《复变函数吉大》PPT课件(PPT 59页)

1、1第1页，共59页。课程说明及考核办法 课程说明 面向通信学院的必修课，40学时. 周学时3，实际授课13次左右. 学时所限，基本上按教材内容授课. 考核办法 课程结束后，统一组织考试. 成绩为百分制，无平时成绩. 2第2页，共59页。第一章 复数与复变函数 本章主要内容 复数的概念； 复数的性质，运算； 复平面点集及区域； 复变函数的定义、极限、连续. 3第3页，共59页。第一节 复数极其几何表示 复数的概念 由实数 x、y 和虚数单位 i 构成的数 z = x + i y 称为复数(Complex number). 全体复数记为C . i 称为虚数单位， i 2 = 1. x 称为复数的实

2、部，记为 x = Re(z) y 称为复数的虚部，记为 y = Im(z)4第4页，共59页。 y 0 时，又称z = x + i y为虚数， 若同时x = 0 称z = i y 为纯虚数. y = 0 时，称 z = x 为实数.R C . 两个复数相等是指它们的实部与虚部 分别相等.（与向量相等定义相同） 与实数不同，一般来说，任意两个复 数不能比较大小.（同向量的定义） 复数的历史(参考)5第5页，共59页。 从复数 z = x + i y 的定义可知，复数是 由一对有序实数 (x , y) 惟一确定的. 于是可建立全体复数和xOy平面上的全 部点之间的一一对应关系. 称 xOy 平面的

3、x 轴为实轴，y 轴为虚轴. 把和复数建立了一一对应关系的平面称 为复平面或 z 平面. 复数的几何表示6第6页，共59页。 在复平面上，把复数 z = x + iy 和平面 点P(x , y)当作同义语。 复数 z = x + i y 还可以用以原点为起点, P (x , y)为终点的向量 来表示. 向量的长度称为 z 的模或绝对值.7第7页，共59页。当z 0时，向量 与正实轴的夹角称 为复数的辐角，记为 则有当z 0时，若1为复数 z 的一个辐角， 则1+2n 也是复数 z 的辐角，因此， 任何一个复数 z 0 都有无穷多个辐 角，记为当z = 0时,z= 0，辐角不确定. 8第8页，共

4、59页。 满足 的辐角0称为Arg z的 主值，记作0 = arg z. 于是有 复数的三角表示式与指数表示式 利用直角坐标与极坐标的关系 称为复数 z 的三角表示式.9第9页，共59页。利用欧拉公式： 又可以得到称为复数的指数表示式. 复数的各种表示法可以相互转换，可 根据需要使用不同的复数表示式.10第10页，共59页。复数的运算 加法和减法两个复数 ，乘法 复数运算方法与多项式 (运算律)相同.11第11页，共59页。共轭复数称 为 的共轭复数共轭复数有下列性质z 与 关于实轴对称.12第12页，共59页。复数除法 13第13页，共59页。复数三角表示式与指数表示式的积商 设有两个非零复

5、数 z1、z2. 乘法 14第14页，共59页。定理 两个复数乘积的模等于它们模的 乘积, 两个复数乘积的辐角等于它们辐 角的和.注意 由于辅角的多值性，上式中的等式是两个无限集合意义下的相等，即对于Arg(z1z2)的任一值，一定有Argz1及Argz2的各一值与之对应，使得等式成立；反过来也是一样 .15第15页，共59页。除法 定理 两个复数商的模等于它们模的商， 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.16第16页，共59页。复数的幂上式又称为棣莫弗公式 ( r = 1 ).(n为整数)17第17页，共59页。复数的方根若复数 wn = z ，则称复数 w 为 z 的 n次方根，记为 . 设

6、则有18第18页，共59页。复数 w 为 z 的 n次方根为 可得到n个不同的值，在几何上， 这n个值是以原点为中心， 为半径的 圆的内接正n边形的n个顶点.19第19页，共59页。例题已知 ，求z 的值. 解列出各值(略)20第20页，共59页。求方程 的根. 解列出各值(略)21第21页，共59页。复球面及无穷大 复球面(参见教材，引入惟一无穷远点) 无穷远点与无穷大 复平面上，与原点距离为无穷大的点，我们称之为“无穷远点”，记为.关于无穷远点，我们规定其实部、虚 部、辐角无意义，并且规定，复平面上 有惟一的“无穷远点” ， .复平面加上无穷远点称为扩充复平面.22第22页，共59页。第二

7、节 复变函数区域的概念 邻域 复平面上，以 z0 为中心，以 0为半径的圆的内部的点的集合称为点z0的一个邻域这里讲的定义, 本质上与高数中的相同.23第23页，共59页。内点与开集设G为一点集，z0为G中的任意一点.若存在点 z0 的一个邻域完全包含在G内，则称 z0 为G的内点.若G内的每个点都是它的内点，则称G为开集.区域设点集D满足下列两个条件：D是开集；D是连通的，即D中任何两点都可以用一条完全属于D的折线连接起来.则称D为一个区域（连通的开集）.24第24页，共59页。与区域相关的几个概念设D为一个区域，若点P的任意邻域内， 既有属于D的点，也有不属于D的点， 则称P为D的边界点.

8、区域D与它的边界一起构成闭区域或闭 域，记作 .D的所有边界点称为D的边界.若存在正数M, 使区域D的每个点 z 都满 足 ，则D称为有界区域，否则称 为无界区域. 25第25页，共59页。区域举例圆盘| z z0 | r 是无界区域，又是无穷远 点的一个邻域.26第26页，共59页。若 x(t) 和 y(t) 是两个连续实变函数，则 x = x(t)，y = y(t) (a t b ) 代表一条平面连续曲线.如果令平面曲线的概念 那么这条曲线就可以用一个方程来表示，称为平面曲线的复数表示式.27第27页，共59页。若在a t b上 都是连续的, 且 , 则称此曲线 为光滑曲线.由几段光滑曲线

9、连接而成的曲线称为按 段光滑曲线.曲线C : z = z(t) (a t b) 为一条连续曲 线，z(a)与z(b )分别是C 的起点和终点. 对于满足a t1 0, 存在0，当0 z z0 时，有 则称A为f (z)当z 趋向于z0时的极限,记作 36第36页，共59页。应该注意，定义中z 趋向于z0的方式是 任意的，即不论 z 从什么方向，以何 种方式趋向于z0，f (z)都要趋向于同一 个常数 A. 37第37页，共59页。极限的计算定理 设则定理的证明略(一个复变函数的极限是 两个二元实变函数的极限). 38第38页，共59页。实变函数中关于极限的运算法则，对于复变函数来说也成立.极限

10、的运算法则 定理: 若 , 39第39页，共59页。复变函数的连续性 若 ，则称f (z)在 z0处连续，若f (z)在区域D内处处连续，则称f (z)在D内连续. 处连续的充要条件是 在(x0 , y0)处连续. 40第40页，共59页。连续函数的和、差、积、商为连续函数.连续函数的复合函数为连续函数.函数f (z)在曲线C上 z0 点处连续是指 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段 上连续的函数 f (z), 在曲线上是有界的， 即存在一正数M，在曲线上恒有 41第41页，共59页。第二章 解析函数 本章主要内容 复变函数的导数； 解析函数的概念； 函数解析的充要条件； 初等函数. 42第4

11、2页，共59页。第一节 解析函数的概念复变函数的导数设函数 w = f (z) 定义在区域 D内，z0与 z0+z 均是 D内的点.若极限 存在，则称 f (z)在 z0可导，这个极限值称为f (z)在 z0的导数，记作 43第43页，共59页。注意，复变函数的导数的定义，虽然 在形式上和实变函数的导数的定义类 似, 但实质上却有很大的差别. 在复变函数的导数的定义中，在复平 面上 z 0 方式是任意的；而在一元 实变函数的导数定义中，只要求x在 实轴上沿左与右两个方向趋于零. 因此 复变函数的导数要求更严格.若f (z)在区域D内处处可导，则f (z)称 在D内可导. 44第44页，共59页

12、。例题求 f (z) = z2 的导数.解45第45页，共59页。对于复平面内的任意一点 z 由于上式的极限不存在，函数不可导. 函数的 f (z) = 的导数是否存在？ 46第46页，共59页。现在以两种特殊方式让 z 0，分别计算极限值. 当z + z 沿 x 轴方向趋于z 时， 即 x 0 , y = 0时，则 当z + z 沿 y 轴方向趋于z 时， 即 x = 0 , y 0时，则 47第47页，共59页。复变函数可导与连续的关系和一元实变函数一样，若函数w = f (z) 在z0处的可导，则f (z)在z0处必连续.证明 由导数的定义有 48第48页，共59页。即 f (z) 在z

13、0处连续.49第49页，共59页。复变函数的求导公式由于复变函数导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全相同，而 且极限的运算法则也相同.因而实变函数中的求导法则都可以推广 到复变函数中来.现将几个求导法则罗列于下50第50页，共59页。w = f (z)与z = (w)是互为反函数的单值函数.51第51页，共59页。解析函数的概念 若函数 w = f (z) 在 z0 的某邻域内处处可 导，则称 f (z)在 z0 处解析.若f (z)在区域D内处处可导，则称f (z)在 D内解析或称f (z)是D内的解析函数. 函数在区域内解析与在区域内可导是两 个等价的概念.函数在一点处解析和

14、在一点处可导是两 个不等价的概念.函数在一点处可导， 不一定在该点处解析. 52第52页，共59页。若f (z)在 z0 处不解析，则称点 z0 为函数 w = f (z)的奇点 函数解析性举例函数 f (z) = z2在复平面上处处可导，所 以在复平面上是解析的. 函数 f (z) = 在复平面上处处不可导， 所以在复平面上处处不解析. 53第53页，共59页。讨论函数 f (z) = z 2 解析性. 因为 54第54页，共59页。若z = 0，则当 z0时上式的极限为零. 若z 0，令 z沿直线 y = kx 趋于零, 则由 k 的任意性可知, 上式不趋于一个确定的值，即当 z0时，极限不存在. 55第55页，共59页。所以函数 f (z) = z 2只在z = 0处可导， 而在其它点不可导.由解析的定义，它 在复平面内处处不解析. 因为 w 在复平面内除 z = 0 外处处可导 讨论函数 w