第14章专训版整合提升密码

1、专训一：勾股定理及其逆定理的应用常见题型名师点金：勾股定理及其逆定理建立起了“数”与“形”的完美结合，利用这一定理，可以运用代数方法来研究几何问题中涉及本章内容的题目较多，题型有独立知识的填空、选择题等；的是将勾股定理及其逆定理作为一种解决问题段，综合在其他知识中进行命题利用勾股定理求线段长1，在等腰直角三角形ABC 中，ABC90，点 D 为AC 边的中点，过D 点作 DEDF，交 AB 于E，交 BC 于F，若 AE4，FC3，求 EF的长(第 1 题)利用勾股定理求面积2如图，长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，设点D 落在 D处，BC 交AD于点 E，AB6 cm，BC8 cm，求

2、阴影部分的面积(第 2 题)利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状3在ABC 中，点 D 为 BC 的中点，AB5，AD6，AC13，判断ABD的形状利用勾股定理证明线段的相等关系，AD 是ABC 的中线，试说明：AB2AC22(AD2CD2)4(第 4 题)利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题(第 5 题)5(中考青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为 12 cm，底面周长为 18 cm.在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.利用勾股定理的逆定理解决实际问题6如图，某港口位于东西方向的海岸线

3、上，A，B 两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A 舰每小时航行 32 海里，B 舰每小时航行 24 海里，它们离开港口一小时后，相距 40 海里，已知 A 舰沿东北方向航行，则 B 舰沿哪个方向航行？(第 6 题)专训二：利用勾股定理巧用旋转法解几何问题名师点金：对于条件较分散而题中又含相等的边(一般是相邻的边)时，用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去，即将含其中的一边的三角形旋转到两个相等的边重合的位置；当旋转角度为 90时，常结合勾股定理等知识进行解答利用旋转构造直角三角形求角度(构造法)1如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，P 是ABC 内的一点，且PB1，PC2，P

4、A3，求BPC 的度数(第 1 题)2如图，点E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将ABE 绕点B 顺时针旋转 90到CBE的位置若 AE1，BE2，CE3，求BEC 的度数(第 2 题)利用旋转判定三角形的形状3如图，点 D 是ABC 内一点，把ABD 绕点B 顺时针旋转 60得到CBE，且 AD4，BD3，CD5.判断DEC 的形状，并说明理由；求ADB 的度数(第 3 题)4，在等腰直角三角形 ABC 的斜边上取两点M，N，使MCN45，设 AMa，MNx，BNb，判断以 x，a，b 为边长的三角形的形状(第 4 题)专训三：勾股定理中几种常见的热门考点名师点金：本章

5、主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用和反证法，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一勾股定理及其应用1直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则连接这两条直角边中点的线段长为()A3B4C5D10(第 2 题)如图，长方形 ABCD 沿着直线BD 折叠，使点 C 落在点 C处，BC交 AD于点E，AD8，AB4，则 DE 的长为如图，已知C90，BC3 cm，BD12 cm，AD13 cm，ABC 的面积是 6 cm2.求 AB 的长度；求ABD

6、的面积(第 3 题)勾股定理的验证4如图，对任意符合条件的直角三角形 BAC，绕其锐角顶点 A 逆时针旋转90得EAD，所以BAE90，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 的面积相等，而四边形 ABFE 的面积等于 RtBAE 和 RtBFE 的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法(第 4 题)直角三角形的判别在ABC 中，AB12 cm，AC9 cm，BC15 cm，下列关系式成立的是()ABCABBCA CBCA D以上都不对已知|x12|z13|和(y5)2 互为相反数，则以x，y，z 为边长的三角形为三角形如图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的

7、边长都是 1，线段AB，EA 分别是图中 13 的两个长方形的对角线，请你说明：ABEA.(第 7 题)反证法8用反证法证明命题“如果 ab，那么3 a3 b”时，假设的内容应是(A.3 a3 bB.3 a3 bC. 3 a3 b且3 a3 bD.3 a3 b或3 a3 b9用反证法证明“在一个三角形中，不可能有两个角是钝角”的第一步是)10已知命题“在ABC 中，若 AC2BC2AB2，则C90”，要证明这个命题是真命题可用反证法，其步骤：假设，根据，一定有，但这与已知相是可知原命题是真命题11用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数，因此，假设是错误的，于利用

8、勾股定理求最短距离12如图，圆柱形无盖玻璃容器的高为 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm 的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 1cm 的 F 处有一，试求急于捕获充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度(第 12 题)利用勾股定理解决实际问题1311 世纪的一位数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是 30 肘尺(肘尺是古代的长度)，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，飞的速度相同，并且同时到达目标问这条鱼

9、出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？方法a方程14如图，四边形 ABCD 是长方形，把ACD 沿 AC 折叠得到ACD，AD与BC 交于点E，若 AD4，DC3，求 BE 的长(第 14 题)b分类15在ABC 中，若 AB20，AC15，AD 是BC 边上的高，AD12，试求ABC 的面积专训一1解：连接BD.等腰直角三角形 ABC 中，点 D 为AC 边的中点，BDAC(等腰三角形三线合一)，BDCDAD，ABD45，C45，ABDC.又DEDF，FDCBDFEDBBDF，FDCEDB.EBDC，在EDB 与FDC 中，BDCD，EDBFDC，EDBFDC(A.S.A.)，BEFC3，

10、AB7，则 BC7，BF4.在 RtEBF 中，EF2BE2BF2324225，EF5.2解：由折叠的性质可知 CDCD，又 CDAB，CDAB.在ABE 和CDE 中，BD90，AEBCED，ABCD，ABECDE，AEEC.设 AEx cm.在 RtABE 中，AB2BE2AE2，即 62(8x)2x2，2525x 4 ，ECAE 4 cm.112575(cm2)S2ECAB2 4 6 4阴影(第 3 题)解：如图，延长 AD 至点E，使 DEAD，连接 CE、BE.点D 为BC 的中点，CDBD.又ADDE，且ADCBDE，ADCEDB，BEAC13.AE2AD12，AE2AB21225

11、2169，BE2132169，AE2AB2BE2，EAB90.ABD 是直角三角形解：过点A 作 AEBC 于点E.在 RtABE 中，根据勾股定理，得 AB2AE2BE2.在 RtACE 中，根据勾股定理，得 AC2AE2CE2.由，得 AB2AC22AE2BE2CE2.在 RtADE 中，根据勾股定理，得 AE2AD2DE2.BDCD，CECDDE，BEBDDECDDE，AB2AC22(AD2DE2)(CDDE)2(CDDE)2(2AD22DE2)(2CD22DE2)2(AD2CD2)515点拨：将圆柱沿经过点 C 的高展开，得到一个长方形，在上面可以找到A，C 两点对应的位置，此时可以作

12、点A 关于长方形的边EF 的对称点 A，连接 AC，再根据“两点之间线段最短”即出结果解答过程如下：如图，作点A 关于EF 的对称点A，连接AC，则AC 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离过点C 作 CDAB，交 AB 于点D，在 RtADC 中，AD124412(cm)，CD1829(cm)，AC2AD2CD212292225，所以 AC15 cm.(第 5 题)6解：由题意得 OA13232(海里)，OB12424(海里)，因为 322242402，所以 OA2OB2AB2，即AOB 为直角三角形，且AOB90.又因为A 舰沿东北方向航行，所以 B 舰沿西北方向航行专训二1解：如图，作BCDAC

13、P，CDCP，连接 BD，PD，ACBACPPCB90，PCDPCBBCD，PCD90，PCD 是等腰直角三角形，CPD45，PD28.ACPBCD，BDAP3.在PBD 中，PD28，PB1，BD3，PD2PB2BD2.DPB90.BPCCPDDPB135.点拨：当题中所给已知条件相对分散的时候，可考虑添加辅助线将分散的条件集中在一起，如本题 PB1，PC2，PA3 看似没有关系，但是通过构造PCD和PBD，为研究这个问题创造了条件(第 1 题)(第 2 题)2解：如图，连接EE.由题意知ABECBE，AEEC1，BEBE2，ABECBE.又ABEEBC90，CBEEBC90，即EBE90，

14、由勾股定理，得EE 8.在EEC 中，EE 8，EC1，EC3，EE2EC2EC2，由勾股定理的逆定18090理可知EEC90.BEBE，EBE90，BEEBEE45，BECBEEEEC4590135.3解：(1)DEC 是直角三角形，理由如下： 因为ABD 绕点B 顺时针旋转 60得到CBE，所以CBEABD.所以 BEBD3，CEAD4.又因为DBE60，所以BDE 是等边三角形所以 DEBD3.又因为 CD5，所以 DE2CE232422552CD2.所以DEC 是直角三角形(2)由(1)，得DEC90，BDE 是等边三角形，所以BED60.所以BEC9060150.因为ABDCBE，2

15、(第 4 题)所以ADBBEC150.4解：如图，作 CDCM，且 CDCM，连接 ND，BD，ACBC，CDCM，ACBMCD90，ACMBCD，又ACBC，CMCD，CAMCBD，CBDA45，BDAMa.CMCD，DCNMCN45，CNCN，MCNDCN，NDMNx.CBDCAM45，CBA45，NBDCBACBD90，NB2BD2ND2，即b2a2x2，以x，a，b 为边长的三角形是直角三角形专训三1C2.513解：(1)C90，SAC4 cm.ABC2BCAC6，BC2AC2AB2，AB2324252，AB5 cm. (2)AB2BD252122169，AD2132169，AB2BD

16、2AD2，ABD90.112S ABBD 51230(cm )ABD224解：由题意得SABCSAED，S 正方形ACFDSAEDS 梯形ACFESABCSS，即b211(ba)(ba)，整理得 2b2c2(ba)(b2S2c 2梯形ACFEBAEBFEa)，a2b2c2.5B6.直角7解：连接BE.AE2123210，AB2123210，BE2224220，AE2AB2BE2，ABE 是直角三角形，且BAE90，即 ABEA.8D9.假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角 10C90；勾股定理；AC2BC2AB2；AC2BC2AB211证明：假设这两个整数都是奇数，不妨设其中一个为 2n1

17、，另一个为2m1(n，m 为整数)，于是(2n1)(2m1)4mn2n2m12(2mnnm)1.无论n，m 取何值，2(2mnnm)1 都是奇数，这与已知中两个整数的积是偶数相，假设不成立，这两个整数中至少有一个是偶数12解：将圆柱的侧面的一半沿 AB 展开，于E.，过点C 作 CEAB在 RtCEF 中，CEF90，EF181116(cm)，1CE26030(cm)由勾股定理得 CF2CE2EF2302162342，即 CF34 cm.答：蜘蛛所走的最短路线的长度是 34 cm.(第 12 题)(第 13 题)13解：如图，由题意得 AB20 肘尺，DC30 肘尺，BC50 肘尺，设EC 为 x 肘尺，BE 为(50 x)肘尺，在 RtABE 和 RtDEC 中，AE2AB2BE2202(50 x)2，DE2DC2EC2302x2，又AEDE，x2302(50 x)2202，解得 x20.答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺14解：CDCDAB3，DDB90，ADAD4，又AEBCED，所以ABECDE，所以 BEDE.设 BEDEx