电磁场理论：第六章 电磁感应

1、第六章 电磁感应6.1 法拉第电磁感应定律 1、电磁感应现象结论：闭合导线回路包围的磁通量变化时，回路中就会产生电流。 法拉第实验：奥斯特实验：电流磁场2、楞次定律表述：感应电流所产生的磁通总是力图补偿原来磁通量的变化。 楞次定律表明，感应电动势对回路的磁通量变化起着一个“负反馈”的作用，既产生于磁通量的变化，又抑制着磁通量的变化，这实际上正是能量守恒定律的体现。 3、法拉第定律的数学表达式根据法拉第实验与楞次定律，可得 E E 的正方向规定为回路平面法线的右手螺旋方向。 也可以表示为感应电动势的分类： 变， 变 不变， 变 变， 不变感生电动势动生电动势感生电动势与动生电动势的叠加 4、运动

2、回路的法拉第定律假设闭合回路l 以速度 在磁场中运动 在 t 时刻通过 S(t) 的磁通量为 在时刻t+t，通过S(t+t)的磁通量为 t 时间内的磁通量增量为 E 于是回路上的感应电动势为E 分析可知：省略上式中的时间变量 t ，则有 E感生电动势动生电动势所以回路上的感应电动势为5、发电机原理 如图所示，当导体棒l ，以速度v 在垂直于均匀恒定磁场的平面内向右运动时，矩形回路上的动生电动势为 E 动生电动势的做功功率为 E 另一方面，导体棒在磁场中运动要受到磁场力的作用，即为保持导体棒匀速向右运动，必须使用外力外 来克服磁力，此外力做功的功率为 动生电动势做功的能量是由外力克服磁力所做的机

3、械功转换而来的。 6、导线回路中的洛仑兹力电子的总速度是： 如图当ab段出现动生电动势时，分析ab段内的任意一个电子，其运动速度可以分解为两个分量： 向下运动的速度 随导线向右的速度 电子所受的总洛伦兹力 也可以分解成两部分动生电动势 安培磁力 在产生动生电动势的过程中，洛伦兹力起着能量转换者的作用，在接受外力做功的同时，将其转换为推动电荷运动的动生电动势。 洛伦兹力的总功为例6.1 一个长、宽分别为 b 和 c 的单匝矩形线圈放在时变磁场 内，开始时线圈平面的法矢 与 y 轴成角，如图所示。求： (a) 线圈静止时的感应电动势和线圈上串接电阻R时的感应电流； (b) 线圈绕 x 轴旋转时的感

4、应电动势。 解： (a) 线圈静止时，只有感生电动势，即 Ea 串接电阻R 时 I = Ea (b) 线圈以角速度旋转时 方法一：利用Eb Eb Eb E Ea 其中感生部分为动生部分为所以总电动势方法二：若令=t，即t = 0时= 0，则上式为 例6.2 一菱形均匀线圈在均匀恒定磁场 中以匀角速度绕其对角线转动，转轴与 垂直，线圈平面转至与平行时，问：（1） a、c 两点中哪点电位高?（2）设 b 为 ac 的中点，b、c 两点中哪点电位高？ 解：（1） 在ac 段应用含源电路的欧姆定律 ，有 E = 4Eac Eac I = E /R= Eac/Rac总电动势为 总电阻为故线圈的感应电流为

5、 即 a、c 两点电位相等。电流之所以能从 a 流向 c ，关键在于 ac 段内有电动势。所以a、c 两点电位是Ebc Ebc Eac 再利用I = E /R= Eac/Rac 和（2）在bc 段应用含源电路的欧姆定律 ，有计算可得可得Ubc 之所以不为零，关键在于ab 段与bc 段的电动势不相等 即Ebc E / 8，但，故Ebc IRbc Ubc 说明 b 点电位低于 c 点，但电流却从 b 点流向 c 点，这是由于 bc 段内有感应电动势的缘故 6.2 法拉第电磁感应定律的推广1、法拉第电磁感应定律的推广导线回路 任意空间回路任取一个空间回路 l，根据法拉第定律得 积分形式若回路对于电磁

6、场是不运动的，则求导就变成对 t 的偏导，即 微分形式应用斯托克斯定理得所以表明：时变的磁场可以产生电场，并且这个电场是非保守场。 2、磁场高斯方程微分形式对推广的法拉第定律两边取散度得考虑矢量恒等式 ，有 可见 与 t 无关的常量C。由于恒定磁场是时变磁场的特例，并且对恒定磁场有 ，所以C = 0。对时变磁场仍然有对微分形式两边体积分并应用散度定理，得到积分形式表明：时变磁场的无散性和磁通连续性 3、时变场的位函数动态矢量磁位根据 ，可以引入矢量位动态电位U所以可引入标量函数U 时变电场可以表示为时变电场可以分成两项 源场的性质时变的分布电荷保守场时变的磁场非保守场E 可见，对感应电动势E

7、有贡献的只是电场的非保守部分，而保守部分对回路的感应电动势无贡献。考虑时变电场的环路积分6.3 电感一. 自感 （第 i 匝）自感磁通 ： （线圈的）自感磁链 ： 若各匝线圈自感磁通相等，则 1、自感系数自感系数 ：记L 称为该线圈的自感系数（简称自感），单位是亨利（H） 通常规定电流 I 与自感磁通正方向成右手螺旋关系，故L 0 。2、自感电动势由线圈电流时变在自身回路产生的感应电动势称为自感电动势。 根据法拉第定律，单匝线圈的电动势为 E=N E3、自感的应用镇流器： 击穿导电气体稳定电流 E 若线圈有 N 匝，则总的感应电动势为 二、互感1、互感系数（第 i 匝）互感磁通 ： （线圈1对

8、线圈2的）互感磁链 ： 对于线性媒质，互感磁链与线圈1上的电流成正比关系，记 M21称为线圈1对线圈2的互感系数，简称互感，单位是亨利（H）。 互感系数可为正值亦可为负值，其取决于线圈1上的电流I1 和线圈2的截面的参考方向。 2、互感电动势 当线圈1上的电流随时间变化时，根据法拉第定律，线圈2上将产生感应电动势 E 2 E 2 称为线圈2上的互感电动势。 若线圈2上有电流 I2，而线圈1无源，则 E 13、诺伊曼公式 2I 1I 2dl 1dl 1l 图612 两个单匝回路的互感 1 2 R 2l 单匝线圈如图忽略导线直径的线度，有 因为所以同理若记则有诺伊曼公式R qdl2 nl2 ml1

9、 pdl1 2l ql2 pl1 图613 分段法计算互感 1l 分段法把回路1 分成m 段，把回路2分成 n 段 将诺伊曼公式中两个闭合回路积分分解为各线段积分之和，得 代表线段 与线段 之间的互感 其中多匝线圈两线圈间的总互感等于所有单匝回路的互感之和 若两个线圈间距离远大于每个线圈自身的线度，则 4、电感的串接顺接情况 2y (a) 顺接 I I 1y 两线圈串联时电流相等，所以 E =E1 +E2 于是串联的感应电动势E 为因此线圈串联顺接的等效自感为 E1E2 2y 1y (b) 逆接 I I 逆接情况 E1E2 E =E1 +E2因此串联逆接的等效自感为所以串联逆接的感应电动势E

10、为于是如果两线圈之间的互感耦合可以忽略，则 “同名端”标记法 三. 自感的计算 N 匝（密绕）线圈的自感系数 若令两个相同的线圈重合，则两线圈之间的互感等于线圈的自感。 对于N 匝（密绕）线圈外自感与内自感外自感其中l1: 导线回路的轴线l2: 导线回路的内径导线内的磁通对自感的贡献称为内自感，表示为Li 回路的总自感： 例6.4 试计算半径为a的圆导线的内自感。 解：假设 l a，则导线内部的磁场可近似地认为与无限长直圆柱导体内的磁场分布相同，即 在半径 r 处，宽度为 dr 的截面上通过的磁通量为 这些磁通量仅与半径为r 的圆截面内的电流交链，所以 所对应的磁链为与电流 I 交链的总磁链为

11、 因此，长为l的一段圆截面导线的内自感为 从而得到单位长度均匀导体的内自感 例6.5 设导线半径为a，轴线间距离D a 。求：双线传输线单位长度的自感。解：设导线上的电流为 I ，方向如图所示，则两导线间平面上任意点的磁通密度为 故单位长度的自感为当D a 时内自感 单位长度传输线交链的磁通量为6.4 磁场的能量来源：磁场建立过程中的外源作功 根据能量守恒定律，只要终值电流相同，不管电流建立过程如何，外源所作的功一定相同，并且转化为系统的磁场能量。 1、离散导体回路系统的磁场能对由N 个电流回路组成的磁场系统，第i 个回路的终值总磁链为 （i =1，2，3.N） 假定电流增长过程则若 t 时刻

12、电流在 dt 时间内改变了 ，则在此回路中引起的感应电动势为 E i 此电动势将阻止电流的变化，为了保证电流改变，外源必须为此作功，这部分功将成为磁场中储存的能量，其增量为 Ei 在整个过程中磁场增加的总量，即是磁场的总能量此式可改写为自能(或固有能) 互能 利用磁场能求自感L对于单电流回路系统 有所以2、利用 计算磁场能实验证明：磁场不为零的地方都有磁能存在。 对N个电流回路的系统，有 则系统磁场能为作替换 ，则因为无电流区域对积分无贡献，故可以扩展为包含所有电流回路的体积。 利用矢量恒等式，可得 所以磁场能表示为考察第一项将积分域扩展到整个空间，则 S 由于增加的区域内 ，所以积分结果不变 所以 时因此整个空间的磁场能为称为磁场能量密度 令在各向同性的线性媒质中，磁场能量密度可写成而求解无穷大 S 面上的问题时，电流区域可视为磁偶极子例6.6 同轴线内外导体材料的磁导率为，中