等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)

1、等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华）1、图（D中，C点为线段AB上一点，ACM, ZkCBN是等边三角形，AN与BM相等吗？ 说明理由；如图（2） C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3） C点为线段AB外一点，AACM, CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由.2、如图（1）所示，点C为线段AB上一点，AACM、4CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E, 直线BM、CN交于点F.（1）求证：AN=MB；（2）将ACM绕点C按逆时针方向旋转90 ,其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形, 并

2、判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由.3、如图，已知幽是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D,使得4CDE是等边三角 形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ZkCMN是等边三角形.（根据ACDgZkBCE,得出 AD=BE, AM=BN；又AMCgZkBNC,可得 CM=CN, ZACM=ZBCN,证明N NCM=ZACB=60即可证明CMN是等边三角形;）1、（锦州）如图A, /XABC和4CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF 和BE. （1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图A中的4CEF绕点C旋 转一定的角度

3、，得到图B, （1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的4ABC 绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C （草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出 判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立.（4）根据以上证明、说理、画图，归纳 如下：如图A,大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C,则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF二BE.2、如图，AA。和MCE都是等边三角形，ZA6C=30,试说明：5万=A* + 5。二（综合全等和勾股定理）3、ADAC,

4、 EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N,求证：（1 ）AE=BD （2）CM=CN （3） CMN为等边三角形（4） MNBC4、已知：如图1,点C为线段AB上一点，ZACM, aCBN都是等边三角形，AN交MC于点E, BM交CN于点F.（1）求证：AN=BM；（2）求证：ZCEF为等边三角形；将aACM绕点C按逆时针方向旋转90 0,其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判 断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.5、如图所示，己知ABC和4BDE都是等边三角形。下列结论：AE二CD；BF=BG；BH平分NAHD；NAH0600,4

5、BFG是等边三角形；FGAD0其中正确的有（）C6、己知，如图所示，在 AAbC和AOE 中，AB = AC9 AD = AE, ZBAC = ZDAE y 且点 8, 4 D在一条直线上，连接BE, CD, M, N分别为BE, 8的中点.（1）求证：3E = C。；AM = AN；（2）在图的基础上，将AA。七绕点4按顺时针方向旋转180,其他条件不变，得到图所示的 图形.请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.7、如图，C为线段AE上一动点（不与点A, E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形 CDE, AD与BE交于点0, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连结PQ

6、.以下五个结论：AD二BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；NA0B=60 ；CP=CQ；CPQ为等边三角形；共有2 对全等三角形；CO平分NA0P；C0平分NBCD。恒成立的结论有 （把你认为正 确的序号都填上）.8、（1）如图7,点。是线段AD的中点，分别以A0和D0为边在线段AD的同侧作等边三角形0AB 和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求NAEB的大小；（2）如图8, A0AB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变，将 OCD绕着点0旋转（ 0AB和 OCD不能重叠），求NAEB的大小.10题9、如图，已知aABC是等边三角形，ZBDC=120,说明AD=BD

7、+CD的理由10、如图所示，已知aABC中，AB二AC, D是CB延长线上一点，NADB=60 , E是AD上一点，且DE=DB, 求证：AOBE+BC旋转的等腰直角三角形原题：如图所示，ABC和4ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，求证：ZMBD=ZMDB.变式1如图所示，将等腰直角三角形ADE绕A点按逆时针方向旋转45。，其余条件不变，结论ZMBD=汨还成立吗？变式2如图所示，将等腰直角三角形ADE绕点A按逆时针方向旋转90。，其余条件不变，结论 ZMBD= NA/Q5还成立吗？变式3如图所示，将等腰直角三角形ADE绕点A按逆时针方向旋转135。，其余条件不变，结论ZMBD= NA

8、/Q5还成立吗？变式4如图所示，将等腰直角三角形ADE绕点A按逆时针方向旋转180。，其余条件不变，结论ZMBD= NA/Q5还成立吗？变式5如图所示，将等腰直角三角形ADE绕点A按逆时外方向旋转270,其余条件不变，结论ZMBD= NA/Q5还成立吗？变式6如图所示，将等腰直角三角形ADE绕点A按逆时外方向旋转315。，其余条件不变，结论ZMBD= NA/Q5还成立吗？.在 A46C中，ZACB = 90, AC=BC.直线 MN 经过点 C,且 A）_LMN 于 D, BE上 MN于 E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：AADC三&CEB；DE=AD+BE;（2）当直线MN绕

9、点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个 等量关系，并加以证明.（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个 等量关系，并加以证明. （1）如图1,若点P为正方形ABCD边上一点，以PA为一边作正方形AEFP,连BE、DP,并延长 DP交BE于点H.求证：DHVBE.（2）如图2,将正方形AEFP逆时针旋转，使点P落在正方形ABCD内，其余条件不变，（1）的 结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.在A46C中，AD是中线，。为AD的中点，直线/过。点，过A、B、C三点分别作直线/的垂线, 垂足分

10、别为G、E、F,当直线/绕。点旋转到与AD垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG.当直线/绕。点旋转到与AD不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE、CF、AG 乂是怎样 的数量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证明.A把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图1）,且使三角板 EFG的直角顶点G与三角形ABC的斜边中点0重合.现将三角板EFG绕0点按顺时针方向旋转（旋 转角。满足条件：090）,四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）.（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现 的结

11、论；（2）连接HK,在上述旋转过程中，设=AGK”的面积为y,求），与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使AGK”的面积恰好等于AA5C面积的,？若存在,16求出此时X的值；若不存在，说明理由.原题：在ABC中，AOBC, NACB=90, 4ADE为等腰直角三角形，DElADo M为线段EB的中点，连结DM、 CMo请探究DM与CM的关系（如图1）。证明分析：利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM与CM垂直且相 等。问题：把等腰直角4ADE绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，其它条件不变，则上述命题的 结论仍然成立吗？

12、一、特殊位置时结论的证明旋转一：当线段AD旋转到线段AC上时（如图2）。证明分析（如图3）：设线段AE与线段BC的延长线相交于点N。由直角三角形斜边中线性质可 得，AM=EM；由等腰直角三角形的定义可得，AD二ED,所以，根据“到线段两端点距离相等的点在 线段的垂直平分线上”可得DM_LAE,可证DMAB。同理，CMAN,综合可证aCDM是等腰直角三 角形。于是，命题得证。旋转二：当E、D、B三点旋转到同一条直线上时（如图4）0n证明分析（如图5）：延长AD至N,使DN=DM,连结CN。ZiEDA是等腰直角三角形，所以可证得 AN=EM=BMo 由三角形内角和可证NNAC二NCBM,用 “SA

13、S” 证明CBMgACAN。得NMCB二NNCA,证 出NNCM=90,再由CBMgZXCAN可得NN=NDMC,由四边形内角和可证得NN=NDMC =90,从而证 明四边形DMCN为正方形。于是命题得以证明。旋转三：当点E、A、B三点在同一条直线上时（如图6）。图6图7图17连结DM、CMo请探究DM与CM的关系。1）当D、A、B三点在同一条直线上时（如图8）2）当D、A、C三点在同一条直线上时（如图9）当D、E、B三点在同直线时（如图10）当A、E、B三点在同直线时（如图11）CE 图8CD图10CABE图9cD 图iiNC证明分析（如图7）：作DF_LBE于F, CN_LAB于点N,设D

14、F =a, CN=b,根据等腰直角三角形的 定义与性质可得BE=2（a+b）,所以有EM=BM=a+b。计算证出DF二NM, FM=CNO用“SAS”证 CMN,可证结论成立。下列四种情况，请读者证明结论的正确性。已知AABC和4ADE为等腰直角三角形，M为线段EB的中点，图12囹13二、一般位置时结论的证明旋转四：当旋转角度小于45时（如图12）。证明分析:（如图13）作DN_LDM,取DN=DM。连结AN交BE于点P,连结CN。用“SAS”证ADNgZiEDM,则NPNO二NDMO,在NPO和aODM中利用内角和定理证明NNP0=90,同理在APAQ和BQC中证明 NPAQ二NCBQ。另一

15、方面由ADNgZiEDM 可证明 AN二EM二BM。用 “SAS” 证明CBMCAN,仿前变 式二证明NNCM=90,连结DC,证NDNC二NDMC,利用四边形内角和证NDNC二NDMC=90,于是可证 四边形DMCN为正方形，得DM=CM,且DM_LCM。请读者证明下列几种变化情况。如下列图14,图15,图16,其它条件不变，即：ZiABC和aADE为等腰直角三角形，M为线 段EB的中点，连结DM、CMo请探究DM与CM的关系。图16D我们对于已做过的习题要有解题后反思。本题变式多，证明方式也不尽相同，可以说是精彩纷 呈，是复习备考中难得的一道好题。借题发挥，拓宽视野，这样做不仅有助于学生综合而灵活的运 用知识，而且能不断提高学生独立探究问题解决的能力，更有助于培养学生思维的深刻性