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1、第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数的求导法则二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则 第九章 一、多元复合函数求导法则定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证: 设 t 取增量t ,且有推广:1) 中间变量多于两个的情形. 设设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如：又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,例1. 设解:例2.解:例3. 设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导
2、技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为则复合函数都可微, 这性质叫做全微分形式不变性.例 6.解法1:解法2: 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数(不要求)隐函数的求导方法 所确定的函数为隐函数.接下来怎么求隐函数的导数1、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数则方程一个连续函数 y= f (x),并有连续(隐函数求导公式)具本推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定在点的某一邻域内满足满足条件导数两边对 x 求导在的某邻域内则若隐函数的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则隐函的例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个可导隐函数解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在可且并求两边对 x 求导两边再对 x 求导令x =0, 导数的另一求法 利用隐函数求导定理2 .若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确两边对 x 求偏导同样可得
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