圆锥曲线抛物线专题

1、圆锥曲线抛物线专题讲义!il抛物线标准方程问题：抛物线是什么样的图形，有什么特征?如何定义抛物线？抛物线有哪些几何性质？知识讲解：抛物线的定义：平面内与一定点和一定直线的距离 的点的轨迹叫做抛物线。例1：点M与点F ( 4, 0)的距离比它到直线l： x-6=0的距离4.2,求点M 的轨迹方程.分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义. 答案：y2=16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长.分析：这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和. 解：如图8 3 1, y2=

2、4x的焦点为F (1, 0),则l的方程为y=x1.由 |y2 - 4x 消去 y 得 乂2 6乂+1=0.y - x +1设 A (x , y ), B (x , y )则则 x+x=6.111 2又A、B两点到准线的距离为# , B，则AA + BB - (x +1)+ (x +1)= (x + x )+ 2 - 6 + 2 - 8点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种;y 2 - 2px(p 0)以开口向右的抛物线方程为例，讲解其性质:y 2 = 2px(p 0)如左图：点M是抛物线上任意一点,MH l，则MF=M

3、H，离心率 e =1 ；参数p的几何意义：F到直线l的距离为p ；焦点坐标为fG，。），准线1的方程为x =2 ；例3:（1）已知抛物线的标准方程是y2=10 x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F （0，3）求它的标准方程；（3）已知抛物线方程为y=mx2 （m0）求它的焦点坐标和准线方程；（4）求经过P （ 4,2）点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P则2 p =1. （4 ）题满足条件的抛物线有 m值（注意p0）.特别是（3）题，要先化为标准形式: 向左和向下开口的两条，因此有两解.(5答案：(1)

4、 F -，02)5(1 X = 9.(2) X2=12y (3) F 0，上2I4m)1y =；4m(4) y2=x 或 X2=8y.抛物线中的常用结论过抛物线y2 = 2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p设A（x，y）， B（x，y）是抛物线y2 = 2px上的两点，则AB过F的充要条件是y y = p21 一 一.1 2212-、-,.设A，B是抛物线y2 = 2px上的两点，O为原点，则OALOB的充要条件是直线AB恒过定点（2p，0） 例4：过抛物线y2=2px （p0）的顶点O作弦OALOB，与抛物线分别交于A（xy1），B（x2，y2）两点，求证: y y =4p2.12分析：由

5、OALOB，得到OA、OB斜率之积等于一1，从而得到x、x，y、y之间的关系.又A、B是1212抛物线上的点，故（x，y）、（x，y）满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y、y的值.112212证：由 OAXOB，得 K - K =二-二= 1，艮口 y y = xx，又 x =比，x = M，所以：xx o ob x x1 21 2 i 2 p 2 2 pi 2即yy =些124 p 2所以 y1y2=4p2.圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线）的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦 点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当

6、0VeV 1时，是椭圆，当e1时，是双 曲线，当e = 1时，是抛物线. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 课堂练习：？一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线隧道（从隧道正中通过）.为保证安全，车顶离隧道顶部至少应有0.5米距离.如果车宽为 亍1.6米，则卡车的限高为多少米（精确到0.01米）？，/ 抛物线x = 8y2的准线方程为:_ . - 一. , V2 X2f FB抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在双曲线七-土 = 1上，94牛】则抛物线的标准方程为已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，在抛

7、物线上有一点M（a,-4）到焦点F的距离为5,则 抛物线的标准方程为，a的值为抛物线y2=-12x的一条弦的中点为M（2，3），则此弦所在直线的方程是.正方形的一条边AB在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长.课后练习：抛物线/ = 4j上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为 TOC o 1-5 h z (A) 2(B) 3(C) 4(D) 5抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(A ) 17( B ) 15( C ) -( D ) 016168抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x - 2 j - 4 = 0上，则抛物

8、线的方程为(A) j2 = 16x(B) x2 = 8j(C) x2 =一8j 或 j2 = 16x (D) x2 = 8j 或 y2 = 16x过抛物线j2 = 4x的焦点作直线交抛物线于点P(x , j ),Q(x , j )两点，若x + x = 6，则PQ中点M到112212抛物线准线的距离为(A)5(B)4(C)3(D)2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线/的斜率的取 值范围是(A) L, L(B) 一2, 2(C) 1, 1(D) 一4, 422已知点A(-2,0)、B(3,0)，动点P(x, j)满足PA - PB = x2，则点P的

9、轨迹是(A)圆 (B)椭圆(0双曲线 (D)抛物线若抛物线的顶点在原点，对称轴在坐标轴上，且焦点在直线x y+1=0上，则此抛物线方程为(A)x2=2y,y2=2x(B) x=2y,y2=2x(C) x=4y,y2=4x(D) x=4y,y2=4x如果方程y=kx+3表示倾斜角为钝角的直线，那么方程kx2+3y2=1表示的曲线是(A)圆；(B )抛物线；(C)椭圆；(D )双曲线.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A (x , y ), B (x , y )两点，如果x +x =6，那么|AB|二 TOC o 1-5 h z 112212(A)10;(B)8;(C)6;(D)4.定点P(

10、0,2)到曲线y=| 1 x2 1|上点的最短距离为2(A) *5(B)1(C)2(DR/6一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,cER，且a#0)的判别式是1，两根之积为一8，.则(b, c)的轨迹是(A)椭圆(B )双曲线(C)抛物线(D)两个点过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B则ZAFB等于11(A)450; 1(B) 600;(C)900；(D)120.已知抛物线顶点在原点，焦点在乂轴上，又知此抛物线上一点A (4, m)到焦点的距离为6.求此抛物线的方程；若此抛物线方程与直线j = kx- 2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2,求k的值.题号123456789101112答 案DBCBCDDDBBAC参考答案:解：(1)由题意设抛物 线方程为y2 = 2px , TOC o 1-5 h z 其准线方程为x = - , 2分2.A (4, m)到焦点的距离等于A到其准线的距