2016年福建省龙岩市高考数学一模试题(卷）（文科）（解析版）

1、 23/23 2016年某省某市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|1x1，N=y|y=x2，xM，MN=（）A1，1B0，+）C（0，1）D0，12已知复数z满足（2i）z=5，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知an是公差为的等差数列，Sn为an的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5=（）AB35CD254设F1（1，0），F2（1，0）是椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点，P为E的上顶点，若=2，则a=（）A1B2CD45已

2、知f（x）是定义域为R的偶函数，且当x0时，f（x）=（）x，则不等式f（x）的解集为（）A（，）B（，）C（2，2）D（1，1）6已知函数f（x）=sinx2sin2+（0），其图象与x轴的相邻两个交点的距离为，则f（x）在区间0，上的最小值为（）A2B2CD27某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n的值为（）A3B4C5D69已知m，n为正整数，且直线2x+（n1）y2=0与直线mx+ny+3=0互相平行，则2m+n的最小值为（）A7B9C11D1610设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为

3、12，则a2+b2的最小值为（）ABCD11平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（2，0），以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B（不同于O），当|取最大值时双曲线的离心率为（）ABC2D12已知函数f（x）=，方程f2（x）+mf（x）=0（mR）有四个不相等的实数根，则实数m的取值X围是（）A（，）B（，0）C（，+）D（0，）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知向量，满足=（1，3），（+）（），则|=14在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB=AC=4，AA1=6，BC=8，则其外接球半径为15已知函数f（x）=，若f（a

4、23a）f（2a6），则实数a的取值X围是16ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，cosAcosBcosC0，则的取值X围是三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知各项均为正数的等比数列an的前三项为a2，4，2a，记前n项和为Sn（1）设Sk=62，求a和k的值；（2）令bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn18甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（1）画出甲、乙两位学生成绩的

5、茎叶图，；（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；（3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分得再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率（参考公式：样本数据x1，x2，xn的标准差：s=，其中为样本平均数）19已知：如图所示，平面ABCD平面CDE，BCAD，BCD=90，CDDE，AD=DC=DE=2BC=2，G，H分别是BE，CE的中点（1）证明：AGCE；（2）求多面体ABGDCH的体积20平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=2的距离小1（1）求曲线C

6、的方程；（2）设P为曲线C上一点，曲线C在点P处的切线交y轴于点A，若PAF外接圆面积为4，求点P的坐标21已知函数f（x）=exalnx（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=（e1）x+1，求a；（2）当1ae2时，证明：f（x）0请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号选修4-1：不等式选讲22如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（1）证明： =；（2）若ABC的面积S=ADAE，求BAC的大小选修4-4：坐标系与参数方程23若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得

7、曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=x|x+2|x3|m（mR）（）当m=4时，求函数f（x）的最大值；（）若存在x0R，使得f（x0）4，某数m的取值X围2016年某省某市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|1x1，N=y|y=x2，xM，MN=（）A1，1B0，+）C（0，1）D0，1【考点】交

8、集及其运算【分析】求出N中y的X围确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：M=1，1，N中y=x2，xM，即B=0，1，MN=0，1，故选：D2已知复数z满足（2i）z=5，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、几何意义即可得出【解答】解：复数z满足（2i）z=5，（2+i）（2i）z=5（2+i），z=2+i，=2i，则在复平面内对应的点（2，1）位于第四象限故选：D3已知an是公差为的等差数列，Sn为an的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5=（）AB35CD25【考点】等比数列

9、的前n项和【分析】利用等差数列及等比数列的性质求出首项，由此能求出S5【解答】解：an是公差为的等差数列，Sn为an的前n项和，a2，a6，a14成等比数列，=（）（），解得a1=，S5=5+=故选：C4设F1（1，0），F2（1，0）是椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点，P为E的上顶点，若=2，则a=（）A1B2CD4【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知得P（0，b），=（1，b），=（1，b），从而=b21=2，由此利用椭圆性质能求出a【解答】解：F1（1，0），F2（1，0）是椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点，P为E的上顶点，P（0，b），=（1，b），=（1，b），=2，=b

10、21=2，解得b2=3，a2=3+1=4，解得a=2故选：B5已知f（x）是定义域为R的偶函数，且当x0时，f（x）=（）x，则不等式f（x）的解集为（）A（，）B（，）C（2，2）D（1，1）【考点】函数奇偶性的性质【分析】先求出当x0时，不等式的解，根据偶函数的对称性即可得到结论【解答】解：当x0时，f（x）=（）x，此时不等式f（x）等价为（）x，即x1，此时不等式的解为0 x1，函数f（x）是偶函数，根据偶函数的图象关于y轴对称知，当1x0时，不等式f（x）成立，综上不等式的解集为（1，1），故选：D6已知函数f（x）=sinx2sin2+（0），其图象与x轴的相邻两个交点的距离为，则

11、f（x）在区间0，上的最小值为（）A2B2CD2【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】化简已知函数可得f（x）=2sin（2x+），由图象和周期性可得值，由x的X围和三角函数最值可得【解答】解：由三角函数公式可得f（x）=sinx2sin2+=sinx+（12sin2）=sinx+cos2x=2sin（2x+），图象与x轴的相邻两个交点的距离为，函数的周期T=，解得=1，f（x）=2sin（2x+），x0，2x+，sin（2x+），1，2sin（2x+），2，f（x）在区间0，上的最小值为，故选：C7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面

12、积、体积【分析】几何体为半球与半圆锥的组合体【解答】解：由三视图可知几何体为半球与半圆锥的组合体半球的半径为1，半圆锥的底面半径为1，母线为2，故圆锥的高为圆锥的体积V=+=故选B8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n的值为（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=+3时满足条件，退出循环输出S的值为5【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=1，S=0不满足条件S3，S=sin=，n=2；不满足条件S3，S=sin+sin=+，n=3；不满足条件S3，S=sin+sin+sin=+1，n=4；不满足条件S3，S=sin+

13、sin+sin+sin=+1+=+3，n=5；满足条件S3，退出循环，输出n的值为5故选：C9已知m，n为正整数，且直线2x+（n1）y2=0与直线mx+ny+3=0互相平行，则2m+n的最小值为（）A7B9C11D16【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线的平行关系可得+=1，整体代入可得2m+n=（2m+n）（+）=5+，由基本不等式可得【解答】解：直线2x+（n1）y2=0与直线mx+ny+3=0互相平行，2n=m（n1），变形可得m+2n=mn，同除以mn可得+=1（m0、n0），2m+n=（2m+n）（+）=5+5+2=9，当且仅当=即m=n=3（符合m，n为正整数）

14、时取等号故选：B10设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则a2+b2的最小值为（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用点直线的距离公式进行求解即可【解答】解：由z=ax+by（a0，b0）得y=，作出可行域如图：a0，b0，直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大由，解得，即A（4，3）此时z=4a+3b=12，a2+b2的几何意义为直线4a+3b=12上的点到原点的距离的平方，则原点到4a+3b=12上的最短距离

15、d=，则a2+b2的最小值为d2=（）2=，故选：C11平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（2，0），以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B（不同于O），当|取最大值时双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】求得F为圆心，FO为半径的圆的方程，双曲线的渐近线方程，代入圆的方程求得交点A，B的坐标，及距离，运用基本不等式即可得到a=b，进而得到所求离心率【解答】解：F为圆心，FO为半径的圆的方程为（xc）2+y2=c2，双曲线的渐近线方程为y=x，代入圆的方程可得，（1+）x2=2cx，解得x=，即有A（，），B（，），|AB|

16、=2aba2+b2=c2=4，当且仅当a=b=，取得等号则双曲线的离心率为e=故选：A12已知函数f（x）=，方程f2（x）+mf（x）=0（mR）有四个不相等的实数根，则实数m的取值X围是（）A（，）B（，0）C（，+）D（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求出当x0时，函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，判断函数f（x）=t的根的情况，利用数形结合进行求解即可【解答】解：当x0时，f（x）=xex，则f（x）=（x+1）ex，由f（x）=0得x=1，当x1时，f（x）0，当1x0时，f（x）0，即当x=1时，函数f（x）取得极大值，此时f（1）=，且当x

17、0时，f（x）0，当x0时，f（x）=ln（x+1）0，设t=f（x），则当t=时，方程t=f（x）有两个根，当t或t=0时，方程t=f（x）有1个根，当0t时，方程t=f（x）有3个根，当t0时，方程t=f（x）有0个根，则方程f2（x）+mf（x）=0（mR）等价为t2+mt=0，即t=0或t=m，当t=0时，方程t=f（x）有1个根，若方程f2（x）+mf（x）=0（mR）有四个不相等的实数根，则等价为t=f（x）有3个根，即0m，得m0，故选：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知向量，满足=（1，3），（+）（），则|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向

18、量垂直与向量数量积的关系可得（+）（）=0，故|=|【解答】解：（+）（），（+）（）=0，即，|=|=故答案为：14在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB=AC=4，AA1=6，BC=8，则其外接球半径为5【考点】球的体积和表面积【分析】由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABCA1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，可得外接球半径【解答】解：由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，BAC=90把直三棱柱ABCA1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为=5故答

19、案为：515已知函数f（x）=，若f（a23a）f（2a6），则实数a的取值X围是（2，3）【考点】分段函数的应用【分析】判断分段函数的单调性，可得f（x）在R上递减由f（a23a）f（2a6），可得a23a2a6，解不等式即可得到所求X围【解答】解：当x2时，f（x）=x24x+5=（x2）2+3，即有f（x）递减；当x2时，f（x）=（x1）+1递减f（2）=（22）2+3（21）+1，可得f（x）在R上递减由f（a23a）f（2a6），可得a23a2a6，解得2a3即有实数a的取值X围是（2，3）故答案为：（2，3）16ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，cos

20、AcosBcosC0，则的取值X围是（，）【考点】正弦定理【分析】先利用二倍角公式化简B=2A换成边的关系，求得A的X围，根据正切函数的单调性求得的取值X围【解答】解：由cosAcosBcosC0，可知，三角形是锐角三角形，由正弦定理可知sinB=sin2A=2sinAcosA，b=2acoaA=tanA，A+B+C=180，B=2A3A+C=180，A=6030，2A90A（30，45），tanA1则故答案为：（，）三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知各项均为正数的等比数列an的前三项为a2，4，2a，记前n项和为Sn（1）设Sk=62，求

21、a和k的值；（2）令bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）各项均为正数的等比数列an的前三项为a2，4，2a，42=2a（a2），化为a22a8=0，解得a=4或2a0，a=4a1=2，a2=4，公比q=2Sk=62=，解得k=5a=4，k=5（2）由（1）可得：an=2nbn=（2n1）an=（2n1）2n数列bn的前n项和Tn=2+322+523+（2n1）2n，2Tn=22+323+（2n3）2n+（2n1）

22、2n+1，Tn=2+2（22+23+2n）（2n1）2n+1=2（2n1）2n+1=（32n）2n+16，Tn=（2n3）2n+1+618甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，；（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；（3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分得再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率（参考公式：样本数据x1，

23、x2，xn的标准差：s=，其中为样本平均数）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差【分析】（1）由甲乙两组的成绩纪录，能作出甲、乙两位学生成绩的茎叶图（2）分别求出甲组同学成绩的平均分、方差和乙组同学成绩的平均、方差，由甲和乙两组同学成绩平均分相等，乙组同学成绩的方差大于甲组同学成绩的方差，得甲组同学模拟考试中发挥比较稳定（3）在甲、乙两组同学中，成绩不低于90分的有5人，其中甲组2人，乙组3人，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率【解答】解：（1）由甲乙两组的成绩纪录，作出甲、乙两位学生成绩的茎叶图如下：（2）甲组同学

24、成绩的平均分=（79+81+82+78+95+93+84+88）=85，甲组同学成绩的方差= （7985）2+（8185）2+（8285）2+（7885）2+（9585）2+（9385）2+（8485）2+（8885）2=35.5乙组同学成绩的平均分=（95+80+92+83+75+85+90+80）=85，乙组同学成绩的方差= （9585）2+（8085）2+（9285）2+（8385）2+（7585）2+（8585）2+（9085）2+（8085）2=41甲和乙两组同学成绩的平均分相等，乙组同学成绩的方差大于甲组同学成绩的方差，甲组同学模拟考试中发挥比较稳定（3）在甲、乙两组同学中，成绩不

25、低于90分的有5人，其中甲组2人，乙组3人，从中任取3人，基本事件总数n=10，抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率：p=1=19已知：如图所示，平面ABCD平面CDE，BCAD，BCD=90，CDDE，AD=DC=DE=2BC=2，G，H分别是BE，CE的中点（1）证明：AGCE；（2）求多面体ABGDCH的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由平面ABCD平面CDE得BC平面CDE，由中位线定理得GHBC，故GH平面CDE，于是GHCE，由CD=DE得DHCE，故而CE平面ADHG，从而得出AGCE；（2）多面体ABGDCH的体积对于四棱锥

26、EABCD的体积减去四棱锥EADHG的体积【解答】（1）证明：CD=DE，H是CE的中点，DHCE平面ABCD平面CDE，平面ABCD平面CDE=CD，BCCD，BC平面ABCD，BC平面CDE，G，H分别是BE，CE的中点，HGBC，GH平面CDE，CE平面CDE，GHCE，又DH平面ADHG，GH平面ADHG，DHHG=H，CE平面ADHG，AG平面ADHG，AGCE（2）解：BC平面CDE，BCAD，AD平面CDE，DE平面CDE，ADDE，又CDDE，CD平面ABCD，AD平面ABCD，ADCD=D，DE平面ABCD，VEABCD=（1+2）22=2GH是BCE的中位线，GH=AD平面

27、CDE，DH平面CDE，ADDH，四边形ADHG是梯形DC=DE=2，DCDE，H是CE中点，CE=2，DH=HE=VEADHG=多面体ABGDCH的体积V=VEABCDVEADHG=20平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=2的距离小1（1）求曲线C的方程；（2）设P为曲线C上一点，曲线C在点P处的切线交y轴于点A，若PAF外接圆面积为4，求点P的坐标【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；（2）求出切线方程，可得A的坐标，证明PF为PAF外接圆的直径，即可求出点P的坐标【解答】

28、解：（1）因为曲线C上的动点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=2的距离小1，所以动点M到直线x=1的距离与它到点F（1，0）的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y2=4x（2）设切点坐标为（m，n），则y=，曲线C在点P处的切线方程为yn=（xm），令x=0，可得y=，A（0， n），kAF=，AFPA，PF为PAF外接圆的直径PAF外接圆面积为4，PAF外接圆的半径为2，|PF|=4，m+1=4，m=3，n=2P（3，2）21已知函数f（x）=exalnx（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=（e1）x+1，求a；（2）当1ae2时，证明：f（x）

29、0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1：（2）讨论若0 x1，若x1，结合指数函数和对数函数的单调性，由恒成立思想可得f（x）0得0f（x）的最小值，求出导数，对a讨论，分1ae，eae2，求得最小值，即可得证【解答】解：（1）函数f（x）=exalnx的导数为f（x）=ex，在点（1，f（1）处的切线斜率为k=ea，由切线方程为y=（e1）x+1，可得ea=e1，解得a=1；（2）证明：若0 x1，由ex0，lnx0，1ae2，则f（x）=exalnx0显然成立；若x1，由f（x）0得0f（x）的最小值，f（x）=ex，由a0，可得f（x）=ex+0，可得ex在x1递增，可得f（x）ea，若1ae，即有f（x）0，f（x）递增，可得f（x）f（1）=e，显然f（x）0恒成立；当eae2，设f（x）=ex=0的解为m，即有1xm时，f（x）递减，xm时，f（x）递增，可得x=m处f（x）取得最小值emalnm，由f（1）=e0，em=alnme，即有1m2，f（2）=e2aln20，即有f（m）0综上可得当1ae2时，f（x）0请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题