求提供的承压面积更大；同时在施工时还承受挂篮底模板的吊点反力。在T形刚构桥和连续梁桥中，底板厚度随梁的负弯矩塔大而逐渐加厚。底板最小厚度15cm。3、肋板承受截面剪应力及主位应力，并承受局部荷载产生的横向弯矩，其厚度还须满足布置预应力筋及浇筑混凝土的要求，以及锚固锚头的需要，一般厚度为20-35cm，大跨径桥梁可采用变厚度。4、梗腋顶板与肋板交接处设使梗液，其作用是；（1）提高截面抗扭刚度，减少畸变应力；（2）使桥面板支点加厚，减少桥面板跨中弯矩；（3）使力线过渡平缓，避免应力集中；（4）提供布置纵向预应力钢束的面积。底板与助板交接处的梗腋，其作用不如上梗腋显著，尺寸可较小，有的国

9、外桥梁甚至不设。尺寸：以提高截面的抗扭刚度为目的设置，其斜度可按1:1，也可1:2或2:1设计。注意：在大跨径箱形梁桥中，结构自重占总荷载的比例较大（可达80以上），为减轻自重，宜采用宽箱薄壁截面。图2-3 箱形截面配筋示意图两层钢筋网横向预应力筋纵向预应力筋竖向预应力筋两层钢筋网（二）箱形截面的配筋箱形截面的预应力混凝土结构一般配有预应力钢筋和非预应力向普通钢筋。1、纵向预应力钢筋：结构的主要受力钢筋，根据正负弯矩的需要一般布置在顶板和底板内。这些预应力钢束部分上弯或下弯而锚于助板，以产生预剪力。近年来，由于大吨位预应力束的采用，使在大跨径桥梁设计中，无需单纯为了布置众多的预应力束而增大顶板

10、或底板面积，使结构设计简洁，而又便于施工。2、横向预应力钢筋：当箱梁肋板间距较大，或箱的悬臂板长度较长时，采用普通钢筋混凝土的板面板，钢筋用量过多，或需要较厚的桥面板。这时可考虑设置横向预应力钢筋，横向预应力钢筋一般为直线形，布置在顶板的上、下两层钢筋网间，锚固于悬臂板端。3、竖向预应力钢筋：当肋板中的剪应力或主位应力较大，配置普通钢筋不能满足要求时，可布置竖向预应力钢筋，避免采取加厚肋板增大自重带来的不利影响。竖向预应力筋一般下端埋入胁板混凝土，上端锚于顶板项面。配有纵向、横向、竖向预应力钢筋的结构称为三向预应力结构。近年来，大跨径箱形截面桥梁都采用三向预应力。纵向弯曲刚性扭转畸变横向挠曲图

11、2-4 箱形梁在偏心荷载 作用下的变形状态4、普通钢筋：箱形截面属薄壁结构，因而在顶板、肋板和底板中，根据受力需要，或为防止和限制由于温度变化及混凝土收缩而引起的混凝土裂缝等构造要求，一般都配置两层钢筋网。必须指出，这些普通钢筋的用量占全桥钢筋用量相当大的比例。根据已建成的同类桥梁同类桥梁的统计，这种普通钢筋每平方米桥面用量相差很大，一般在40150kg之间，因此必须精心设计，做到既安全又经济。第二节 箱形梁的受力特点作用在箱形梁上的主要荷载是恒载与活载。恒载一般是对称作用的，活载可以是对称作用，但更多的情况是偏心作用的，因此，作用于箱形梁的外力可综合表达为偏心荷载来进行结构分析；在偏心荷载作

12、用下，箱形梁将产生纵向弯曲、扭转、畸变及横向挠曲四种基本变形状态。详见图2-4。1、纵向弯曲产生竖向变位，在横截面上起纵向正应力及剪应力。对于肋距不大的箱形梁，按初等梁理论计算，当肋距较大时，会出现所谓“剪力滞效应”。即翼板中的分布不均匀，近肋翼板处产生应力高峰，而远肋翼板处则产生应力低谷，这称为“正剪力滞”；反之，如果近肋翼板处产生应力低谷，而远肋翼板处则产生应力高峰，则为“负剪力滞”。对于肋距较大的宽箱梁，这种应力高峰可达相当大比例，必须引起重视。2、刚性扭转刚性扭转即受扭时箱形的周边不变形。扭转产生扭转角。分自由扭转与约束扭转。（1）自由扭转：箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是自由的，

13、杆件端面虽出现凹凸，但纵向纵维无伸长缩短，能自由翘曲，因而不产生纵向正应力，只产生自由扭转剪应力。（2）约束扭转：受扭时纵向纤维变形不自由，受到拉伸或压缩，截面不能自由翘曲。约束扭转在截面上产生翘曲正应力和约束扭转剪应力。产生约束扭转的原因：支承条件的约束，如固端支承约束纵向纤维变形；受扭时截面形状及其沿梁纵向的变化，使截面各点纤维变形不协调也将产生约束扭转。如等厚壁的矩形箱梁、变截面梁、设横隔板的箱梁等，即使不受支承约束，也将产生约束扭转。3、畸变（即受扭时截面周边变形）畸变的主要变形特征是畸变角。薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截面的投影仍为矩形。畸变产生翘曲正应力和畸变剪应力。4、

14、横向弯曲：畸变还会引起箱形截面各板的横向弯曲，在板内产生横向弯曲应力 （纵截面上）。图2-5 局部荷载作用下 横向弯矩图5、局部荷载的影响：箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分析外，还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除直接受荷载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定结构，因而引起其它各部分也产生横向弯曲。图2-5表示箱形截面在顶板上作用车辆荷载，在各板中产生横向弯矩图。这些弯矩在各板的纵截面上产生横向弯曲正应力及剪应力。综合箱形梁在偏心荷载作用下产生的应力有：在横截面上：纵向正应力： 剪应力：在纵截面上；横向弯曲正应力：在预应力混凝土梁中，跨径越大，恒载占总荷载比例就

15、越大。一般地，由于恒载产生的对称弯曲应力是主要的，而由于活载偏心所产生的扭转应力是次要的。如果箱壁较厚，或沿梁的纵向布置一定数量的横隔板，限制箱形梁的畸变，则畸变应力也是不大的。但对于少设或不设横隔板的宽箱薄壁梁，畸变应力不可忽视。板的横向应力对于顶板、肋板及底板的配筋具有重要意义，必须引起重视。第三讲 薄壁箱梁的弯曲剪应力现代工程结构广泛使用薄壁结构，特别是桥梁工程，从特大跨径的悬索桥、大跨径斜拉桥，到中小跨径的连续梁桥，甚至简支梁桥等，多采用箱形截面的薄壁结构或桁架形式的薄壁杆件。如杭州湾跨海大桥，建设方采用设计施工总承包的招标方式，各投标单位均采用了钢箱梁斜拉桥和箱形截面混凝土连续梁桥形

16、式。1、悬索桥：主要有美国式和英国式两种形式悬索桥。美国式悬索桥采用钢桁架加劲梁（如Golden Gate bridge，Verrazano bridge，日本的明石海峡大桥等）；英国式悬索桥采用钢箱梁（如Severn bridge， Humber bridge，我国的江阴长江大桥，在建的润扬长江大桥南汊桥等）。2、斜拉桥：主梁多采用预应力混凝土或钢结构箱形截面。如日本多多罗大桥、南京长江二桥、等采用钢箱梁；而钱江三桥、招宝山大桥等采用预应力混凝土箱形梁。3、悬壁梁桥、T型刚构桥、连续梁桥：多采用预应力混凝土箱梁作主梁。如虎门大桥辅航道桥、南京长江二桥北汊桥、钱江二桥、钱江五桥、钱江六桥等。薄

17、壁杆件在弯扭变形时，其正应力和剪应力分布及大小与通常的实体截面杆件差别很大，且开口截面与闭合截面杆件在相同受力情况下其正应力和剪应力也大不相同。因此，有必要对开口截面和闭合截面杆件分别加以讨论。第一节 坐标系的建立薄壁杆件分析中，常取杆件的中面（到两纵向表面距离相等的面）来表示杆件，取横截面的中线表示横截面。应用的坐标系有两种，如图3-1所示。其一是以截面某一特定点为原点（如形心）的固定坐标系，取杆件轴线为轴，坐标轴正向符合右手法则；或者为了运算方便，采用曲线坐标，即在截面上选定一原点，以自原点量取的截面中线（曲线）长为坐标量值，取逆时针方向为正，于是截面上任意点的位置可表示为或。其二是以截面

18、上任意点为原点的动坐标系，轴平行于杆件轴线，为点处截面中线的切线，为相应的外法线，三者之间也符合右手法则。图3-1 二种形式坐标系在第二节 薄壁杆件弯曲基本假定薄壁杆件尺寸限制：杆件的宽度与长度之比（）和壁厚与宽度之比（）均小于（或等于）0.1。薄壁杆件弯曲分析中采用以下基本假定：1、平面假定。即假定杆件变形后横截面仍保持为平面，据此，截面上任一点的纵向应变为： （3-1）式中。、为待定常数。2、线性假定。即应力与应变呈线性关系，满足虎克定律。 （3-2）其中、为弹性常数。将式（3-1）代入上式便有： （3-3）表明杆件横截面上的正应力也呈线性分布。3、小变形假定。即忽略杆件变形引起的二次力的

19、影响，与假定“2”相联系，表明本书的讨论限干线弹性分析，因此适用叠加原理。4、假定弯曲剪应力沿壁厚均匀分布。据此，单位周边中线长度上的剪力流可用剪应力与壁厚的乘积来表示。即= 或： （3-4）在研究弯曲变形时，假定无扭矩作用，且轴向力沿杆轴无变化（=常数）或等于零。第三节 不考虑剪力滞弯曲正应力及惯性主轴一、弯曲正应力取截面形心为原点，建立坐标系如图3-2所示，现以静力学条件确定式（3-1）中的待定常数、。图3-2 （3-5）上述各式中的积分仅与截面形状和尺寸有关，分别表示截面的几何特性。其中： 截面积 截面对轴的静矩 截面对轴的静矩 截面对轴的惯性矩 （3-6） 截面对轴的惯性矩 截面对轴的

20、惯性矩 注意到坐标系以截面形心为原点，因此有，。将以上各式代入式（3-5），解方程组得： （3-7）式（3-7）代入式（3-3），有： （3-8）为分别表达、的作用，上式可改写为： （3-9）二、几种特例1、=0 （3-10）或 （3-11）令式（3-10）中=0，则得到、的作用下的中性轴方程： （3-12）2、仅有竖向弯矩作用时，、=0， （3-13）3、同理当、=0时 （3-14）可见，一般情况下，作用在平面的弯矩产生的弯曲正应力不仅与有关，同时也与有关。即正应力不对称于轴。可以证明其挠曲线为一空间曲线，不仅有平面的弯曲变形，而且也有平面的弯曲变形。因此称为非对称弯曲或广义弯曲。（三）惯性

21、主轴如果、轴的选择使得截面对其惯性积为零时，则正应力公式（3-9）简化为人们熟知的偏心受压（受拉）公式。即 （3-15）此时，坐标轴、称为惯性主轴，简称主轴。通过截面形心的主轴，称为形心主轴。图3-3显然，形心主轴可根据=0确定。对于任一截面，经过截面形心任选一参考坐标系，设形心主轴与该参考坐标系间的夹角为（逆时针转为正），根据坐标转换关系有： （3-16）代入=0，化简后得到： （3-17）这样就求得了形心主轴相对于参考坐标系的夹角，即确定了形心主轴，此后的计算，便可基于形心主轴，按简化公式（3-15）进行计算。工程实际中常采用对称截面，若以对称轴为轴，则截面的对称轴就是形心主轴。注意：只有

22、当、轴为形心主轴（对称轴为特例）时，平面弯曲公式（3-15）才适用，否则应采用广义弯曲公式（3-9）计算，平面弯曲与广义弯曲二者不可混淆。第四节 开口薄壁杆件的弯曲剪应力及剪力中心一、弯曲剪应力观察图3-2薄壁单元的平衡，根据本章假定“4”，引入剪力流表达式（3-4）后，由，可得 （3-18）即：，则得到正应力与剪力流间的关系方程： （3-19）将其移项后积分得： （3-20）式中为积分常数，其物理含义为曲线坐标=0点处的初始剪力流（见图3-2）。对于开口薄壁截面，当取自由边缘作为=0点时，便有=0，这时开口截面弯曲剪力流公式可简化为： （3-21）将正应力一般表达式（3-8）代入式（3-20

23、），注意到截面几何特性的定义并引用弯短、剪力间的微分关系便有：（假定=常数） （3-22）则开口薄壁截面的弯曲剪力流表达式为： （3-23）注：式（3-23）推导如下：由式（3-9）得： （A）注意到式（3-22），（A）式成为 （B）将式（B）代入式（3-21）得： （C）由定义：，代入式（C）即得到式（23）。讨论：（1）当、轴为截面主轴时，则式（3-23）可简化为 （3-24）（2）式（3-23）中先后令及，则得到由、方向剪力及引起的剪力流。, （3-25）（3）若以和表示=1及=1单独作用时的剪力流，则： （3-26）显然 （3-27）二、剪力中心薄壁（杆件）截面剪力流的合力（，）作用

24、点称为剪力中心。各截面剪力中心的连线称为剪力中心线。对于等截面直杆，它为与杆轴线平行的直线。当横向力作用于剪力中心线上时，由剪力中心的定义可知，该横向力产生的弯曲剪应力的合力将与此横向力相应的截面剪力平衡，杆件仅发生弯曲而无扭转（和方向的位移、不等于零，扭转角=0），因此剪力中心又称为弯曲中心。本章研究的薄壁杆件弯曲问题，就是指在通过剪力中心线的横向荷载作用下的“只弯不扭”问题。根据位移互等定理（见图3-4a），当杆件仅承受扭矩作用时，其横截面只产生绕剪力中心的转动（0），而剪力中心处无横向位移（=0），即“只扭不弯”，此时剪力中心线为杆件扭转变形的转动轴线，故截面的剪力中心也称扭转中心。(a

25、)(b)图3-4在薄壁杆件分析中，常取剪力中心线为坐标系的纵向坐标轴，其后将截面内力分解到坐标轴上，即以、以及、来表示，这样就将问题分解为平面弯曲与纯扭转的组合，分别按“只弯不扭”和“只扭不弯”计算，而后叠加。现讨论剪力中心的计算。如图3-4b所示开口薄壁截面，先取以形心为原点的参考坐标系，设截面的剪力中心为，以和分别表示和单独作用引起的剪力流，根据剪力中心的定义知，、作用点应满足（合力矩定理）条件 式中为截面中线全长，为截面形心至截面上任一点的切线的距离，将剪力流表达式（3-26）引入便有： （3-28）再将式（3-26）代入得： （3-29）现定义：，则： （3-30-1）并定义： （3-

26、30-2）表示截面上任一点的曲线坐标与点（称极点）组成的扇性面积（）的二倍。当点与点一定时，点的位置由唯一确定，故称为点的扇性坐标，而及则称为截面的扇性惯积。将式（3-30）代入式（3-29），并进行分部积分，即得到剪力中心的坐标为： （3-31）式（3-31）推导如下：式（3-29）中的积分： （A）应用分部积分公式，则式（A）变为 （B）由于轴以形心为原点，故无论曲线在坐标=0或=，对于开口截面均有，而为有限值，故式（B）中，根据定义，有 （C）因此，式（B）可改写为： （D）再将式（D）代入（A）及式（3-29）即可得到剪力中心坐标式（3-31）。当轴为形心主轴时，有，式（3-31）便简

27、化为： （3-32）式（3-31）表明，剪力中心只与截面有关，与荷载无关，故属于截面固有的几何特性。根据剪力中心的定义及其计算公式（3-31），不难得出确定剪力中心的下列规律（图3-5）：1、对于双轴对称截面，对称中心即为剪力中心（图3-5d）；2、对于仅有一个对称轴的截面，剪力中心必位于该对称轴上（图3-5C）；3、对于由两个矩形狭条组成的截面，剪力中心位于此二矩形狭条中线的交点上（图 3-5a、b）。(a)(b)(c)(d)图3-5第五节 闭口薄壁杆件的弯曲剪应力及剪力中心一、闭口薄壁截面的弯曲剪应力1、单室闭口截面的弯曲应力回顾式（3-20）可以发现，它也适用于闭口薄壁截面的计算。对于开

28、口截面，由于取在截面的自由边缘，故，对于闭口截面（图2-5），当曲线坐标原点（）任意取定时，在一般情况下，因此闭口截面剪力流（以表示）应为： （3-33）将式（3-20）代人便有： （3-34）可见，闭口截面的剪力流归结为相应开口截面剪力流加上坐标原点处的初始剪力流。以下讨论的计算：(a)(b)图3-6设想在闭口截面的周边上任选=0的点处将截面“切开”，使其成为开口截面，按力法原理，在切口处去掉约束后应代之以赘余力（设为）的作用。首先按式（3-20）求得此开口截面的剪力流，然后利用相应的闭口截面在及作用下切口处的变形连续条件建立方程，求解。切口处变形连续条件为、间相对纵向位移为零（图2-5）。

29、根据图2-5 b所示微元的剪切变形为： 则 （3-35）于是，、间相对纵向位移为零的条件可表达为： 将虎克定律及剪力流的定义式（3-4）引入，则上式变为： （3-36）再将式（3-34）代入便有： 注意到与无关，于是上式移项后得到： （3-37）再将和相应的（由式（3-21）求得）代入式（3-34），即得闭口截面的弯曲剪力流。若以和分别表示单独作用引起的剪力流，以和分别表示单独作用引起的剪力流，则由式（3-37）可得： （3-38）同理仿照式（3-27），令 或 （3-39）将此式及式（3-27）代入式（3-38）得到 （3-40）2、多室闭口截面的弯曲剪应力对于多室截面，仍采用力法原理，先将

30、各室切开（如图3-7），在切口处作用以相应的赘余剪力流（），它们由各切口处的变形连续条件所给出的准则方程式求解。由于在各室交界（腹壁）板上，存在着相邻箱室赘余剪力流的共同作用，因此，对于第室切口处的变形连续条件仿照式（3-36）有：图3-7 式中表示沿室和室交界板壁的积分。由于及均与曲线坐标无关，故上式可进一步简写成：（） （3-41）对于室截面，上式为一阶线性方程组，解此方程组，即可求得（），于是根据式（3-34），多室闭口截面的总剪力流为： 必须注意，对于交界腹板上的剪力流，应计及邻室的共同作用。即 （3-42）显然，一个腹壁往往只是二室的交界，则以上公式中的不复存在，而对于非交界壁，式中

31、最后一项应为零。二、闭口薄壁截面的剪力中心1、单室闭口截面根据剪力中心的定义，闭口截面的剪力中心坐标不难仿照式（3-28）写出，即 式中和为闭口截面的单位剪力流，对于单室截面，根据式（3-34）、式（3-39）及式（3-37）可以得到。即 （3-43）将其代入、的表达式有 （3-44）将式中右边第一项与式（3-28）比较可知，它就是开口截面（计算基本体系）的剪力中心坐标。注意到 于是，式（3-44）简化为 （3-45）在求得、及后，便可按式（3-45）计算单室闭口截面的剪力中心。显然，上式未能给出剪力中心坐标的显式表达，只是作为多室截面剪力中心的基础。为了实际应用的方便，对于单室截面可进一步导

32、出剪力中心的直接计算公式。将式（3-26）及式（3-40）中的及表达式代入式（3-44）进行分部积分并定义： （3-46）便可得到单室截面剪力中心的计算公式为 （3-47）它与开口截面剪力中心计算公式（3-31）具有相同的表达式，仅其中的扇性坐标及其相应的扇性几何特性（、）定义不同，如式（3-30）及式（3-46）所示。式（3-47）推导如下：在式（3-44）中引入后，有 （A）将式（3-26）及式（3-39）中的及代入，则可得到如下的表达式： （B）对式中各积分项应用分部积分便有： （C）式中项，在图3-6中，无论取点（）或点（），因坐标系以形心为原点，且其乘数又为有限值，故=0。将式（C）

33、代入式（B）得到：上式合并后得到：引用定义式（3-46），上式中项分别为和，于是，便得到剪力中心的计算公式（3-47）。2、多室闭口截面多室闭口截面剪力中心的计算，从剪力中心的定义出发，即以式（3-42）为基础，其中应为各箱室的剪力流值，根据式（3-39）、（3-40）及式（3-34）改写得到： （3-48）将其代入式（3-28），注意到这时系沿各闭室求后再求和，交界壁的影响已包含在中，故式中项不复出现，于是有 （3-49）将上式右边第一项与式（3-28）比较可知，它表示多室箱切口为开口截面后的中心坐标。即 （3-50）又，将此式及式（3-50）代入式（3-49），得到多室闭口截面剪力中心坐标的最后表达式为： （3-51）于是，多室截面剪力中心的计算步骤是：（1）将各室切开成为开口截面，分别计算和 作用下的剪力流、以及；（2）按式（