江西省赣州市赣县三中2020届高三1月考前适应性考试数学(理)试卷含答案

1、江西省赣州市赣县三中2020届高三1月考前适应性考试数学（理）试卷一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） TOC o 1-5 h z .设集合 A x|2 x 4,B x|3x 7 8 2x,则 AUB 等于（）A.x|3x 4 B. x|x3 C.x|x2 D.x| x2.若复数z满足（3 4i）z 11 2i ,其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A.2B. 2C.2iD.2i.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制

2、不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数一，1.函数f（x） ln|x|的图象大致为（）xA.甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球,乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（A.5256.若非零向量C. 12 D. 13 r r r rra , b

3、满足|a| |b | ,向量2ar , r 一， 一 r , r , 一，b与b垂直，则a与b的夹角为（A. 150 B . 1207.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.220191 b ,220192 C , 220202 D .8.正项等差数列an的前n和为Sn,已知aA.9.35已知AB. 36B是过抛物线y213C.2 Px ( p 0)220201a7 a5150,则 S9=（45D. 54焦点F的直线与抛物线的交点,。是坐标原点，且满足uuurAFuuu2FB，S OAB一 2A y 4x31 -x4| AB | ,则抛物线的标准方程为（-2_y 8x2d.y.关于函数f

4、0,1单调递减;cos x cosxX在 ，有下述四个结论： f x是偶函数；fX在区间有2个零点；f X的最大值为2.其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.如图，矩形ABCD中，AB 2AD,E为边AB的中点，将ADE绕直线DE翻转成A BE （A1平面ABCD）,若M,O分别为线段AC,DE的中点，则在ADE翻转过程中, 卜列说法错误的是（）A.与平面AiDE垂直的直线必与直线B.异面直线BM与AE所成角是定值C. 一定存在某个位置，使 de moD.三锥Ai ADE外接球半径与棱M丽直AD的长之比为定值x12.若关于x的方程与上反e x e0有三个不相等的实数解 为？2,R，且为0 x

5、2 x3,其中me R, e为自然对数的底数,(占 1)2ex11）（国1）的值为（ ex3A.1+m B. e C.m-1D.15分，共20分）二、填空题（本题共 4小题，每小题3 s34 ,则S9S6的最小值为.曲线f（x） xlnx x在点x 1处的切线方程为.已知Sn为正项等比数列 a 的前n项和，若S6.将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a,第一次得到的点数记为 b,则方ax by 3程组有唯一解的概率是x 2y 222.已知F1, F2分别为双曲线 勺 4 1a 0,b 0的左、右焦点，以F1F2为直径的圆 a2 b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M , N ,

6、设四边形F1NF2M的周长为P,面积为S ,且满足32S p2 ,则该双曲线的离心率为 .三、解答题每小题 12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.已知在 ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c ,且c2sin Bb2 c2 a2 sin C ,且uuu uuuAB AC 9 （1）求 ABC的面积；（2） D为BC边上的点，且满足 BD 2DC ,当a取得最小值时，求 AD的长.ABC 12018.如图，已知多面体 ABC ABC- AA, B1B, C1C均垂直于平面 ABC,A1A 4, C1c 1, AB BC B1B 2.(1)证明：AB1 平面 A1BQ1；

7、(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.22一.焦点在x轴上的椭圆C：; 2 1经过点2,J2 ,椭圆C的离心率为竺.F，F2 a2 b22是椭圆的左、右焦点， P为椭圆上任意点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点M为OF2的中点(O为坐标原点)，过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A, B两点， 是否存在实数，使得 |OP |2 | MA | | MB |;若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的

8、平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值 代表).(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态2分布N ,经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50。用样本平均数x作为 的近似值，用样本标准差 s作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布N , 2 ,则P(,) 0.6827,P( 3,3 ) 0,9973 , P( 2,2 ) 0.9545.(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出 “玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格

9、图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券 3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5,方格图上标有第0格、第1格、第2格、第20格。遥控车开始在第 0格，客户每掷一次硬币，遥控车 向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格 (从k到k 1 );若掷出反面遥控车向前移 动两格(从k到k 2),直到遥控车移到第 19格胜利大本营)或第 20格(失败大本营)时， 游戏结束。设遥控车移到第 n(1蒯n 19)格的概率为P试证明R R1是等比数列，并求参 与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。21.己知函数ax2 bx lnx.(I)当 a2时,函数f X在0,上是减函数，求

10、b的取值范围;(n)若方程0的两个根分别为1 X x2xi,x2 xi x2 ,求证：f 20.四、选考题(共10分，请考生在第22, 23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分)_x t cos.在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点Oy tsin为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2 cos22 sin 1.(1)若 一，求直线l以及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于M、N两点，且 MN 6 ,求直线l的斜率.已知函数f(x) 2x 1 4x 5的最小值为M.,22b c(1)求 M ; 2,222a b a

11、 c(2)若正实数a, b, c满足a b c M ,求证： c b参考答案1. D【解析】因为B x|3x 78 2x,即 B x|x 3集合 A x|2 x 4由并集运算可得A B x|2x 4x|x 3 x|2x故选:D2. B【解析】依题意z11 2i3 4i11 2i 3 4i3 4i 3 4i25 50i251 2i ,虚部为2 .故选：B.C【解析】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育 胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8 120选：C.96人，女性人数为0.6 80 48人，男性人数与女性人数不相同，

12、故C错误，故D【解析】Q f (x)ln|x|定义域为：x,0 U 0,.1f ( x)ln x,1f(x) ln x .| x|因为则 f (x)x1 ,一一 ln x 在 xln|x|所以f(x)为非奇非偶函数，故 A错误；当x1一在x 0, 上单调递减，y ln x在x 0, x0,上单调递减，只要 D满足条件，故选： DxD【解析】甲、乙两个不透明的袋中各有 5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有 个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，现从两袋中各随机取一球， 基本事件总数两球不同颜色包含的基本事件个数m 3 3 2 2 13,则两球不同颜色的概率为r【解析】|a|r 厂 r|b | ,且 2

13、ax 0时，则上单调递增,3个红球、25 5 25 ,13 口 p .故25|b|22向2v vv vb) b 0，即 2Vb bcosv,bC【解析】模拟程序的运行,r , r , 一， 一.a与b的夹角为120 .故选B .可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2 1 22019S 2 22 2322019 的值，由于 S 2 22 2322019 22020 2 .1 2故选：C.一 , .一 一 - 2. _2_ 一 一.C【解析:1Q正项等差数列an的前n项和Sn,a3a7a 15 0 ,a2a5 15 0,一八一 ,人、9解得 a55 或 a53 (舍)，S9 a1a99a5

14、 9 5 45,故选 C.2. A【解析】设A(Xi, y1)，B(x2, AF 2FB，则y12y2,又由抛物线焦点弦性质，2-2yy2 p ,所以2y2 p, y12AF1BF_3_22 BF p一33得 BF3p, AF-p, AB42得p 2 ,抛物线的标准方程为10. A【解析】对于命题，函数9 小 1 p z,、36 2V2 91pos oab 二二(| yy2) 二-p 二-二 p42 283 4y2 4x ,故选 A.f x cos x cosx的定义域为R ,且f x cos x cos xcosx cosxf x为偶函数,命题为真命题；对于命题，当 0 x 1时，cosx

15、0,则f x2cosx,此时,函数在区间0,1上单调递减，命题正确；对于命题，当 0 x万时,cosx0,f x 2cosx 0 当一 x2时，cosx 0,贝 f xcosxcosx0,由偶函数的性质可知，当数个零点，命题错误；对于命题,时，f x2若函数 y0,则函数y f取最大值时,cosx0,上有无x 2k -,2k- k Z22，f X 2cosX2k k Z时，函数y f x取最大值2 ,命题正确.因此，正确的命题序号为.故选：A.C【解析】取 DC中点N,连MN,NB则MN /?AD, NB/DE ,所以平面 MNB平面ADE ,即MB/?平面ADE , A正确；取AiD的中点为

16、F,连 接MF,EF,则平面BEFM是平行四边形，所以 AEF为异面直线BM与AE所成角，故B正确；A关于直线DEM称点N,则DE错误；三棱锥平面AiAN ,即过。与DE垂直的直线在平面 AAN上，故C Ai ADE外接球的半径为 暮AD ,故D正确.故选C.D【详解】y 2x32【解析】解析,-_-.由等比数列的性质，S3, S6 s3, S9 S6成等比数列，且S6 3S3 42S6S3S324 2s3S34s316 2点16 32,当且仅当S3 2时,S3等号成立，所以最小值为32.故答案为：3211 ，11【解析】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组12ax by 3的两直线相交

17、, x 2y 2即直线li： ax+by=3与直线I2： x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a,b）共有 6X 6 = 36a b 3种，当直线1i与l2平行时，应有a - 3,故其中满足直线1i与直线l2平行的结果（a, b） 共有：（1, 2）、（2, 4）、（3, 6）,总计3个，故直线11与12平行的 J -,1, 、, 3概率为.又由36a, b的意义可知两条直线不重合，故直线11相交的概率为13363111 一 一，故答案为:36 1211、，一，方程组有唯一解的概率为1211126、6【解析】如图所不，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设2M %,% ,由圆与双曲线的对称性可

18、知， 点M与点N关于原点对称，所以sDFiF2m =s因为圆是以F1F2为直径，所以圆的半径为 c,因为点M x1,y1在圆上，也在双曲线上，所2Xi 以有孑 2Xi2 yi 丁2 yi2,联立化简可得b2 （c2、2 22, 2-yi )- a yi =ab ,整理得,2 22, 2. 2b c - a b = b222.422yi +a yi , b =c 必，b2yi = ，所以 S - 2SDFiF2M _ 2c?yi 2b c因为 32S p2,所以 p2 =64b2, p=8b,因为p = MFi + MF2 + NFi +NF2 = 2(MFi +MF2因为MFi - MF2 =

19、 2a ,联立MFiMF2),所以 MFi +MF2 =4b, 4bMFi MF2 2a可得 MFi =2b + a , MF2 = 2b - a ,222因为FF2为圆的直径，所以 MFi +MF2 = Fi F2 ,22即(2b + a) +(2b- a) = 4c , 8b +2a =4c , 4b +a =2c ,4c2 - 4a2 + a2 = 2c22c2 =3a2 ,i7.【解析】解：（i）由正弦定理得2 cac2b3王b2 c所以离心率e=-ac,故 b2_ 6 o2:2cbc所以cos A所以i 又因为2 uur uuur AB ACA (0,)bc cos A 9bci8,

20、(2)SVABC由（i）当且仅当i. -bcsin A 2得 a2 b2c 3.万时，2c2 bc bci8a取得最小值为此时三角形ABC为等边三角形,故 BD 2BC 2J2,所以 AD 3故 AD Vt4 -i8.【解析】(i)由AB 2, AA2BD2 2cBD cosBi44,BBi2,AA所以 AB； ABi2 AA2.故 AB1BBi由CCiBC,CCi BC 得 BGABi.由 BC 275,由 AB BCAB, BBi AB 得 ABBBi 2,CCi i,AC ,得 ACi无，所以 ABi2BiCi2因此AB平面A,B1cl.AB2V2 ,2, ABC i20 得 AC 2V

21、3,2 _ _ACi ,故 ABi BiCi.（2）如图，过点 G作CD AiBi ,交直线 AiBi于点D ,连结AD .由ABi 平面AiBiCi得平面AiBiCi 平面ABBi ,由 CiD ABi 得 CiD 平面 ABBi,所以 CiAD是ACi与平面ABBi所成的角由 BCi /5, AiBi 2正,ACi x/2i 得 cos CiAB6.八一i,sin CiABi,C1D.390,2 , 3, 3 ,所以 C1D73,故 sin C1ADAC113因此，直线AG与平面ABB1所成的角的正弦值是 Y39.13方法二：(1)如图，以 AC的中点O为原点，分别以射线 OB OC为x,

22、 y轴 的正半轴，建立空间直角坐标系Gxyz.由题意知各点坐标如下：A 0, .3,0 ,B 1,0,0 ,A1 0, .3,4 ,B1 1,0,2。0, , 3,1 ,uuuv _uuuv _ uuuuv因此 AB11, . 3,2 , A1B11,、3, 2 ,AC1uuuvuuuv由 AB1 AB10 得 AB1A1B1.uuuvuuuv由 AB1 AC10 得 AB AC1.1,3,0uuuv,BB10,0,2 ,设平面ABB1的法向量uuv AB uuLV BB10,即x 0,n x, y,z . 0,可取2z 0, ,uuuvn 3,1,0 .所以sinuuuv|cosAC1, n

23、|AC1 nACv n3913因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是；391319 【解析】(1)由已知可得ab2,解得22 ca 2& b c2,所以AB1平面A1B1cl.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为uuuv _ uuv由(I)可知 AC10,2 3,1 ,AB2所以椭圆C的标准方程为8(2)若直线的斜率不存在时,|OP| MA|MB |142 ，所以 |MA|MB| 72当斜率存在时，设直线l的方程为78，y k(x1), A Xi,yiB 乂2,丫2联立直线l与椭圆方程y2 x8k(x2 y41),消去1一 2V,彳导2k22x 4k x2k2 8 0,KX2所

24、以4k22k2 12k2 82k2 1因为OP/1 ,设直线OP的方程为y联立直线yop与椭圆方程X2X8_ 2|OP|kx2 y488, 一 2解得X82k2 1|MA|22X11V1同理|MB| Jk2| X2因为1 X1X2|MA| | MB |k2综上可得，存在20 【解析】(1)X 0.002 502k21|，1|，X1X272k2 178满足条件.|MA |MB |k2X1 1X2X1x2172k2|MA|205 0.004 50 255 0.009 500.004 50 355 0.001(2)因为X服从正态分布50 405 300 (千米)-2N (300,50 )所以 P(2

25、50 X 400)0.9545（3）遥控车开始在第0格为必然事件,一 1 r其概率为一，即P21一，、 一一一。遥控车移到第 2遥控车先到第n 2格,遥控车先到第n 1格,|MB|,存在-满足条件, 83050.9545 0.6827 0.81862F01 ,第一次掷硬币出现正面,遥控车移到第一格,n（ 2系in 19）格的情况是下列两种， 而且也只有两种。又掷出反面,又掷出正面,其概率为其概率为,1所以Pn2Pn21Pn 12PnPn 12(PnPn2)当1领n 19时,数列PnPn 1是公比为1一的等比数列1,P22以上各式相加,Pn1 2)尸3 P221) ( -)222P12)n22)32)3PnPn1（手0,1,2, ,19),获胜的概率P）9（-2）20失败的概率P201P8 1 1I1)19232设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为一一 21 20- 1X 的期望 EX 31()0 -323X万元, 1(2)19参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为3或0 (聂2012约2万元.21 【解析】(I)x在0,上递减,4x0对x 0,恒成立.4