第7章技术进步模型分析

1、第7章技术进步模型分析技术进步与创新管理技术进步模型分析生产函数经济学理论中，讨论生产函数时，往往没有提及到技术进步的问题。如生产函数Q f(K,L)中，是一定技术水平下，生产投入要素的特定组技术条件改变，将导致Q f(K,L)也改变。因此，生产函数中一生产技术 方程。假设：生产要素投入分别为劳动 L,资本K, q表示生产部门的产出量；q f(K,L,t)上式表示动态生产函数。假定t是可导的一表示时间是可以变化的。由 q f(K,L) q f(K,L,t)引进了时间变量t,实际上反映了技术进步 二、进一步说明假设是静态的生产函数，也就是说没有考虑时间t, q-q2表示两条等产量曲线；AB表示企

2、业的成本约束，A、当AB与q2相交于C点，就可得到AB成本约束下的最佳投入要素组合(L*, K*) o 如果考虑不同的时点：t1,t2，其中(t2 t1), 并假定产出不变，即：_qi q2显然，t2时刻企业将通过较少的要素投入量得到等量的产值 q2,相对于等 产量线qi来说，对应等产量q2的生产函数较高及生产效率较高。选取一个生产要素组合(L ,K ),假定q2与AB相切于C点，对于q2上的所 有点，C点为最大技术效率。1 、一 * .II. 一*在新的名束下AB下选择最佳投入组合C（L ,K ）当用资本代替劳动，劳动投入下降；q等量线向上陡峭，K轴意味着一 L J 一 K T 3实际上，企

3、业很难接受资本投入的加入。解决的办法：技术创新、现有技术改进或应用技术发明的新技术，按比 例减少最昂贵的生产要素投入。一般来说，经济环境的变化，引起了企业技术创新，改变原有的生产技 术（生产函数），诱导出一组更适合它的最优生产要素组合。新古典生产理论中，技术进步通过生产函数向原点移动的形式产生。任何技术进步将改变生产函数，都使较少的要素投入获得同等的产量或 使用同等的要素投入获得较大的产量，导致要素投入边际技术代替率的变 化。资本节约型（劳动增用型）技术进步劳动节约型（资本增用型）中性2三、分类及定义1、资本与劳动比不变下的技术进步分类的方法a)资本节约型的技术进步资本劳动比K/L不变，技术进

4、步的作用使劳动对资本的边际技术代替率递则称资本节约型技术进步,资本边际产出的变化率小于劳动边际产出变化率。如图右图所示:t1 , t2 (t2t1 )两条等产量曲线qi,q2 ，且 qi q2最优组合A, a2 ,因为两点在同一射线OE上,斜率不变，资本与劳动的比率也不变。mrstlk0Kl0L1mrstlk0K2Q劳动对资本的边际代替变化率递增，MRSTlk 0MRSTLK1 MRSTLK20所以:0Kl0L10K20L20Kl0L10K2意味着等产量线沿射线0E向原点移动时斜率的绝对值递增。显然:30K20L1OLI两边同减10K20L1ol2K2K10K2L2 L1ol2MPkiOK，叫

5、OK1q2ok2MPL1q-,MPL0L1L2q2ol2MPkMpKq2/OK2q1/0Klq1/0K1K2Klok2mplmplq2/OL2 q1/0L1q1/0L1mpkmplMPkMPl资本节约型的技术进步实际上提高了劳动的边际生产力（相对于资本边际生产能力）。b）劳动节约型的技术进步若K/L为常数，即资本与劳动的比例为一定值，技术作用使劳动对资本的边际技术代替率递减。MRSTlk 0 ,则称技术进步为劳动节约型。资本边际产出的变化率大于劳动边际产出同理可证：在劳动对资本的边际技术代替率递减下，等产量线缘着射线0E向原点移动的斜率绝对值递减。mpk mplmpk mpl提高了资本边际生产

6、能力（相对于劳动边际生产能力），可以用更少的劳动投入得到同样多（或更多）的产出量，劳动节约型。4C）中性技术进步K / L为常数，技术进步的作用使 MRSTlk 0。资本边际产出的效率=劳动边际产出的效率。由于MRSTlk不变，等产量线沿射线 OE向原点移动斜率为常量，KL平行于K2L2mpkmplmpkmpl技术进步的结果以相同的比例提高资本和劳动的边际生产力，在获得同 样多的产出量时，资本要素投入和劳动要素投入的下降幅度相等。根据以上分析：有偏向技术进步资本型技术进步劳动型中性技术进步2、生产函数为线性齐次的情况下的技术进步分类方法qif(L,K,t)q是L和K的线性齐次函数，当L和K都扩

7、大 倍时，q也扩大 倍。q2f( L, K,t) f(L,K,t)qiqi,q2对应时的产出量。q f(L,K,t)K :可用资本所得占产出比例来区别技术进步种类。f fK3KKK?d.f KL? f(1,：t)KK f(k,t)? kLf 畤,t) k g其中:-Lf （欧拉定理）K L1K?- -? 5L f-? q l劳动节约型资本节约型而不变，中性也可以从下式来看:K 、，K为 k ,对于 ti 和 t2 (ti t2)这说明了资本投入递增。递减。技术进步为劳动节约型。在分母中：一（ t3、MPl1福MPk2MPkMPki变形为:MPL11MPk1mplMPk2可知,mplMPki资本

8、边际产出变化率大于劳动边际产出变化率。般情况下技术进步分类设 q1，q2 ，q3,q4对应时 ti,t2 t3,t4的产出量。其中：q1q2q3q4q1q3,生产产量q3比q1按比例投入更多的劳动，资本节约;q1q2,生产产量 q2比投入更多的资本，劳动节约;6qq4,中性技术进步。四、中性技术进步分析中性技术进步比较简单规模报酬不变的生产技术下，主要有三个:希克斯中性技术进步，哈罗德中性技术进步，索洛中性技术进步1、希克斯中性技术进步K4为一定值，劳动对资本的边际技术代替率保持不变，或L,fL保持不变，则为希克斯中性技术进步。K不随t变化，符合中性技术进步的定义。q f(L,K,t) A(t

9、)F(L,K)证明：记L?-L r /5（资本产出弹性）ln K（劳动产出弹性）ln L因为生产技术规模报酬不变,In f In L L 1 K ln f ln K又 Q f f(L,K,t)K f / Kf/ K Kf(k,t)k f (k,t)/ k1(k)(k)-K1K 1(k)7f ?K K?fL f(1,K,t) KL_ ?KLf(1,：,t)f(k,t)? k f(k,t)ln f(k,t)?i, ? kk1 k ln f(k,t)1(k)k分离变量积分，得In f(k,t)-?1 k1(k) kIn f (k,t)dkk1 (k5dk因此：f(k,t) ee k(1的引入 A(t

10、) e (t)q A(t)F(L,K)希克斯中性技术进步的作用，相当于在资本和劳动投入不变的情况下，使 产出量q增至A(t)倍反过来：若生产函数q f (L,K,t)是L和K的线性齐次函数，且q A(t)F(L,K),则它在k % 处为希克斯中性技术进步。fL f / L f K f K I 彳L1K f / K K f K K f 1KA(t) F(K,L)/L F(K/L,1),1 1kA(t) F(K,L)/ K k F(K/L,1)/ (K L)F(k,1)k F(k,1)/ k因为k %为常数，与t无关，上式与t无关，故q A(t)F(L,K)为希克斯 中性技术进步的生产函数。如果生

11、产函数q f(K,L,t)是K和L的线性齐次函数，则它在k 父 处为 希克斯中性技术进步的充分必要条件为：8q A(t)F(L,K)2、哈罗德中性技术进步如果资本边际产出固定，资本产出率(q/K)保持不变，那么技术进步为哈罗德中性技术进步。设:-b (与t无关)Kq.K(与t无关)因为,b (与t无关)，K不随t变化而变化，符合中性技术进步的 a定义。因为:f(K,L,t) F A(t)L,K表明:中性技术进步相当于使劳动投入量增加A(t)倍，为劳动扩大型的技 术进步。证明：定义产出与资本比：y 9K劳动与资本比：x K产出与劳动比：z qL资本与劳动比：k K L并记u(x,t) f(L/K

12、,1,t)v(k,t) f(1,K/L,t)r 资本与劳动的边际产出：K_qL9第7章技术进步模型分析技术进步与创新管理第7章技术进步模型分析 技术进步与创新管理y u(x,t) z v(k,t) r u xdx vkv kvk uxQr f(L，K，t)(Kf (L/K,1,t) K二Ku(x,t)u(x,t)u(x,t)Ku(x,t)Kf (-,1,t)KK u(x,t)KKLKxu(x,t) u Ku(x,t)xux又因为：r Lf (1,K / L,t) L v(k,t) L 一v(k,t) kvkK KKk Kr u xux vk同理： v kvx Ux又根据生产函数，如果要素的边际

13、生产率为正，而边际替代率递减：Ux 0,Vk 0Uxx 0,Vkk 0因为，技术进步属于哈罗德中性技术进步，资本产出率不变，资本边际产出r -q与t无关，因此可以设：r h(y) K代入 r u xux vky xyx h(y)分离变量 y h(y) xyx TOC o 1-5 h z 1 yx1 dyx y h(y) y h(y) dxdy1-dx ln A(t) y h(y)x记：lnH(y)dy- 和 H(y)的反函数为y h(y)1_y H A(t)x FA(t)x得 H (y) A(t)x 1_y H A(t)x FA(t)xq FA(t)L,K也可以证明哈罗得中性技术进步的充分性.

14、索洛中性技术进步如果劳动边际生产率(弋固定，人均产出华不变，则所技术进步为索洛 中性。索洛与哈罗德是反对称的，即属于“镜像”问题，与哈罗德讨论相同如果生产函数q f(K,L,t),则充分必要条件：q F(L,A(t)K)表明：相当于使资本投入量增至 A(t)倍，又称为资本扩大型的技术进步.希克斯和哈罗德中性技术进步的几何特征希克斯中性技术进步的几何特征K k 1为横轴，f(k,t)为纵轴。t ti,f(k,ti)t t2,f(k,t2)如果从k上任取一点A,可向A向上作垂直直线，过f(k,ti)和 f(k,t2)C、D 两点。过C、D两点分别作f(k,ti)和f (kk)的切线，它们相交于B点

15、A点、BC的切线率为tg itg i(f)t tif(k，t1)fk(k,ti)kkBD的切线率tg 2tg 2 d)tt2 fkfk(k,t2)kkii第7章技术进步模型分析 技术进步与创新管理构成三角形ABC ：BO ABC AC/tgf (k,t1)i OA, , - kf (k,ti)f(k,ti) kf (k,ti)f (k,ti)f(Li,Ki,ti)/LiKi匚f(Li,Ki,ti)/ Kf(Li,Ki,ti)/ KLi, Ki为ti时的投入,生产函数为线性齐次。f(L,K,t) f(L,K,t) Kf(L,K,t)L代入上式得:BO ABCf(Li,Ki,ti) KKf(Li,

16、Ki,ti) Ki f(Li,Ki,ti)f(L1,Ki,ti)/ Kf(Li,Ki,ti)/ L f(Li,Ki,ti)/ K同理：BO ABDfLHt)/ Lf(L2,K2,t2)/ K又因为中性，kK ,不依附时间变化。LK2BO ABD所以，BO abc分别过A(k1 K1)和B(k2LiL2）作垂线，分别交于C、D,再过C、D分别作对应生产曲线的切线，分别为EF、GH0点C、D和坐标原点O成一直线;EF平行于GH。tgAOCf (Ki,ti)f(LiKG)Kf(K2,t2) f(L2,K2,t2) tgAOD k2K2哈罗德中性中，资本产出比保持不变所以：f(L,K,t) a,为一常

17、数。KQ tgAOC tgAOD a表明：C、D、O在同一直线上。又因为：哈罗德中性成立的前提条件f(L,K,t) bKf(k,t) b k因为C点切线EF的斜率:f(k,t)f(L,K,t) f(Li,Ki,ti) b TOC o 1-5 h z k t t1KKf(k,t) f(L,K,t)f (L2,K2,t2) bk tt2K t t2K因此.f(Li,Khti)f(L2,K2&) bKK所以EF平行于GH。五、中性技术进步和生产函数模型广义得技术进步，实际上是从产出得增长中扣除了由于要素投入量增长引 起的那部分后所剩余的部分。q f(L,K,t) TOC o 1-5 h z dfffdq df dt dL dK dtLK两边同除以q,并用差分近似代替微分， t 1。_q _L 1_L_kq t f L L K Kf 1q L KT f TLT KK其中：KnLLnf分别为资本和劳动的产出弹性。ln Kln L工,上表示企业产出，劳动投入，人均资本投入