偏微分课程课件8_抛物型方程的有限差分方法(II)

1、（五）多维问题1.一维格式的直接推广截断误差Fourier方法分析稳定性：引入记号向前差分格式P维显格式稳定性条件为二维或高维情况显格式不合适转向考虑隐格式无条件稳定（绝对稳定）截断误差：无条件稳定（绝对稳定）为提高精度，采用Grank-Nicolson格式一维隐格式：绝对稳定，系数矩阵为三对角矩阵 并可用追赶法求解 高维隐格式：绝对稳定，但系数矩阵非 三对角矩 阵，不能用追赶法求解，计算量大。显格式：稳定性限制严格Alternating direct implicit method隐格式将问题: 一维模型的隐格式可用追赶法计算 多维模型的隐格式, 系数矩阵是块三角矩阵, 追赶法失效, 需要采

2、用迭代算法? 多维模型可否能建立追赶法计算的隐格式!2.交替方向隐式格式同时在n+1层取值，并无条件稳定同时在n层取值，条件稳定显格式将P-R：Peacemen-Rachford格式D: Douglas格式LOD：Locally One Dimensional Method， 局部一维法PC ： Predict-Corrector Method，预校法 ADI（Alternating Direct Implict Method 交替方向隐式法）以及相关格式（1）PR格式（二阶精度、绝对稳定）第一个ADI格式P-R(Peaceman-Rachford)格式是1955年提出的,将第n层至第n+1层

3、的计算分成两步特点: 引入过渡层优点: 追赶法+无条件稳定的隐格式缺点: 无条件稳定仅对二维模型成立基本思想：将每个时间步分为两个小时间步，即分数时间步，每个空间维对应一个小时间步，在第i个小时间步，采用第i个空间变量用隐式，另一个空间变量为隐式的格式。X方向隐Y方向隐相加相减，依次得所获两式消去过渡层得利用Taylor展式得考察格式稳定性，将得增长因子变形为故PR法绝对稳定，并且为二阶格式三维情形，PR 格式不再无条件稳定PR格式Dyakonov格式二阶精度绝对稳定(2) Douglas格式（1964年提出）变形为由PR格式的等价形式Douglas格式也是交替方向隐格式，精度及稳定性完全同P

4、-R格式，同时出现 ，存储量大，但是可以推广到三维。隐格式：新的时间层具有多于一个节点3维Douglas格式优点: 追赶法+无条件稳定的隐格式 是三层格式，比PR格式多一层存贮， 但是易于推广到高维Douglas格式特点: 引入过渡层+替换二维：利用PR格式存储量少三维: D格式3.局部一维格式利用最简显式的LOD格式CN型LOD格式基本思想：将一个时间区间分成n个子区间，用一种差分格式来近似代替一维方程将n维问题的每个时间步分为n个子步，在第i个子步中将问题视为第i维空间上的一维问来处理。 直观上这可理解为在每个时间步用n个顺序的一维离散扩过程模拟一个n维的扩散过程。CN型LOD格式改写为与

5、P-R格式等价但LOD格式可推广至三维4 预测-校正法（PC）分为两步：时的近似解;b) 再在 用 二阶精度格式计算a) 先用一阶精度格式给出预测，LOD隐式校正，显式与D格式等价5.跳点格式（无条件稳定，二阶）一维跳点格式可以直接推广到二维显格式隐格式为奇数为偶数引入差分算子：令两式相减相邻时间层已知未知6.三维问题显隐C-N，无条件稳定，二阶精度，但必须使用ADI方法计算无条件稳定条件稳定运用较少PR 格式本章介绍了经典的有限差分方法求解抛物型问题的显格式、隐格式（包括ADI格式）显格式的优点是格式构造简单，每个分量可以独立求解；隐式构造比较复杂，各分量 需要联立求解，优点是稳定性好，一维

6、问题追赶法有效，而对于高维问题的ADI格式，可以通过求解一系列具有主对角占优三对角系数矩阵的线性方程组来高效求解。课堂练习P维扩散方程显格式稳定性条件是什么？ 交替方向隐式格式的引入是为了解决什么问题？海潮引起初始水位倾斜的滨海承压含水层地下水位变化的数值模拟用隐格式离散为：线性代数方程组采用传统的求解三对角方程组的追赶法，最终将解随时间的变化曲线画出来，可以分析出滨海水位与海潮的一样具有相同周期，但时间上滞后，其水位变化幅度与海岸线的距离具有衰减性，越远水位变化幅度越小。用向前差分格式，向后差分格式Crank-Nicolson格式来求解，取为0.1与0.5进行计算。精确解显格式数值解，显格式数值解在t=0.1时的误差当采用显格式时，网格比不满足稳定条件，数值解不收敛t=0.1时显示格式，隐式格式，CN格式误差大小的比较。显格式当时间步长减少到原来的1/4，空间步长减少到原来的1/2，误差减少到原来的1/4，收敛速度为。CN格式当时间步长和空间步长同时减少到原来的1/2，误差减少到原来的1/4，收敛速度为对高维问题的计算，不能不考虑交替方向隐式（ADI） 算法，ADI格式具有无条件稳