《现代控制理论(第三版)》答案刘豹_唐万生编

1、2- K ps K 1x5 +J第一章答案1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。U (s) + K 1+ Kps K1 + 1s - J1s-Kn sKb ( s)J2s图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：+U ( s) -K1 + x6+K p-K1KpKpK 1 + 1 x3 K b1 J 2-x4K nx2 x1(s)图1-30双输入 -双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：J HYPERLINK l _bookmark7 1K HYPERLINK l _bookmark8 1J HYPERLINK l _bookmark1 2K pK p

2、K p1K?x1?x2?x3?x4?x5?x6x HYPERLINK l _bookmark1 2K b x HYPERLINK l _bookmark2 3K p x HYPERLINK l _bookmark3 3x HYPERLINK l _bookmark4 3K 1x HYPERLINK l _bookmark5 3x HYPERLINK l _bookmark6 1J1K nx4J1 J1 阿1 x5 K p x6K 1X 6x6 K1 u令 (s) y ，则 y x1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为?x1?x2?x3x4?x5?x6y00000K 1 K p1 0 0

3、10000000 K b J2K pJ 11 K 1 00 000K n J 1000 x1x2x3x4x5x6001J00000K pJ 10K 1 K1 K px1x2x3x4x5x600000K 1 K pu1-2 有电路如图 1-28 所示。以电压 u(t) 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R 2 上的电压作为输出量的输出方程。R1 L1 L2i1 i2CU-Uc- R2图1-28 电路图解：由图，令 i1 x1 , i 2有 电 路 原 理 可x?x1?2?x3y211CLLR1 x HYPERLINK l _bookmark9 1R 2 x

4、 HYPERLINK l _bookmark10 2x1R2x2L1 L111 1C1x3 ux3L2x2写成矢量矩阵形式为：。x1。x2。x3yRL1101C0 R2xR02L21C10 x2x3L1L1 120知x2 , uc：x3 ，输出量 y R2 x2R1 x1 L1 x1 x3 u?L2 x 2 R2 x2 x3?x1 x2 C x3既 得x1x2x3L110 u 01-4 两输入 u 1， u2 ，两输出 y1， y2 的系统，其模拟结构图如图 1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。ax1 x2 x3 x40 00 b20 0b1 0 uu1b1 +-a1a2y1-a

5、5 a6 1u2 b2 + - + +- a34图1-30 双输入 -双输出系统模拟结构图y2解：系统的状态空间表达式如下所示：x1x2x3x40a2101a10a5x1x2x3x41s a10a5y1 0 1 021as(sI A)0Wux ( s) (sI A) 1 BWuy ( s) C (sI A) 1 B0 0 0 a HYPERLINK l _bookmark11 60 1 a4 a HYPERLINK l _bookmark12 310 00 a6s 1a4 a3sa2 s a HYPERLINK l _bookmark7 11 0 0 a HYPERLINK l _bookma

6、rk13 51 0 1 0s10 0 0 0 0 a6 b1 0 s 1 0 0 a4 a3 0 b HYPERLINK l _bookmark10 21 0 0 1 0 0a2 s a1 0 a6 b1 01 0 s 1 0 00 a5 a4 a3 0 b2x HYPERLINK l _bookmark7 1x HYPERLINK l _bookmark17 3s(s 2)( s 3) 21-5 系统的动态特性由下列微分方程描述. . . .(2) y 5 y 7 y 3y u 3u 2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令 x 1。x1。x2。x3003. .y， x

7、 2 y， x 3 y ，则有1 0 x HYPERLINK l _bookmark14 10 1 x HYPERLINK l _bookmark15 27 5 x HYPERLINK l _bookmark2 300 u 1x HYPERLINK l _bookmark14 1y 2 3 1 x HYPERLINK l _bookmark15 2x HYPERLINK l _bookmark2 3相应的模拟结构图如下：u-513+ 2 +x HYPERLINK l _bookmark16 273+ y1-6 （2）已知系统传递函数 W ( s) 6( s 1) ,试求出系统的约旦标准型的实现

8、，并画出相应的模拟结构图解： W (s)10 16( s 1) 4 3 3 3s( s 2)( s 3)2 ( s 3)2 s 3 s 2 sx1 x2 x3 x411( s 3)( s 2)( s 1)s3 1 00 3 00 0 20 0 0y410 133 30000 x1 x2 x3 x4x1x2x3x40u11-7 给定下列状态空间表达式yx1x2x30（1） （2）解：1 1 3 x3 20 1 0 x1 02 3 0 x2 1 u x10 1 x HYPERLINK l _bookmark16 2x HYPERLINK l _bookmark18 3画出其模拟结构图求系统的传递函

9、数s1 0（2） W( s) (sI A) 2 s 3 01 1 s 3sI A s( s 3)2 2(s 3) ( s 3)( s 2)( s 1)s 3 2 s 3 0(sI A) 1 1 2( s 3) s( s 3) 05 s 1 ( s 1)( sWux ( s) (sI A) 1 B1(s 3)( s 2)( s 1)s 3 2 s 3 2( s 3) s(s 3)s 5 s 11( s 3)( s 2)(s 1)(s HYPERLINK l _bookmark19 3)s( s HYPERLINK l _bookmark20 3)(2s 1)( s HYPERLINK l _bo

10、okmark2 3)2)(s0 00 11)(s 2) 22 ）(s HYPERLINK l _bookmark19 3)Wuy ( s) C (sI A) 1 B 0 0 1 s( s HYPERLINK l _bookmark20 3)(2s 1)( s HYPERLINK l _bookmark2 3)(2s 1)( s 2)(s 1)1-8 求下列矩阵的特征矢量1(s 3)( s 2)( s 1)01（3） A312072p026, 310711I A31023261112 7 6解： A 的特征方程解之得：11, 2031230 p112 p216 p31ppp11p21p3111得

11、 P1 p2131当 1 1 时，解得： p21 p31令 p11 1（或令 p11当 1 2 时，pp111 ，得 P1 p21310 1 03 0 2p11 ）112p22 2p12 p22pp解 得 ：12P2 p2232p12222417 62 p12 , p3221pp32 p3212令 p12 261110得（或令 p12 1 ，得 P2p12p22p32112x2x3x15 3,pppp当 1 3 时，0 1 0 p133 0 2 p2312 7 6 p33133 p23p33解 得 ：13P3 p2333231333 p13 , p33 3 p13令 p13 1得1-9 将下列

12、状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）x1 x2 x3y1 y24 1 21 0 21 1 31 2 00 1 1x1x2x33 12 7 u（2）解： A 的特征方程 I A4 1 21 2 ( 1)( 3) 2 01 1 31 2 3, 3 1当 1 3 时，解之得 p21411p31101p11223p11p21p31p113 p21 p31令 p11 1得 P1p11 1p21 1p31 1当 2 3时，解之得 p12411p221 20 21 31, p22p11p21p31p32p113 p21p31令 p121111得 P2p12 1p22 0p32 0114 1 2 p13

13、p13当 3 1 时， 1 0 2 p23 p231 1 3 p33 p33解 之 得 p13 0 , p23 2 p33p13 0P3 p23 2p33 1令 p33 1 得1 1 0T 1 0 21 0 1T010111221T B0 1 2 3 11 1 2 2 70 1 1 5 38 15 23 41 1 0 1 2 0 3 1 4xCT 1 0 2 约旦标准型0 1 1 2 0 31 0 1y300321301000143xx8 15 2 u3 4第二章答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数 eAt 。（2） A=p21p11 p21 3 p111At22 4eeesI A1 1

14、4 1解：第一种方法：令 I A 0则14求解得到11120 ，即 1 4 0 。3， 2 1当 1 3 时，特征矢量由 Ap1 1 p1 ，得1 14 1p11p1p11 3 p11p21 3 p21即，可令 p1 4 p11 p21 3 p2112当 2 1时，特征矢量由 Ap2 2 p2 ，得1 14 1p2p12p22p12p22p12p22即p12 p22 4 p12 p22p12 p22，可令 p212则T1 12 2， T1 12 41 12 4e1212e3t00et1 12 41 12 4e1 3t2e3t1 t 1 e3te t 1 e3t1 t41 t2第二种方法，即拉氏

15、反变换法：s1 14 s 1Le3teeeee3teAteeeee2t2t2t2tsI A 11 s 1 1s 3 s 1 4 s 1s1 1s 3 s 1 s 3 s 14 s 1s 3 s 1 s 3 s 11 1 1 1 1 12 s 3 s 11 1s 3 s 14 s 3 s 11 1 12 s 3 s 1eAt 1sI A1 3t1 2e1 t2et1 3t41 3t21 t41 t2第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知 1 3， 2 10111 31 1e e t3t1 34 41 14 4ee te1 3t4e1 3t43 t41 e t 4ee1 3t43 t41 0

16、0 11 3t43 e t 41 14 1e1 3t2e3t1 t2ete1 3t4e1 3t21 t41 t22-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。（ 3 ） t2e t e tee2e2e2e te t（ 4 ）2e t 2e 2t2 2eeee11sI Ax011t2e t e3t e t e3t1412e t e3te t e3t解： （3） 因为 0 10A t t 0 e t 2e 2t（4）因为 01 00 101I， 所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件4e2t 2e t4e 2t e t t 00 21 3I ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的

17、条件A t t 01 t 3 e3te t 3e3t1 t41 t2e3 3t43 3t2 t 01 14 12-6 求下列状态空间表达式的解：x0 10 0uy 1,0 x初始状态 x 0 ，输入 u t 时单位阶跃函数。解： A0 10 0s10 ssI A1 1s2s 10 s1s01s21sAtx 0 0 t Bu d01t tt1 X+11 X +2uttt因为x teBt1 t 0 1t11L1 sI A1 1 t0 1， u t I tt11t 1 t0 0 101d0 1 d111 22t1 22tt11y 1 0 x 1 t 2 t 12-9 有系统如图 2.2 所示，试求离

18、散化的状态空间表达式。设采样周期分别为 T=0.1s 和 1s，而 u1 和 u2 为分段常数。u 1 x 1K/(s+1) Xu2-+ 1/sx 2 y+2图 2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图K X -x1u2-X x 2 + y21 s 1 e1 0eT01 0 kx x2 120 x列出状态方程x1 ku1 x1x2 x1 u2y x2 2x11 0 k 0 u11 0 0 1 u2y x1则离散时间状态空间表达式为x k 1 G T x k H T u ky k cx k Du k由 G T eAt 和 H T eAt dtB 得：0 TA B C1 0 0 1At L 1

19、sI A L 1 s 1 e T T2101T TH 0 eAt dt 0当 T=1 时当 T=0.1 时e t 1 e Tdt1 e 11e0 k 01 0 1 Tx k 101 e T1 e Tx k10 k 0 T 0 1k 1 e 1 ke 1ky k 1 2 1 x1 e 0.1 10.10ex k 1 x kk 1 e k e 0.1y k 1 2 1 x kk 1 e T k T 1 e T0Tu k10.10.90u k0.10 0 x2 00 x3 0第三章答案3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件

20、如何？（1）系统如图 3.16 所示：u +-x1ax2 + + x3 +- -b c d-图3.16系统模拟结构图yx4解：由图可得：?x1 ax1 u ? x2 bx HYPERLINK l _bookmark10 2? x3 cx3 x HYPERLINK l _bookmark21 2?x4 x3 dx HYPERLINK l _bookmark22 4y x HYPERLINK l _bookmark23 3状态空间表达式为：?x1 a 0?x2 0 bx3 1 1? 0 0 x HYPERLINK l _bookmark24 4y 0 0 1 0 xx1 x1 x2 cx30 0

21、x1 1c u1 d x4 0? ? ?由于 x2 、 x3 、 x4 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 y 只与 x3 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。12uyX 1 1x（3）系统如下式：?x1?x23y0 0 01 10 10 0c 0 d x解：如状态方程与输出方程所示，0 x1 2 10 x2 a 0 u2 x3 b 0A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有 a 0, b 0 。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有c 0 , d 0 。3-2 时不变系统? X311X31

22、11 11 1试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：AMrankM 1 2, 系统不能控。rankN 2 , 系统能观。31,1B3111,11 1 - 2B AB1 1 - 21CNCA41 C1- 2- 2112411方法二：将系统化为约旦标准形。111I A1 2，则状态矢量： A 1P1A 2 P2T1T - AT 22T - BCT312 41 P12 P21 1，1 - 11 23 1 031TPP12-111- 11 12 21 12 212121212- 3112121 1 1 - 2 0- 3 1 - 1 0 - 41 1 1 11 1 0 01 1 1 1 2 01

23、 - 1 1 - 1 0 2T -1B 中有全为零的行， 系统不可控。 CT 中没有全为 0 的列， 系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和 i0(1) A 11, b2,1C1解：构造能控阵：要使系统完全能控，则 构造能观阵：1 111M b Ab1 121 1 2 ，即 1 2 1 0CNCA11112210 6 15要使系统完全能观，则 1 23-4 设系统的传递函数是y( s) u( s) s31 ，即1s a10s 27s2 1 018（1）当 a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（2）当 a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式

24、。（3）当 a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解： (1) 方法 1 ： W (s) 系统能控且能观的条件为 W(s)没有零极点对消。因此当 a=1,或 a=3或 a=6 时，系统为不能控或不能观。 方法 2：y(s) s a u(s) (s 1)(s 3)( s HYPERLINK l _bookmark11 6)1?X1，1002030a- 110s13， 300 X6a 3 a - 66 15s 3 s 6611 u 1y a 1 a 3 a 6 X系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列。因此当 a=1,或a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。（2

25、）当 a=1, a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型传递函数为 W( s) 6s3 6s2 11s 6s6ys 4s 3s 6s 8xy0 10 018 27a 1 0 x0 01 x 010 1（3）根据对偶原理，当ua=1, a=2或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为0 0 18 ax 1 0 27 x 1 u0 1 10 0y 0 0 1 x. .3-6 已知系统的微分方程为： y 6 y 11y 6y 6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解： a0 6， a1 11， a2 6， a3 3， b0 6系统的状态空间表达式为0 1 0 0 x 0 0 1

26、 x 0 u6 11 6 1y 6 0 0 x传递函数为1 0 1 0W(s) C(sI - A) - 1 B 6 0 0 0 s 1 06 11 s 6 1其对偶系统的状态空间表达式为：0 0 6 6x 1 0 11 x 0 u0 1 6 00 0 1 xs3 6s2 11s 63-9 已知系统的传递函数为2W( s ) 22s12x0120 - 3 51 - 4 2s试求其能控标准型和能观标准型。解： W (s) 26s 84s 32s 5s 4s 3系统的能控标准 I 型为x y0 1- 3 - 45 2 x uu能观标准 II 型为x x uy 0 1 x u3-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。解： ArankM 2CN CACAxy0 1 02 3 0 ， b1 1 30 12 31 10 0 1 x0000 x1 u3