高考数学专题05等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)(原卷版)

1、 / 7备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题05等差数列和等比数列的证明问题类型对应典例由递推式证明一个数列为等比数列典例1由数列内部构造新数列证明为等差数列典例2由两个数列结合构造数列证明等差、等比数列典例3由复杂递推式转化构造证明等差数列典例4由两个数列的相关性证明数列为等差等比数列典例5探究数列是否为等差等比数列，说明理由典例6与概率统计相结合的数列问题的证明典例7【典例1】【2020届广东省中山市高三上学期期末】设Sn为数列an的前n项和，已知a2 3，a. i 2a. 1.（1）证明an 1为等比数列；（2） 判断n , a., Sn是否成等

2、差数列？并说明理由【思路引导】an I 1（1） 由递推关系求得a1 ,通过计算2 ,证得数列 an 1为等比数列.an 1an ,Sn 成（2） 由（1）求得数列 an的通项公式，由分组求和法求得Sn ,证得n SI 2an ,所以n， 等差数列.【典例2】【江西省名校（临川一中、南昌二中）2019届高三5月联合】2 2 2已知数列an有an0，Sn是它的前n项和，a13且Sn3na“Sn 1 ,n2 .（1） 求证：数列 an an 1为等差数列.（2）求an的前n项和Sn.【思路引导】2 2(1)先化简已知得(SnSn)3n ,(SnSn)3(n1),再求出a.a.=6n3 ,再证明数列

3、an an 1为等差数列；(2)对n分奇数和偶数两种情况讨论得解 【典例3】【2019年全国统一高考数学试卷(理科 )(新课标)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0, 4an 1 3an bn4 , 4bn 1 3bn an 4.(1 )证明：an+bn是等比数列,r On -HrA 阜垄韭勘万.an -n是等差数列;(2 )求an和bn的通项公式【思路引导】(1)可通过题意中的4an 1 3anbn 4 以及 4bn 1 3bnan 4对两式进行相加和相减即可推导出数列an bn是等比数列以及数列an bn是等差数列；可通过(1)中的结果推导出数列an bn以及数列 anbn的通项公式，

4、然后利用数列an bn以及数列an bn的通项公式即可得出结果.【典例4】【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】已知数列 an满足a1 1 ,且an 3an 1an an 1证明数列 1是等差数列，并求数列 an的通项公式;an 1(2) 若 bnan,求数列bn的前n项和Sn.1【思路引导】(1)由 an 3an 1anan 11,利用定义能证明1an 11是以一为公差的等差数列，从而求出a22 1 ； (2)n由bn2nan1n 2n 1 ,利用错位相减法即可求得数列bn的前n项和.【典例5】【2020届福建省莆田市(第一联盟体 )上学期高三联考】在正项数列an 中，已知

5、aI1, an 1an2 且a an 1an* bn 2(1)证明：数列 bn是等差数列；(2)设 bn的前n项和为Sn ,证明：1S111S2S313Sn4 .【思路引导】2 2由题设条件证明数列an是等差数列，并得出数列 an的通项公式，进而得出bn 2n 1 ,再由等差数列的定义证明即可；由等差数列的前n项和公式得出Sn，再由裂项求和法证明不等式 【典例6】【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I卷)】已知数列an满足a 1，nan 2 n 1 an ,设bn n .n求 b , b2 , b3 ；判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；求an的通项公式.【思路引导】2

6、 n 1(1)根据题中条件所给的数列an的递推公式nan12 n 1an,将其化为anIan ,分别令na nn 1和n 2 ,代入上式求得a2 4和a3 12 ,再利用bn an ,从而求得d 1 , b2 2 , b3 4 ；na2a 利用条件可以得到口 n ,从而可以得出bn I 2bn ,这样就可以得到数列bn是首项为1,公n 1 n比为2的等比数列； 借助等比数列的通项公式求得an 2n 1 ,从而求得an n 2n 1.n【典例7】【河南省名校联盟 2019-2020学年高三11月教学质量检测】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站，共101站，设棋子

7、跳到第n站的概率为Pl ,一枚棋子开始在第 0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3, 4，5, 6).(I)求Po , R , p2 ,并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn 2和Pn 1表示Pn ；求证：P1 Pni(n 12 ,100)为等比数列；求玩该游戏获胜的概率.【思路引导】(1)在第0站是必然事件，所以 Po 1.棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，可求出P ,棋子

8、跳到第2站，包括两种情形，第一次掷骰子岀现偶数点，前两次掷骰子出现奇数点，可求出P2.棋子跳到第n(2剟In 99)站，包括两种情形，棋子先跳到第n 2站，又掷骰子出现偶数点，棋子先跳到第n 1站，又掷骰子出现奇数点，进行求解.1 1 1由(1)知，Pn2 Pn22 Pn1，所以PIPn 1(PnIPl2)可证(3)该游戏获胜的概率，即求P99 ,由(2)用累加法可求解.【针对训练】【2020届湖南省益阳市高三上学期期末】2 * 在数列 an中，有印 a2 a3a* n 2n n N .证明：数列 an为等差数列，并求其通项公式；1 记bn,求数列bn的前n项和Tn.an an 1【2020届

9、广东省东莞市高三期末调研测试】已知数列 an中，a11且2an I 6an 2n 1 n N求证：数列 an n为等比数列；2求数列an的前n项和Sn.【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末】已知数列an的前n项和Sn ,满足Sn 2an n , nN（1）求证：数列 an 1为等比数列;(2)若 bnlog2 an 1 ,求数列的前n项和Tn.bnbn 1【湖南省衡阳市2019届高三第二次联考（二模）】1 1已知数列an ，bn满足a11，b12，2an1a.，2g（1 ）证明：数列 an bn ， an bn为等比数列；10（2）记Sn为数列an的前n项和，证明：Sn.3【2020届

10、重庆市高三上学期期末测试卷】已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn 2an n2.12 anbn（1）证明：数列 an 2n 3是等比数列;(2)设 bn2n an ,证明:丄bi1b2bn6.【湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区2019-2020学年高三上学期12月联考】(0,3 n 2) ， anIUUABUUInUuLr设 n N* ,向量 AB (3n1,3)，BC（1 ）试问数列 an 1 an是否为等差数列？为什么?（2）求数列丄的前n项和Sn.an【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测卷】已知数列 an满足印（1）证明：数列 nan为等差数列；（2） 设bn2 an 2 a

11、n 1 ,求数列bn的前n项和Sn.【2020届黑龙江省第一高级中学高三上学期期末数学】已知数列 an的前n项和为Sn，a12，Sn 13&2，n N证明：数列 Sn 1为等比数列；2 2已知曲线Cn : X 19 an y 1若Cn为椭圆，求n的值；若bnnlog33an,求数列bn的前n项和Tn.2 2【江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题】已知数列 an 的前n项和为Sn,2aj a? a3 ,且对任意的n N* ,n渚E有2nSn 1 (2n 5)Sn Sn 1 .若印 0, a2 3a1 ,求r的值；数列 an能否是等比数列？说明理由；当1时，求证：数列 an 是等差数列

12、.【天津市新华中学 2019届高三高考模拟】已知等比数列an的前n项和为Sn ,公比q 0,S22a22,S3a42.数列bn满足2 *a2 4b, nbn I (n 1)bn n n n N .求数列 an的通项公式；证明数列 bn为等差数列；na n为奇数2 设数列Cn的通项公式为：Cn,其前n项和为Tn ,求T2n .n为偶数4【2019年全国统一高考数学试卷(理科 )(新课标)为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.-轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和 轮试验中甲药的得分记为X. #/ 71)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予