人教版导与练总复习数学一轮教学课时作业：第二章第4节　幂函数与二次函数

1、第4节幂函数与二次函数知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练幂函数的图象与性质1,2,511二次函数的图象与性质3,4,610,1215二次函数的综合问题7,8,913,1416,17,181.已知点(a,18)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是(B)A.定义域内的减函数B.奇函数C.偶函数D.定义域内的增函数解析:因为点(a,18)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,所以a-1=1,解得a=2,则2b=18,解得b=-3,所以f(x)=x-3,所以函数f(x)是定义域上的奇函数,且在每一个区间内是减函数.故选B.2.(2021安徽合肥高三月考)已知幂函数f(

2、x)=(n2+2n-2)xn2-3n(nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为(B)A.-3B.1C.2D.1或2解析:因为幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,所以n2+2n-2=1,n2-3n是偶数,n2-3n0,解得n=1.故选B.3.已知函数f(x)=1x2-2x-3,规定区间E,对任意x1,x2E,当x1x2时,总有f(x1)0,得x3或x0)图象的关系可能为(A)解析:对于A,二次函数y=ax2+bx的图象开口向上,则a0,其对称轴x=-b2a0,则ba0)为减函数,符合题意;对于B,二次函数y=a

3、x2+bx的图象开口向下,则a0,则ba0)为减函数,不符合题意;对于C,二次函数y=ax2+bx的图象开口向上,则a0,其对称轴x=-b2a=-1,则ba=2,即幂函数y=xba=x2(x0)为增函数,且其增加得越来越快,不符合题意;对于D,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a-12,则0ba0)为增函数,且其增加得越来越慢,不符合题意.故选A.5.(多选题)(2021福建闽江口高三联考)若幂函数y=f(x)的图象经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上是(AC)A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数解析:因为y=f(x)是幂函数,设f(x)=xa(aR),而其图象过点(27

4、,3),即f(27)=27a=3,解得a=13,于是得f(x)=x13,且f(x)的定义域为R,显然f(x)是定义在R上的增函数,C正确;f(-x)=(-x)13=-x13=-f(x),则f(x)为定义在R上的奇函数,A正确.故选AC.6.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f(x-12)是偶函数,则函数f(x)的解析式为.解析:因为y=f(x-12)是偶函数,有f(x-12)=f(-x-12),所以f(x)的图象关于直线x=-12对称,即-b2=-12,故b=1,又图象经过点(1,13),所以f(1)=13,可得c=11,故f(x)=x2+x+11.答案:

5、f(x)=x2+x+117.(2021江苏常熟中学高三三模)已知函数f(x)同时满足f(0)=0;在1,3上单调递减;f(1+x)=f(1-x),则该函数的表达式可以是f(x)=.解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)的图象关于直线x=1对称,可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在1,3上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2.答案:2x-x2(答案不唯一)8.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0),若f(x)在区间2,3上有最大值5,最小值2.若b0时,f(x)在2,3上为增函数,可得9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2,所以a=1,b=0.当a0

6、时,f(x)在2,3上为减函数,可得9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5,解得a=-1,b=3(舍去).则f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2.因为g(x)在2,4上单调,所以2+m22或m+224,即m2或m6,故m的取值范围为(-,26,+).答案:(-,26,+)9.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.(1)当a=2时,求f(x)在0,3上的最大值和最小值;(2)若f(x)在区间-1,+)上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x2,x2-2x,x2,即f(x)=(

7、x+1)2-9,x2,(x-1)2-1,x2,当x0,2)时,-1f(x)0;当x2,3时,0f(x)7,所以f(x)在0,3上的最大值为7,最小值为-1.(2)因为f(x)=x2+ax-2a-4,x2,x2-ax+2a-4,x2,又f(x)在区间-1,+)上单调递增,所以当x2时,f(x)单调递增,则-a22,即a-4;当-1x2时,f(x)单调递增,则a2-1,即a-2,且4+2a-2a-44-2a+2a-4恒成立,故实数a的取值范围为-4,-2.10.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(x+2)是偶函数,则下列大小关系可能正确的是(A)A.f(2)f(-ba)=cB.f(-ba)f

8、(x)f(-ba)cD.f(-ba)0时,f(2)是最小值,因此f(2)f(-ba)=c成立.故选A.11.已知实数a,b满足等式a3=b5,给出下列五个关系式:1ba;ab-1;0ba1;-1ab0;a=b,其中可能成立的关系式有(C)A.1个 B.2个C.3个 D.5个解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=x3和y=x5的图象,如图所示.数形结合可知,在(1)处ab-1;在(2)处-1ba0;在(3)处0ab1;在(4)处1b0时,有-1a4a-12,即0a2时,f(x)max=f(-1),不符合题意;当a=0时有f(x)=2x2+1,图象的对称轴为直线x=0且开口向上,f(x)在-1,

9、a上单调递减,f(x)max=f(-1),不符合题意;当-1a0时,有-1a0,求x1x2+x2x1的最小值.解:(1)因为f(x)=2x2+ax+b过点(0,-1),所以f(0)=-1,解得b=-1,则f(x)=2x2+ax-1.因为f(-1)=f(2),所以2-a-1=8+2a-1,解得a=-2,所以f(x)=2x2-2x-1.(2)令f(x)=-32,解得x=12,令f(x)=3,解得x=-1或2,因为f(x)在m,m+2上的值域为-32,3,所以当m=-1时,f(x)在-1,1上的值域满足题意;当m+2=2,即m=0时,f(x)在0,2上的值域满足题意,故m=-1或0.(3)g(x)=

10、f(x)-tx+t=2x2-(2+t)x+t-1,函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x20,即2x2-(2+t)x+t-1=x有两个不相等的正实数根x1,x2,即2x2-(t+3)x+t-1=0有两个不相等的正实数根x1,x2,则=(t+3)2-8(t-1)0,x1+x2=t+320,x1x2=t-120,解得t1,则x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=(t+32)2t-12-2=12(t-1)+16t-1 +22+122(t-1)16t-1=6,当且仅当t=5时取等号,故x1x2+x2x1的最小值为6.15.

11、(多选题)已知f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1(kR).下列四个命题正确的是(AB)A.对任意实数x,存在k,使得f(x)0B.对任意k,存在实数x,使得f(x)0C.对任意实数k,x,均有f(x)0成立D.对任意实数k,x,均有f(x)0,故B正确,D错误;因为当k(-,12)(1,+)时,=-4(2k-1)(k-1)0恒成立,故A正确;因为当k12,1时,=-4(2k-1)(k-1)0,所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0有一根或两根,所以对任意x,f(x)0不恒成立,故C错误.故选AB.16.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),满足f(2)0),在区

12、间0,1上的最大值为5,则m的值为.解析:因为f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,所以k=-2或k=1.当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)f(3),当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)0),当0m1时,g(x)在区间0,m)上单调递增,在区间(m,1上单调递减.所以g(x)max=g(m)=m2+1=5,所以m=2,均不符合题意,舍去,当m1时,g(x)在区间0,1上单调递增,所以g(x)max=g(1)=2m=5,所以m=52,符合题意,综上所述,m=52.答案:5217.(2021浙江高二学业考试)若函数f(x)=x|x-a|(0 x2)的最大值是1,则实数a的值是.解析

13、:f(x)=x|x-a|=-x2+ax,x0时,f(x)的大致图象如图所示,可求得f(a2)=f(1+22a),当a22,即a4时,f(x)在0,2上单调递增,f(x)max=f(2)=-22+2a=1,则a=52,与a4矛盾,故舍去;当1+22a2,即0a4(2-1)时,f(x)在0,a2上单调递增,在(a2,a上单调递减,在(a,2上单调递增,且f(2)f(1+22a)=f(a2),则f(x)max=f(2)=22-2a=1,解得a=32,与0a4(2-1)相符;当a221+22a,即4(2-1)a4时,f(x)max=f(a2)=-( a2) 2+a22=a24=1,解得a=2,与4(2-1)a0,bR,若|ax3-bx2+ax|bx4+(a+2b)x2+b对任意x12,2都成立,则ba的取值范围是.解析:不等式两边同时除以ax2,得|x-ba+1x|bax2+ba1x2+2ba+1,整理得ba(x+1x)2+1|x+1x-ba|,令t=x+1x,x12,2,则t2,52,则bat2+1|t-ba|,由于对任意x12,2都成立,则有bat2+1|t-ba|对任意t2,52恒成立,(1)当ba=0时,1t不成立,不符合题意;(2)当ba0时,则当t=52时,不等式左边取到最小,右边取到最大,满足题意,则254ba+152-ba,解得ba6