广东省中考数学第二部分题型研究题型六几何动态综合题试题

1、图 4第2题图 题型六几何动态综合题类型一点动型探究题针对演练1.(2016赤峰12分)如图，正方形 ABCD勺边长为3 cm, P, Q分别从B A出发沿BC AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒，连接AP,并过Q作 Qa AP垂足为E(1)求证： ABW QEA(2)当运动时间t为何值时， AB国AQEA(3)设aQEA勺面积为y,用运动时间t表示 QEA勺面积y.(不要求考虑t的取值范围) (提示：解答(2)(3)时可不分先后)第1题图2.(2015 省卷25, 9分)如图，在同一平面上，两块余边相等的直角三角板RtAABC和Rt ADO在一起，使斜边

2、 AC完全重合，且顶点 B, D分别在AC的两旁，/ ABC= /ADC =90 , / CAD= 30 , AB= BC= 4 cm.(1)填空：AD=(cm) , DC=(cm);(2)点M N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD CBh沿Z D, O B方向运动，当 N点运动到B点时，M N两点同时停止运动，连接 MN求当M N点运动了 x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P,连接MP NP设PMN勺面积为y(cm2),在整个运动过程中，PMN勺面积y存在最大值，请求出y的最大值.(参考数据：sin75。=也正sin1

3、53.(2016 梅州 10 分)如图，在 RtABC中，Z ACB= 90 , AC= 5 cm, / BAC= 60 , 动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发, 在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为 t秒(0wtw5),连接 MN(1)若B阵BN,求t的值；(2)若MBN1ABCt目似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形 ACNMJ面积最小？并求出最小值.fl/ B= 60 ,点M从点D出发，沿DA方BC方向匀速运动，速度为 1 cm/s,过点E,连接EN交AD于点O,设运动时间4.如图，在？ABC珅,BC= 8 cm

4、, CD= 4 cm, 向匀速运动，速度为 2 cm/s,点N从点B出发，沿 M作MB CD垂足为F,延长FMK BA的延长线于点 为 t ( s)(0 t /2x彳=2m cm,- 1.DC= AC- sin30 = 4 (4 -t) X 黄 X(4-t)= (t26, + 16悯0 Vt4);21(2)存在.由四边形 ANMI面积是？ABC面积的R可得:323t2-6V3t +163 = 32x8X23,整理得：t2-12t +11 = 0, 解得t = 1或t = 11(舍去)，21所以当t = 1s时，四边形ANM田勺面积是？ABC面积的 记;32(3)如解图,第4题解图由(1)可知

5、AE= (4 -t) cm ,BE= ABH- AE= (8 - t) cm. / B= 60 , ENL BC, AGL BC.BN= 2BE= (4 -1t) cm , BG= 2AB= 2 cm.1- 4-2t = t ,解得 t =3,8 BN=- cm, 32 . GN= BN- BG=- cm,3. A0= 2 cm, NG= BCBN=16 cm.33设 P0= x cm,则 PN= (243x) cm. AO/ NC . AOm CNP2AO PO 3 xNC= PN 即 行2；，32 ,3-9- cm.解得x=竽， 9当ENLAD时，线段 O用长度为(1)证明：若运动时间t

6、= 2秒，3则 BE= 2x |=： cm , DF= | cm , 3 33四边形ABCD1矩形，/ D= / BCD= 90 ,，AD= BC= 8 cm, AB= DC= 6 cm, . FQLBC.Z FQC= / D= Z QCD= 90 ,四边形CDFQI矩形,. CODF= 2 cm, CD= QF= 6 cm,34 2EQ= BC- BE CQ= 8 = 6 cm, 3 3.EQ= QF= 6 cm,.EQF等腰直角三角形；(2)解：. / FQC= 90 , / B= 90 ,./ FQC= / B,PQ/ AB. CPQ CABPQ QC 日口 PQ tAT版即至二，3PO

7、T t cm ,4BE=2t,EGBC BE=8-2t,1Saepc= 2EC- pq133 232.y=282t) - 4t = -4t +3t = -4(t-2) +3(0t4).34V。，当t = 2秒时，y有最大值，y的最大值为3 cm2;(3)解：分两种情况讨论：(i )如解图，点 E在Q的左侧,当 EPQo ACM,第5题解图PQ EQ4t可信CD=而即83t解得t = 2;当 EPQo CAD寸，c c3t PQ EQ t 8-3t可得提品即工AD CD 86解得t=128；57(ii)如解图，点E在Q的右侧,0t4,点E不能与点C重合，只存在 EPQ CADPQ eq可信adT

8、 cd/口128解得t =弁 39第5题解图故若EPQWADCf似，则t的值为2秒或誉秒或黑秒.57396.解：(1)如解图，过点 C作CEL AB于点E,第6题解图. DC/ AB, DAL A玲 CEL A玲四边形AECD1矩形，.AE= DC= 5, CE= AD= 4,.BE= AB- AE= 85=3,，由勾股定理得：BC= JbE2+CE2 =432 + 42 = 5. BCk AR当点P运动到点C时，P、Q同时停止运动,5t =7=5 s ,即t=5 s时，P、Q两点同时停止运动；(2)由题意知，AQ= BP= t,. QB= 8-t.如解图，过点 P作PF71 QBT点F,则

9、BPM BCEPF BP PF t=,即=一,CE BC4 54tPF=可4t 216tx _5-=_ 5t2 +-5-11.S= 2QB- PF= 2*(8 -t)2= -5(t -4)22,- -55,不合题意,40=石；当PO BQ时，即4-t 4=8t,5解得：tl = 0（舍去），t2 =18；当QB= BP时，即8-t =t , 解得t =4;40.48综上所述，当 PQ郎等腰三角形时，则t的值为矣s或3s或4 s.类型二线动型探究题针对演练.如图，已知矩形 ABCD AB= /3, BG= 3,在BC上取两点E, F( E在F左边)，以EF 为边作等边三角形 PEF使顶点P在AD

10、上，PE, PF分别交AC于点G H(1)求 PEF的边长；(2)若4PEF的边EF在射线BC上移动，(点E的移动范围在 B、C之间，不与 B C两点 重合)，设 BE= x, PHhy.求y与x的函数关系式；连接BG设 BE前积为S,求S与x的函数关系式，判断 x为何值时S最大，并求 最大值S.第1题图.已知，如图，在菱形ABCDK 对角线AC BD相交于点O,且AC= 12 cm, BD= 16 cm, 点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为 1 cm/s；过点P作直线PF/ AQ PF交CD于 点F,过点F作EF BD且与AD BD分别交于点 E、Q连接PE设点P的运动时间为t( s

11、)(0 vt v 10).(1)填空：AB=cm;(2)当t为何值时，PE/ BD(3)设四边形 APFE勺面积为y(cm2).求y与t之间的函数关系式；若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻 t ,使彳导S四边形APF匚TS菱形ABCD?若存在，.(2014 省卷 25, 9 分)如图，在 ABC中,AB= AC ADL BC于点 D, BO 10 cm, AD =8 cm.点P从点B出发，在线段 BC上以每秒3 cm的速度向点 C匀速运动，与此同时，垂 直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交 AB AC AD于点E、F、H当点P到达点C时，点P与直

12、线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t0).(1)当t=2时，连接DE DF,求证：四边形 AEDF%/菱形；(2)在整个运动过程中， 所形成的 PEF的面积存在最大值， 当4PEF的面积最大时，求 线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t,使 PEF为直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由.(2016 镇江改编)如图，在菱形 ABC珅，AB= 6/5, tan/ABC= 2,点E从点D出 发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线 DA的方向匀速运动，设运动时间为 t (秒).将线 段CE绕点C顺时针旋转一个角 “(”=/ BCD,得到对应线段 CF(1)求证：BE= DE(2)

13、如图，连接BD EF, BD交EC EF于点P、Q当t为何值时， EPQ是直角三角形？(3)如图，将线段 CD绕点C顺时针旋转一个角 “(”=/ BCD,得到对应线段 CG在 点E的运动过程中，当它的对应点 F位于直线AD上方时，直接写出点 F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式.第4题图【答案】1 .解：(1)如解图，过点 P作PQLBC于点Q在矩形 ABCW, / B= 90 ,.ABL BC又. AD/ BC.PQ= AB= g PEF是等边三角形,第1题解图.Z PFQ= 60 ,PQ在 RtAPQF, sin/PFQ=际, PF=乖穹=2,.PEF的边长为2;(2)在 RtAA

14、BO, AB=/,BC= 3,由勾股定理得，AO 28 ./ACB= 30 ,又 PEF是等边三角形， ./ PFE= 60 ,./ FHC= 30 ,FH= FC.HF= 2-PH= 2-y,.FC= 2-y,又.B曰 EF+ FC= BC-x+2+2-y = 3,即 y = x+ 1(0 x 3);如解图，过点 G作GML BC于点M第1题解图 PEF为等边三角形，./ PEF= 60 ,RHABC中，AB= 3, BC= 3, . / ACB= 30 ,./EGC= 180 -30 -60 =90 ,. BE= x,1- EC= 3 x,. EG=3-xIGM/ GEMt 60 , si

15、n Z GEMt GEo m 3-x 3J3-J3x .GM= EG- sin60 =2X= 4 47. S 1XX33- 3xS- 2x4,3 2 33：33 2 9 3= -Tx+-8-x=-T(x-2) +方，：3-T10(舍去)，当t=4s时，S四边形APFE= kS菱形abcd25(1)证明：如解图，连接 DE DF当t=2时，Dhk A+ 4,则H为AD的中点,EF，ADEF为AD的垂直平分线，.AE= DE AF= DF. AB= AC. . / B= / C,又 ADL BCEF/ BC/ AEF= / B, / AFE= / C, ./ AEF= / AFE.AE= AF,A

16、E= AF= DE= DF,四边形AED叨菱形;第3题解图(2)解：如解图，连接 PE, PF,由 知EF/ BC. AEM ABCEF AH EF 8- 2tBCT AD 即 10= 8 ，一5解得 EF= 10 J ,一 1155 2 Spef= 2EF , DH= 2(10 t) 2t = 3 + 10t=* 2)2+10(0 vtw),当t=2秒时，Sapef存在最大值，最大值为10 cM,此时 BP= 3t =6 cn(3)解：存在.(i)若点E为直角顶点，如解图，连接 PE PF, 此时 PE/ AD PE= DH= 2t, BP= 3t. PE/ ADBEA BADPE BPAi

17、r Bd2t即百3t此比例式不成立，故此种情形不存在;第3题解图(ii)若点F为直角顶点，如解图，连接 PE PF, 此时 PF/ AD, PF= DH= 2t, BP= 3t, CP= 10-3t. PF/ AQ. CF% CADPF CP 口. 2t 10-3t TOC o 1-5 h z 即一=,AD CD 85 -40解得t =万;(iii)若点P为直角顶点，如解图，连接 PE PF,过点E作EML BC于点M过点F作FNL BC于点 N,贝U EM= FN= DH= 2t , EM/ FN/I AD EM/ AD. BEMh BAD2t BMEM BM 口,即AD BD解得BM= 5

18、t ,P阵 BP- BM= 3t - 44t = 4t.在RtAEMF,由勾股定理得，222272113 2PE EM PM =(2t)+qt) =6. FN/ AQ. CFNh CADFN CN 口 2t CN.ATCD 即1 = 5,175 解得CN= 4t ,，PN= BC- BP CN= 10 3t 在RtFNP中，由勾股定理得,2_2_2PF FN PN17= (2t) +(10 -t)353t285t + 100.又 EF= MN= BC- BM- CN= 10-|t ,2在RtPEF中，由勾股定理得，EF22PE PF ,口r5 2 113 2353 2即(10 2t)=6i +

19、(76t -85t + 100)化简得 183t 2280t = 0,解得t =280183或t =0（舍去），280 .t =183(9分)综上所述，当t = 2秒或t=翟秒时， PEF为直角三角形.(1)证明：.一/ EC展 / BCD= a / ECJ / ECD= / BCD- / ECD 即/ DCa / BCE四边形ABCD1菱形，. DC= BC在 DCRf BC印，CF CEDCF BCEDC BC.DCm BCESAS),BE= DF;(2)解：. CE= CF/CEQ90 .当/ EQP= 90。时，如解图，. / ECF= / BCD BC= DC EC= FC,BCS

20、ECF.Z CBD= / CEF / BPC= / EPQ第4题角军图./ BCP= / EQP= 90 ,/ CED 90 ,在 RtACDE, / CED= 90 ,. CD= AB= 64，tan Z ABC= tan Z ADC= 2,EC 广.De= 2,即 EC= 2DECD2 EC2 DE2,即 CD= #DE .DE=第4题解图t = 6;当/ EPQ= 90时，如解图,.菱形ABCD勺对角线ACL BDEC AC重合，DE= 6,5, . t =64.综上所述，当t = 6秒或6诋秒时， EPQ直角三角形; 解：y=25t -12- 245.55【解法提示】点 G即为t =

21、0时点E的对应点.AD BC的延长线于点 M N,当点F在直线AD上方时，如解图，连接 GF分别交直线过F点作FHL AQ垂足为H,由(1)得Z 1 = Z2.易证 DC降GC(SAS),/ 3= / 4,. DE/ BC1=7 3,2=7 4,GF/ CD四边形DCNMb平行四边形，易得 MN= 6 ,5./ BCD= / DCG / DCN- / BCD= / DCS / CGN= 180 ,./ CGN= / DCN= / CNGCN= CG= CD= 6 ：5.tan Z ABC= 2,.tan / CGM 2,. GN= 12,.GM= 6 :15+12.解图GF= DE= t x

22、1 = t, ，FM= t 6 m12. . tan Z FMHh tan Z ABC= 2,第4题图 第2题图 类型三形动型探究题针对演练.在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC AFG罢放在一起，A为公共顶点，/ BAO Z AGF= 90 ,它们的斜边长为 2,若 ABC定不动， AFG第点A旋转，AF AG与边BC的交点分别为 D E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设B& m CD= n.求证： AB殍 DCA(2)求m与n的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围；222(3)在旋转过程中，试判断等式 BD CE DE是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由

23、.第1题图.(2015 吉林)两个三角板 ABC DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内).其中，/ C= /DEF= 90 , / ABC= / F= 30 , AC= DE= 6 cm.现固定三角板 DEF将三角板 ABO射线DE方 向平移，当点 C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).(1)当点C落在边EF上时，x =cm;(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点 M边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中，点M与点

24、N之间距离的最小值.3. 如图，在 ABC43, / B= 45 , BC= 5,高 AD= 4,矩形 EFPQ勺一边 QP在 BC边上, E F分别在AB AC, AD交EF于点HAH EF求证：adT BC(2)设EF= x,当x为何值时，矩形 EFPQ勺面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ勺面积最大时，t矩形以每秒 1个单位的速度沿射线 DA匀速向上运动 (当矩形的边PQiJ达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPCQfABCt叠部分的 面积为S,求S与t的函数关系式，并写出 t的取值范围.B Q D PC第3题图4.如图，在？ABC珅，ADL BQ AB= 10, A

25、D= 6,以AD为斜边在？ABCD勺内部作 RtA AED使/ EAD= / DBA点A、E、D分别与点 A E D重合， A E D以每秒5个 单位长度的速度沿DC方向平移，当点E落在BC边上时停止移动,线段BD交边AD于点M交边A E或D E于点N,设平移的时间为t (秒).(1) DM长为(用含t的代数式表示)；(2)当E落在BD上时，求t的值；(3)若 E D与 BDCt叠部分图形的面积为 S(平方单位)，求S与t之间的函数 关系式；(4)在不添加辅助线的情况下，直接写出平移过程中，出现与DMD全等的三角形时t的取值范围. 5.(2016 益阳 14 分)如图，在 AB, / ACB=

26、 90。，/ B= 30。，AC 1, D为 AB 的中点，EF为AACD勺中位线，四边形EFGHAACD勺内接矩形(矩形的四个顶点均在 ACD 的边上).(1)计算矩形EFGH勺面积；(2)将矩形EFG用AB向右平移，F落在BC上时停止移动.在平移过程中，当矩形与4CBDt叠部分白面积为时，求矩形平移的距离；(3)如图，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 E1F1GH,将矩形EF1GH绕G 点按顺时针方向旋转， 当H落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 EFzGHz,设旋转 角为a ,求COS a的值.第5题图6. (2015 青岛)已知：如图，在 ？ABCW, AB= 3 c

27、m, BC= 5 cm, ACL AB AACD& AC 的方向匀速平移得到 PNM速度为1 cm/s;同时，点Q从点C出发，沿CBT向匀速移动， 速度为1 cm/s ;当 PNM停止平移时，点 Q也停止移动，如图.设移动时间为 t(s)(0 t AQMC： S四边形ABQk1 ： 4?若存在，求出 t的值；若不存在， 请说明理由；(4)是否存在某一时刻t,使PCLMQ若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第6题图【答案】1. (1)证明：BAE= / BADF45 , / CDA= / BADF45 , / BAE= / CDA又. / B= / C= 45 ,. / ABa DCA(2

28、)解：. AB殍 DCABE BACAT CD依题可知CA= BA=板,.m_j2/不2 m= n自变量n的取值范围为1vnv2；(3)解：成立.理由如下：如解图，将4 AC欧点A顺时针旋转90至 ABH勺位置，则 CE= HB AE= AH / ABH= /C= 45 ,旋转角/ EAH= 90 ,连接 HD 在 EADF口 HAD, . AE= AH / HAD= / EAH-Z FAO45 =Z EAD AD= AD， EA四 HAQSA ,. DHh DE又/ HBD= /ABI+ /ABD= 90 ,. BC2+hB= dH,即 bD+cE= dE.2.解：(1)15 ;【解法提示】

29、如解图，作CGL AB于G点，CHL CE于点H,心心第2题解图在 RtAABC,由 AO 6, / ABO 30 ,得 BO AC =63 cm.tan30?在 RtA BCG, BG= BC cos30 =9 cm.四边形CGEH1矩形，. CH= GE= B* BE= 9+6= 15 cm.(2)当0Wx6时，如解图，由/GDB= 60 , / GBD= 30 , DB= x,得 DG=BG=喙x 1重叠部分的面积y= 2DG BG=当6x 12时，如解图,1BD= x, DG= 2X,BG=乎x, BE= x-6, EH= *(x- 6),重叠部分的面积11y= S BDG- Sx B

30、EH= DG BG- ,BE- EH即 y = ；x ；x x *x ( x 6) x 中(x-6), 2 2223第2题解图化简得 y=23x2+23x643;当12x15时，如解图，AC= 6, BC= 6口 BD= x, BE= x-6, EG=坐(x 6),11重叠部分的面积 N=SABC-&BEk2AC- BC-2BE- EG即 y = 1X6X6/3-1(x-6) x 哼(x6), 223化简得 y= x2+243x+125；或 x2(0Wx 6)8综上所述，y =一 3 2x242 石x 673(6 x/3x 12 7312x 15)如解图所示，作 NGL DE于点G点M在NG上

31、日MNM短，一 1NG DEF的中位线，NG= ?EF= 3 ；3,. MB= ；CB= 33, / B= 30 ,1MG= 2MB=3.32 ，则 MNin= NG- MG=时3平i) C EH第2题解图(1)证明：四边形 EFPB矩形,EF/ BC . AEH ABC. AD ABC的高，AH是4AEF的高,AH EF. _ - 一AD BCAH EF r(2)解：二ADT bc EF= x AD= 4 BC= 5AH x , 454x.AH= 54xHD= 4石，4x 4 2S矩b EF. HD= x(4石)=5x+4x一/5.4,-5 0，当x=2时，矩形EFPQ勺面积最大，最大面积为

32、 5;5 -4 解：由(2)可知，当矩形 EFPQ勺面积最大时，矩形的长 EF为左 宽HD= 4-x=2, 25在矩形EFPQ&射线AD的运动过程中:(i )当0wt W2时，如解图所示.第3题解图设矩形与AR AC分别交于点 K、NN,与AD分别交于点H、D.此时DD= t, HD = 2,.HD= HD- DD= 2 t, HH= HiD-HD= t, AH=AH- HH= 2 t,. KN/ EF,KN AH 口 KN 2t-Ef=而，即至=，2-，-5解得 KN= 4(2 t),S= S梯形 KNFE-b&巨形EFPQ111555= 2KW EFF . HH+ EF- EQ= R 4(

33、2 t) + 习 x t +/2 t)=-5t 2+5；8(ii)当2t W4时，如解图所示.第3题解图设矩形与AR AC分别交于点K、N,与AD交于点Da,此时DD= t , AD= AD- DD= 4 t ,. K N / EF,-24=N5- 2nr3A-也AHN解得 K N =5 |t ,.S=观ak- 2 K N . AD= 1X（5，t）X（4 t）=：t25t+10.综上所述，S与t的函数关系式为：12 5（00小2）=S=8.5 2-t2 5t 10（2t04）8.解：（1）4 t ；【解法提示】ADL BD ./ADB= 90 ,BD= VAB2 AD2 =VW2T62 =

34、8,AD/ A D,. .A D BD,./ DMD= / ADB90 ,. CD/ AR./ D DM= / ABDDMDs BDA.DM 也=md;BD- AB - AD ,DM 5t MD , 8106.DM= 4t, MD =3t.第4题解图，/ MA E + /A E M= 90 ,(2)如解图，当E在BD上时,. / D E M+ /A E M= 90，/ D E M= / MA E,. CD/ AB./ CDB= / ABD / MA E = / ABD./ D DE = / D E DDD = D E,由 ADP BAD导至 ij,18DE=石，24AE=石，185t=F，18

35、(3)当仆2|时,如解图,重叠部分是D MK1 , S= D1c , C 2MX MK= X 3t X4t = 6t ;1832第4题解图当2r t忘片时，如解图，重叠部分是四边形D.E KM118 24 1S= Sa A D, E - Sa A, MH 2 x X -5- - 2(6 3t ) X 4(6 3t)=27t 2+ 27t 2432186t2(0 t 18);综上所述，S2527 2 27 一t +一t-82243/18-32、一(t1(舍去)； 如解图，当矩形与 CBD重叠部分为直角梯形时,则此时重叠部分直角梯形的高为g 上底边长为x,下底边长为x-1,，重叠部分的面积S= 2x+ (x-1) .申=兴,解得x=3, 8即矩形移动的距离为3时，矩形与 CBDt叠部分白面积是 33； (8分)如解图，过代作HKiL AB于点K.3在 RtF1GB 中，/ B= 30 , F1G = ,第5题解图.