数字信号处理离散信号处理：第5章 线性时不变系统的变换分析

1、第5章 线性时不变系统的变换分析5.0引言5.1 LTI系统的频率响应5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数5.3有理系统函数的频率响应5.4幅度和相位之间的关系5.5全通系统第5章 线性时不变系统的变换分析5.6 最小相位系统5.7 广义线性相位的线性系统5.8 小结5.0 引言LTI的离散系统可以用下述方法表示：差分方程：变换表示： 方便分析 能够反映频域特性 先进行z变换分析， 然后利用下式变换到频域5.1 LTI系统的频率响应表示为极坐标：其中： 幅度响应（增益） 相位响应（相移）如果上述增益和相移是我们不需要的，则称为幅度、相位失真。一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带

2、通、带阻和全通，其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示， ， 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 为周期； （3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。5.1.1 理想频率选择性滤波器0低通高通带通00带阻全通00二、DF的性能要求（低通为例）0通带截止频率阻带截止频率通带阻带过渡带 平滑过渡三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应3、群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。5.1.2 相位失真和延迟线性相位失真，带来信号的输出延时。此类失真可以忍受。对延时我们可以将其他信号

3、也延时，从而达到系统同步。延时的多少（群延迟）：群延迟是衡量相位线性度的标准。例5.1 衰减和群延迟的效果对于任何一个非线性的曲线，主要分割的足够小，每一段均可认为是线性的。因此，对于非线性相位的系统，可以认为在每一小段内都是线性的，每一小段对应于一个窄带信号。即对为各窄带信号的延迟都是相同的，每个窄带信号内包含若干频率分量，这些频率分量定义为一组（一群）信号。即对这一群信号的延迟是相同的，因此定义为群延迟。5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数差分方程Z变换系统函数进行因式分解：M个零点：M个极点：0N个零点：0N个极点：零点：M+N个极点：M+N个例5.2（p201）5.2.1 系统

4、的稳定性因果性稳定性:收敛域包含单位圆；因果性：右边序列（收敛域）；例题5.3 （p202）5.2.2逆系统系统与其逆系统级联后，总的系统响应为1。即 逆系统的幅度响应为原来系统的倒数（故对数幅度为原来的负值），相位响应和群延迟为原来的负值。5.2.2逆系统不是所有的逆系统都存在，如低通滤波器不存在逆系统。因无法恢复幅度响应为零的频率分量。逆系统和原系统零极点的关系零点是原来的极点；极点是原来的零点。问题：逆系统的收敛域，（因果稳定的系统，极点在单位圆内），逆系统的极点在单位圆内=原系统的零点在单位圆内。这样的系统称为最小相位系统。5.2.3有理函数的单位脉冲响应系统函数部分是展开其时域表示5

5、.2.3有理函数的单位脉冲响应其时域表示根据上式可以将系统分为两类：FIR: h（n）是有限长的（只有前面的有限个累加项），没有非零极点。（例5.6，P204）IIR： h（n）是无限长的，有非零极点。 （例5.7，P205）5.3 有理系统函数的频率响应对稳定的LTI系统幅度响应幅度平方：对数表示： 零点 极点相位响应：群延迟：相位响应的主值记作： 为整数。相位响应的主值的计算调整到主值范围内另一种求法：群延迟的求法由连续相位求解除去主值跳变值，也可用主值或不确定相位求解：5.3.1 单个零点或极点的频率响应考虑一个最简单系统（单个零点或极点）。幅度响应幅度响应对数表示主值相位群延迟周期函数

6、： 时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小； 时：幅度达到极大值图解幅度相位 时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小； 时：幅度达到极大值响应和r的关系r=1时幅度响应可以为0；相位出现跳变。群延迟极值。上面分析的是零点的例子。对于极点，是零点的倒数。幅度的对数表示，相位，群延迟均是零点的负值。幅度: 时，极小。 时，极大。r=1时，幅度可以达到无穷大。5.4 幅度和相位之间的关系一般系统，幅度和相位之间没有制约。对于有理函数系统，幅度和相位之间有制约。以复数为例，给定复数的幅度和相位，复数确定。复数本身的幅度和相位之间没有联系。除非加上额外的限制，才能制约幅度和相位。例如加上系统零极点选

7、择的限制。5.4 幅度和相位之间的关系例如： 当幅度特性和零极点个数已知，则其相位特性仅有有限个选择。 当相位特性和零极点个数已知，则除去幅度加权因子，其幅度特性仅有有限个选择。对于最小相位系统，幅度特性决定相位特性；相位特性决定除去加权因子外的幅度特性。首先研究幅度特性任何给定的系统总有另一个系统的幅度响应与其相同。因为：z变换的关系零点：极点：例5.11（p220）例5.12（p221）如果不限制系数为实数，则选择更多。零极点的个数不加限制，系统则会无限多。全通因子添加一个全通因子,增加一个极点、一个零点。零极点的个数不加限制，系统则会无限多。5.5 全通系统全通系统 形如：分子、分母共轭

8、，其模值相等。故幅度响应为1。全通系统： 的系统。零点：极点：零点、极点共轭倒数一般形式系统函数的系数为实数，则零点（极点）共轭出现零点、极点共额倒数最简单全通系统的响应幅度响应为1；有3个向量，相位响应：因果全通系统，连续相位曲线在 非正。相位非正性证明稳定的因果系统，rM,时等于n0。所以序列长度为M+1. M又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIR DF，如下所述。n0123456789101、M为偶数的对称例如 M=10，对称中心为I类FIR线性相位系统组合例如 M=9，对称中心为n01234567892、M为奇数时的偶对称I I类FIR线性相位系统组合例如，M=10，对称中

9、心为 n0123456789103、M为偶数时的奇对称I I I类FIR线性相位系统例如，M=9，对称中心为4.5， 4、M为奇数时的奇对称n0123456789I V类FIR线性相位系统例5.17M=4,a=2例5.18M=5,a=2.5例5.19M=2,a=1例5.20M=1,a=1/2FIR线性相位系统零点的位置I、 I I类系统零点的分布规律如果 零点则 也是零点所以，如果 是零点，则 也一定是H（Z） 的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即 也一定是H（Z）的零点， 也一定是H（Z）的零点。2、零点的位置（1） 既不在实轴上，也不在单位圆上，则零 点是互为倒数的两组共轭对，10(2) 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如01（3） 在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，01（4） 既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。Z=-1处的零点比较特别因为则M为偶数 M为奇数故所以 可以不是 1必然为其零点I I I 、 I V类系统零点的分布规律Z=-1、1处的零点比较特别 Z=1因为则故所以 1为其零点Z=-1因为则M为偶数 M为奇数故所以1必然为其零点 可以不是典型的零点分布Z1，对应频域的即，高频的幅度响应为0，因此不能作为高通