高三数学教案：抛物线经典例题讲解

1、高三数学教案：抛物线经典例题讲解【】鉴于大家对查字典数学网非常关注，小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：抛物线经典例题讲解，供大家参考!本文题目：高三数学教案：抛物线经典例题讲解抛物线习题精选精讲1抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的间隔 相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美妙的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华美的篇章.【例1】P为抛物线 上任一点，F为焦点，那么以PF为直径的圆与y轴 相交 相切 相离 位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是.作PH

2、于H，交y轴于Q，那么 ，且 .作MNy轴于N那么MN是梯形PQOF的中位线， .故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论那么分别是相离或相交的.2焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 两点，求证：1 2【证明】1如图设抛物线的准线为 ，作.两式相加即得：2当ABx轴时，有成立;当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： .代入抛物线方程：.化简得：方程1之二根为x1，x2， .故不管弦AB与x轴是否垂直，恒有 成立.3切线

3、抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的根本功.【例3】证明：过抛物线 上一点Mx0，y0的切线方程是：y0y=px+x0【证明】对方程 两边取导数：.由点斜式方程：y0y=px+x04定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人忽略的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，那么此动圆必过定点 显然.此题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线 的通径长为2p;3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么：以下再举一例【例4】设抛

4、物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的间隔 为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜测：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为 ，那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法1解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题如对称问题等.【例5】07.四川文科卷.10题抛物线y=-x2+3上存在关于直线x

5、+y=0对称的相异两点A、B，那么|AB|等于 A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为： . 由设方程1之两根为x1，x2，那么 .设AB的中点为Mx0，y0，那么 .代入x+y=0：y0= .故有 .从而 .直线AB的方程为： .方程1成为： .解得：，从而 ，故得：A-2，-1，B1，2. ，选C.2几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的开展，但伴之而来的却是难以防止的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研

6、究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】07.全国1卷.11题抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，那么 的面积 A. B. C. D.【解析】如图直线AF的斜率为 时AFX=60.AFK为正三角形.设准线 交x轴于M，那么且KFM=60， .选C.【评注】1平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式 计算.2此题假如用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.3定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但假如返朴归真，用最原始

7、的定义去做，反而特别简单.【例7】07.湖北卷.7题双曲线的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ;抛物线 的线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，那么 等于 A. B. C. D.【分析】 这道题假如用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作 ，令.点M在抛物线上，这就是说： 的本质是离心率e.其次， 与离心率e有什么关系?注意到：这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .选 A.4三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函

8、数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系施行九九归一到达解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】07.重庆文科.21题如图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;假设a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】焦点F2，0，准线 .直线AB：代入1，整理得：设方程2之二根为y1，y2，那么 .设AB中点为AB的垂直平分线方程是： .令y=0，那么故于是|FP|-|FP|cos2a= ，故为定值.5消去法合理减负的

9、常用方法.防止解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永久课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的不战而屈人之兵.【例9】 是否存在同时满足以下两条件的直线 ：1 与抛物线 有两个不同的交点A和B;2线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.假设不存在，说明理由，假设存在，求出直线 的方程.【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：6探究法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似树高荫深，叫樵夫难以下手.这时

10、就得冷静分析，探究规律，不断地猜测证明再猜测再证明.终于发现无限风光在险峰.【例10】07.安徽卷.14题如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当n时，这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】设OA上第k个分点为第k个三角形的面积为：故这些三角形的面积之和的极限抛物线定义的妙用对于抛物线有关问题的求解，假设能巧妙地应用定义考虑，常能化繁为简，优化解题思路，进步思维才能。现举例

11、说明如下。一、求轨迹或方程例1. 动点M的坐标满足方程 ，那么动点M的轨迹是 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对解：由题意得：即动点 到直线 的间隔 等于它到原点0，0的间隔 由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点0，0为焦点，以直线 为准线的抛物线。应选C。二、求参数的值例2. 抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点间隔 为5，求m的值。解：设抛物线方程为 ，准线方程：点M到焦点间隔 与到准线间隔 相等解得：抛物线方程为把 代入得：三、求角例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，假设A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，那么 _。A. 45 B

12、. 60 C. 90 D. 120图1解：如图1，由抛物线的定义知：那么由题意知：即应选C。四、求三角形面积例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，假设 ， 。求OPQ的面积。解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点图2那么由抛物线定义知：又 ，那么由 得：即五、求最值例5. 设P是抛物线 上的一个动点。1求点P到点A-1，1的间隔 与点P到直线 的间隔 之和的最小值;2假设B3，2，求 的最小值。解：1如图3，易知抛物线的焦点为F1，0，准线是由抛物线的定义知：点P到直线 的间隔 等于点P到焦点F的间隔 。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A-1，1的

13、间隔 与点P到F1，0的间隔 之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，那么所求最小值为 ，即为 。图32如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，那么六、证明例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直 于H。图5由抛物线的定义有：ABDC是直角梯形即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故此题得证。抛物线与面积问题抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点

14、的位置及坐标点之间的间隔 ，得出相应的线段长或高，从而求解。例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为-1，0。点C0，5、点D1，8在抛物线上，M为抛物线的顶点。图11求抛物线的解析式;2求MCB的面积。解：1设抛物线的解析式为，根据题意得，解得所求的抛物线的解析式为2C点坐标为0，5，OC=5令 ，那么 ，解得B点坐标为5，0，OB=5顶点M的坐标为2，9过点M作MNAB于点N，那么ON=2，MN=9例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。图21求出这个二次函数的解析式和对称轴。2在

15、坐标轴上是否存一点P，使PMA中PA=PM，假如存在，写出P点的坐标，假如不存在，说明理由。解：1等腰直角OAB的面积为18，OA=OB=6M是斜边OB的中点，点A的坐标为6，0点M的坐标为3，3抛物线，解得解析式为 ，对称轴为2答：在x轴、y轴上都存在点P，使PAM中PA=PM。P点在x轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为3，0。P点在y轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为0，-3。例3. 二次函数 的图像一部分如图3，它的顶点M在第二象限，且经过点A1，0和点B0，1。图31请判断实数a的取值范围，并说明理由。2设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当AMC的面积为ABC面积的 倍时，

16、求a的值。解：1由图象可知： ;图象过点0，1，所以c=1;图象过点1，0，那么 ;当 时，应有 ，那么当 代入得 ，即所以，实数a的取值范围为 。2此时函数 ，要使可求得 。例4. 如图4，在同一直角坐标系内，假如x轴与一次函数 的图象以及分别过C1，0、D4，0两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。图41求K的值;2求过F、C、D三点的抛物线的解析式;3线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向挪动点P不重合于点C，过P点作直线PQCD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。解：1点A、B

17、在一次函数 的图象上，且四边形ABDC的面积为72由F0，4，C1，0，D4，0得3PD=1t=tOP=4-t即 。抛物线1抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q： 的右焦点F1重合，且点 在椭圆Q上。求椭圆Q的方程及其离心率;假设倾斜角为45的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求ABF1的面积。解：由题意知，抛物线 的焦点为1，0椭圆Q的右焦点F1的坐标为1，0。 又点 在椭圆Q上， 即 由，解得 椭圆Q的方程为 离心离由知F2-1，0直线l的方程为 设由方程组 消y整理，得又点F1到直线l的间隔 2如下图，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为5，0，倾斜角为 的直线l与

18、线段OA相交不经过点O或点A且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中-5-4x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=2m-42-4m2=161-m0,解得m1,又-5设Mx1,y1,Nx2,y2那么x1+x2=4-2m，x1x2=m2,|MN|=4 点A到直线l的间隔 为d=S=25+m ,从而S2=41-m5+m2=22-2m5+m5+m2 3=128S8 ,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号 故直线l的方程为y=x-1，AMN的最大面积为8解法二 由题意，可设l与x轴相交于B

19、m,0, l的方程为x = y +m,其中0由方程组 ,消去x,得y 2-4 y -4m=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=-42+16m=161+m0必成立,设Mx1,y1,Nx2,y2那么y 1+ y 2=4，y 1y 2=-4m,S= =4 =4S8 ,当且仅当 即m=1时取等号故直线l的方程为y=x-1，AMN的最大面积为83O为坐标原点，P 为 轴上一动点，过P作直线交抛物线 于A、B两点，设SAOB= ，试问： 为何值时，t获得最小值，并求出最小值。解：交AB与 轴不重叠时，设AB的方程为合 消y可得：设A B 那么 ， 交AB与x轴重叠时，上述结论仍然成立又当

20、 时 取=， 综上 当要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种兴趣活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的才能，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的才能，强化了记忆，又开展了思维，为说打下了根底。要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、